Койре А. Очерки истории философской мысли

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЗАМЕТКИ О ПАРАДОКСАХ ЗЕНОНА

Обсуждение аргументов — или, лучше сказать, парадоксов —
Зенона как и обсуждение всякой истинно философской проблемы,
никогда не может быть завершено. Если бы возникла нужда в
оправдании нашего намерения вновь подвергнуть исследованию
лроблему более чем двухтысячелетием давности, достаточно было
бы привести высказывание В. Брошара2, капитальное исследова-
ние которого сыграло столь большую роль как в том, чтобы вновь
поставить проблему на повестку дня, так и в том, чтобы вдохнуть
в старые аргументы (ибо вряд ли кто-либо сегодня стал бы по-
прежнему трактовать их как «софизмы») новую жизнь. «Аргу-
менты Зенона против движения, — говорит он, — обсуждались
много раз. Если это является доводом в пользу того, чтобы к ним
более не возвращаться, то какая важная философская проблема
в свою очередь не заслужила бы того, чтобы быть оставленной
в стороне?»
Мы обращаемся к этому столь часто обсуждавшемуся вопросу
отнюдь не в поисках некоей новой интерпретации аргументов
диалектики Элеата, равно как и не для того, чтобы к известному
в истории бесчисленному количеству их опровержений добавить
«ще одно, столь же «успешное», как и все предыдущие. Цель это-
го небольшого исследования — показать, что поднятая Зеионом
проблема не относится к одному лишь движению: она касается
времени, пространства и движения в той мере, в какой включает
в себя понятие бесконечности и непрерывности. Эта проблема
вновь с необходимостью возникает во всех областях, где эти два
последние понятия играют хоть какую-нибудь роль, и, следова-
тельно, она имеет более общее значение, чем то, которое ей обыч-
но приписывают. Уже исходя из одного лишь этого факта, сле-
Дует сказать, что все опровержения, относящиеся только к проб-
леме движения, в самой своей основе ошибочны. По нашему
мнению, в числе авторов таких предпринятых в последнее время
попыток могут быть названы Г. Ноэль, А. Бергсон, а также — но
с иной точки зрения — Ф. Эвеллен.
1. Аргументы Зенона
Согласно ясной концепции В. Брошара, к которой мы отсы-
лаем читателя во всем, что касается интерпретации, четыре аргу-
мента Зенона представляются в форме дилеммы. Первые два
27
(«Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха») направлены против не-
прерывности и бесконечной делимости времени и пространства;:
два других («Стрела» и «Стадий») —против финитарной гипоте-
зы, согласно которой время и пространство состоят из некоторых
конечных, далее неделимых элементов. Напомним аргументы Зе-
нона:
а) Дихотомия
Движение невозможно. Ибо до того, как движущееся достиг-
нет конечной точки своего пути, оно должно преодолеть половину
расстояния, и так далее до бесконечности; а это, в современных
терминах, равносильно утверждению, что движение предполагает
сумму, или синтез, бесконечного числа элементов 3~4,
б) Ахиллес и черепаха
Движение невозможно. Ибо самый быстрый бегун никогда не·
сможет догнать самого медленного. Действительно, если второй
из них в начале движения находится на некотором расстоянии
от первого, то первый, чтобы догнать его, должен сначала достичь
точки, в которой более медленный находился в начале движения.
Расстояние между ними, разумеется, будет убывать. Но оно ни-
когда не исчерпается полностью. Говоря современным языком,
это означает следующее: 1. Каждое из тел должно пробежать,
бесконечное количество точек (что может быть выражено прос-
той формулой). 2. Поскольку каждой точке пути, пройденного
Ахиллесом, соответствует точка пути, пройденного находящейся,
впереди него черепахой, и наоборот, постольку число точек в том и
другом случае с необходимостью должно быть равным, следова-
тельно, невозможно, чтобы путь, пройденный Ахиллесом, был·
больше пути, пройденного за это же время черепахой.
в) Стрела
Летящая стрела в каждое мгновение и в каждой точке траек-
тории своего полета неподвижна. Действительно, если, согласие
финитарной гипотезе, предположить, что любой временной ин-
тервал и любой протяженный отрезок состоит из далее неделимых
элементов (точек и мгновений), то стрела с необходимостью долж-
на всегда и везде находиться в покое. Ибо в неделимых мгнове-
ниях и точках пространства и времени движение пе может иметь
места.
г) Стадий
В некотором стадии расположены три равновеликих отрезка
прямой (состоящих из равного числа неделимых элементов). Один
из них неподвижен, два других движутся параллельно ему, но в
противоположных направлениях. В этом случае, в соответствий
с финитарной гипотезой, «половина, — говорит Зенон, — должна
быть равна целому», так как в одно определенное, по предполо-
28
ткеншо неделимое, мгновение один и тот же пространственный-·
элемент должен одновременно миновать и один, и два (равнове-
ликих) пространственных элемента и, следовательно, быть одно-
временно равным и одному, и двум элементам.
2. Эквивалентность возможных интерпретаций
До сих пор мы следовали интерпретации В. Брошара. Однако»
мы не желаем быть связанными одной интерпретацией и вместе
с тем не претендуем на то, чтобы приписать некий однозначный
смысл аргументам Зенона и выразить аутентично мысль этого
философа. Тем более что, по нашему мнению, эти четыре аргу-
мента, абсолютно не теряя своего значения, допускают двойную»
интерпретацию, в зависимости от того, производится ли послед-
няя с финитарной или инфинитарной точек зрения.
1. Действительно, даже если допустить бесконечную дели-
мость пространства и времени, останется тем не менее истинным
утверждение, согласно которому каждому мгновению времени
летящей стрелы должна соответствовать точка пространства, то
есть каждому мгновению соответствует определенное пространст-
венное положение стрелы. И поскольку, согласно гипотезе, ни
пространственные, ни временные элементы не являются протя-
женными — каждый из них представляет геометрическую точку, —
отсюда следует, что стрела не может двигаться, так как двигать-
ся — значит переходить от точки к точке, а не находиться в одной
из них. Более того, так как мгновение настоящего есть не что
иное, как граница между прошлым и будущим, стрела должна
претерпевать движение в этот единственно реальный, единый миг
настоящего. А это означает, что она вовсе не движется. Мы рас-
полагаем бесконечным количеством пространственных положе-
ний и бесконечным количеством соответствующих временных
моментов, что отнюдь не означает движение. Кроме того, пока
мы не сумеем завершить синтез этого бесконечного количества
изолированных элементов, мы не получим и пройденного пути.
2. Посмотрим теперь, как обстоит дело в случае «Стадия».
Отрицание бесконечной делимости пространства и времени не-
только не исключает, но, наоборот, с еще большей ясностью спо-
собствует выявлению следующего парадоксального факта: в опре-
деленное мгновение только одна точка прямой В и только одна
точка прямой С проходят мимо определенной точки прямой А,
так же как определенная точка прямой С совершает это по отно-
шению к точке прямой В. Следовательно, в каждое мгновение
точке О прямой В соответствует одна и только одна точка пря-
мой 6; и, несмотря на это, прямая С целиком перемещается отно-
сительно точки О, в то время как прямая А относительно этой же·
очки перемещается только наполовину. Следовательно, половина
равна целому.
29
3. Теперь обратимся к аргументу «Ахиллес», предположив на
• гей раз, что пространство и время состоят из конечного числа
неделимых элементов. И в этом случае всегда также остается
верным тот факт, что в каждое данное мгновение точке пути че-
репахи взаимно-однозначно соответствует определенная точка
пути Ахиллеса5. И в этом случае еще менее, чем с точки зре-
пия инфинитарной теории, понятно, что из одинакового числа
идентичных элементов получаются разные суммы.
4. И наконец, рассматривая в свете финитарной гипотезы «Ди-
хотомию», мы сталкиваемся с трудностью, подобной той, которая
имеет место в случае «Стадия». Действительно, рассмотрим по-
следний протяженный элемент, который в этом качестве еще
.делим и составлен из двух пепротяженных элементов. Это прост-
ранство представляет собой минимальную протяженность, в кото-
рой еще возможно движение, ибо очевидно, что в непротяженном
ничто двигаться не может. То, что движется, пройдет эту мини-
мальную протяженность за время, состоящее из одного неделимого
мгновения. Но так как мы имеем право делить пространство,
можно задаться вопросом: в какой момент движущееся пройдет
половину этой протяженности? Возникнет, следовательно, необ-
ходимость разделить пополам мгновение, которое по предположе-
нию неделимо.
В нашем понимании аргументация Зенопа является абсолют-
но строгой. Движение предполагает бесконечную делимость про-
странства и времени, что включает в себя, следовательно, акту-
ально бесконечную совокупность пространственных элементов и
мгновений. За конечное время в конечном пространстве движу-
щееся тело пробегает бесконечное число точек. Точно так же
строгий анализ показывает, что два тела, движущиеся с различ-
ными скоростями, проходят за одно и то же время отрезки пути,
состоящие из равного числа элементов. Следует ли рассматривать
.все эти выводы как возражения против возможности движения?
Этим мы сейчас займемся. И для начала проследуем теми путя-
ми, па которых исследователи пытались избежать выводов Зенона.
3. Финитарная гипотеза Ф. Эвеллена
Интерпретация «Стадия» в том виде, в каком она была изло-
жена выше, в параграфе 1, была представлена Г. Ноэлем5 в ка-
честве неопровержимого аргумента против финитарной теории и
тем самым вызвала ответ со стороны главного представителя этой
•теории Ф. Эвеллена7, где последний попытался противопоставить
.возражениям Ноэля ряд очень тонких и осторожных замечаний.
Итак, Эвеллен вновь обращается к анализу «Стадия»:
?/...???-1?«??+1... А
b...bn~lbnbn+1... В
f*f s*n—\s>nrn-}-\ ?
L· ...С· L· С- ,,. ?_*
30
Возьмем две произвольные точки а и Ь. Одним неделимым дви-
жением и, следовательно, в некий неделимый момент времени
элемент Ьп, находившийся под элементом а", окажется под эле-
ментом а""1; то же самое произойдет со всеми остальными точка-
ми-элементами. Сравним теперь точки Ъп и с™, принадлежащие
двум движущимся в противоположных направлениях прямым.
В некий неделимый момент времени элемент Ьп, принадлежащий
прямой В (движущейся, например, влево), займет положение Ьп~]
(которое соответствует а™"1); в то же время элемент Ъп~1 займет
место Ьп~2, одновременно элемент сп~1 займет место с™, а с;г — ме-
сто cn+1. Так как движение, согласно гипотезе, должно происхо-
дить в одно единое и неделимое временное мгновение, то эта пе-
ремена места происходит мгновенно и, так сказать, разом, чем
снимается реальный переход и тем самым парадокс Зенона. Хотя
элемент сп перемещается на место cn+l, обнаруживая над собой
точку 6и+2,и хотя на деле он проходит перед двумя элементами
прямой В, нельзя сказать, что он совершил их пробегание в соб-
ственном смысле слова, а лишь что он совершил скачок над ними.
Таким образом, финитарная гипотеза элиминирует все труд-
ности.
Этот анализ, конечно, искусен, но не более того. Из принципа
Эвеллена должно вытекать, что некоторый элемент мог бы в одно
неделимое мгновение совершить движение между некоторыми
двумя точками пространства (например, из положения, соответ-
ствующего а™, в положение, соответствующее а""1, и, следова-
тельно, также в ?""1, с™"2 и т. д., не совершая в действительности
последовательного прохождения перед всеми этими точками и пе
входя в какие-либо пространственные отношения с ними). Избег-
нуть такого вывода можно, лишь допустив делимость временного
элемента, который в то же время предполагается неделимым. Не
более удачными представляются и остальные возражения Эвелле-
на. Например, анализируя понятие движения как такового, он
говорит: «Движущееся не движется точка за точкой из места от-
правления, ибо или его нет, или его больше нет; следовательно,
оно не движется в месте, из которого отправилось». Не оспаривая
истинности этого замечания, обратим, однако, внимание на сле-
дующее: так как конец движения должен в принципе соответст-
вовать его началу, движущееся не может двигаться в то же самое
мгновение и в месте прибытия, так как оно уже там находится.
Следовательно, поскольку оно не движется ни в точке отправле-
ния, ни в точке прибытия, ни между ними — ибо между двумя
последними элементами пространства, согласно гипотезе, пет про-
межуточного пространства, — постольку оно вообще не может
Двигаться.
Наоборот^ из вышеизложенного мы можем сделать вывод о
точности и обоснованности возражений Зенона против финитар-
ной гипотезы и считать эту последнюю окончательно опровергну-
той; тем более что из нее вытекает ряд следствий, которые, не?
31
будучи сами по себе противоречивыми, на деле были бы неприем-
лемы. В самом деле, финитарная гипотеза включает в себя пред-
положения о:
а) максимуме скорости, максимуме существенном, т. е. таком,
который не может быть превышен в силу форМальных> не отно-
сящихся к фактам соображений;
б) невозможности — также существенной — непрерывности
движения;
в) конечном числе возможных скоростей, находимых посред-
ством конечных численных отношений8.
4. Предметная критика Ноэля
Предпринятая Эвелленом критика была формальной в том
смысле, что разворачивалась на почве самой аргументации Зено-
на и состояла в том, чтобы, вскрыв ошибочность формы этой ар-
гументации, показать тем самым ее слабость. Совсем иначе по-
ступают Ноэль и Бергсон. Они выходят за рамки дилеммы Зенона
и стремятся тем или иным способом так повернуть трудности,
чтобы решить их посредством имманентного анализа самого дви-
жения. Вновь обращаясь к идее, высказанной еще Аристотелем,
Ноэль показывает9, что делимость, конечная или бесконечная,
которую Зенон хочет приложить к движению, в действительности
приложима лишь к проходимому движущимся пространству, а
также что речь идет лишь о виртуальной делимости, а не об ак-
туальном делении. Эту делимость нельзя переносить на само
движение, которое, наоборот, должно рассматриваться как единое
и неделимое, и в таком качестве оно не может быть ни состав-
ленным из двух (других) движений, ни разложенным на эти
последние. Движение не является простой переменой места. Пе-
ремена места —это необходимое следствие движения, которое не-
правомерно отождествлять с самим движением· Рассмотренное
само по себе движение — это некая сила, энергия, внутренняя
тенденция, действующая внутри движущегося, которая, будучи
•извне, так сказать, элиминированной определенным образом в
пространство, проявляется в виде перемены места. Движущееся
(le mouvant) побуждаемо, в собственном смысле слова, движени-
ем. Движение или, скорее, движущая сила принадлежит движу-
щемуся как некий атрибут, или некоторое качество. Оно неотде-
лимо от движущегося. Состояние движения, несомненно, анало-
гично состоянию покоя; в физике это позволяет давать определе-
ние одного через определение другого 10, но отнюдь не дает права
недооценивать их существенное онтологическое различие.
Движущееся движется в каждой точке своей траектории. Оно
проходит одну за другой все составляющие этот путь точки, по в
каждой точке оно находится в движении, оно есть нечто движу-
щееся. Вот почему действительно нельзя отождествлять движение
32
с рядом последовательных позиций: отношение движущегося ко
всем этим позициям является абсолютно отличным от отношения
к ним некоторого покоящегося там тела. Здесь дело касается
различия, так сказать, качественного характера, а не просто раз-
личия степеней11. Можно еще добавить, что, если бы была воз-
можность рассмотреть причину движения «изнутри», следовало
бы — в силу всего сказанного — суметь различить, идет ли речь
о покоящемся или о движущемся теле, даже если рассматривать
последнее в качестве математической точки и даже если его «за-
стать» лишь в одной-единственной точке его траектории.
Итак, если движение неразложимо на конечное или бесконеч-
ное число элементов, то отсюда следует, что аргументы Зенона по
отношению к этому движению неприменимы. Верно, что прой-
денный путь, по существу, делим до бесконечности, но трудности,
о которых говорит Зенон, возникают только тогда, когда движу-
щееся тело, так сказать, «пересчитывает» точки или последова-
тельные положения. Но в строгом смысле оно этого не делает.
Оно просто их проходит, предоставляя, следовательно, нам заботу
подразделить путь, пройденный телом простым и непрерывным
движением, на сколько угодно частей. Движение является акту-
альным, зато подразделения являются виртуальными, касаясь не
движения, а только пути.
5. Бергсон
В своей «Творческой эволюции» 12 Бергсон вновь обращается
к обсуждению аргументов Зенона, развивая и углубляя анализ
идеи движения 13. По его мнению, приписываемая этим аргумен-
там трудность является кажущейся и коренится в изначально не-
верной постановке проблемы. Она возрождается с каждой очеред-
ной бесплодной попыткой подменить чисто концептуальное (сце-
нарное) представление непосредственной, прямой интуицией.
И не надо удивляться тому, что желание реконструировать дви-
жение, отправляясь от изменения позиций и пространственных
положений, иначе говоря, попытка ухватить движение посредст-
вом понятий, относящихся к области неподвижного, неизбежно
приводит к неудаче. Процесс движения некоторого движущегося
подменяют пройденным им путем, не принимая в расчет их ра-
дикальную разнородность. Так же как и для Ноэля, для Бергсона
движение является единым и неделимым. Желание подразделить
его на части, как это делается с некоторым пространственно про-
тяженным отрезком, например с отрезком пройденного пути,
лишено всякого смысла. Два последовательных движения — из я
в & и из ? в с — отнюдь не составят единого движения из ? в с.
Стоит преодолеть искушение подменить движение протяжен-
ностью, а длительность — пространством, и сразу обнаруживается
? бессмысленность такого «составления». Движение является неко-
3 А. Койре 33
торым внутренним единством, единством интенсивности, а не
протяженности. Оно сравнимо с феноменом жизни или психики.
Оно есть некий род органического единства и в качестве такового
с необходимостью обладает длительностью; его начало и конец
связаны неделимым единством, они взаимосопряжены и соподчи-
нены друг другу. Движение — это некое внутреннее состояние
энергии, выявляемое нами в каждом движущемся теле. Обычным
следствием этого является изменение места, но движение столь
мало идентифицируется с этим своим проявлением, что вполне
можно представить себе случай действительного и абсолютного
движения без изменения места. В этом плане достаточно поду-
мать о таком интимном, непосредственном и внутреннем феноме-
не, как движение нашего собственного тела и его членов. Пред-
ставим себе, что в то время, как мы поднимаем руку, наше тело,
будучи весьма хитроумно устроенным механизмом, произведет
ряд зеркально симметричных движений: в физическом смысле
наша рука не сдвинется с места, потому что ее положение в про-
странстве не изменится, однако никто не станет оспаривать тот
факт, что мы совершили реальное и в качестве такового абсолют-
ное движение. Приложим теперь результаты нашего анализа к
проблемам Зенона, в частности к аргументу «Ахиллес». Согласно
Бергсону, все трудности исчезли бы сами собой, так как на деле
они были воображаемыми. Движение Ахиллеса, так же как и
движение черепахи, осуществлялось бы посредством неделимых
актов. Ахиллесу не было нужды касаться всех точек, которые мог-
ли быть обозначены на его пути в результате некоего произволь-
ного деления: его движение осуществляется шагами определенной
величины и отнюдь не так, чтобы сначала оказаться в позиции,
исходной для движения черепахи, затем — в том месте, где она
находится в данный момент, и т. д.; он просто-напросто произве-
дет два скачка, и, так как каждый такой скачок намного больше
черепашьего шага, он ее, безусловно, догонит. Зенон и его учени-
ки расчленяют единство движения Ахиллеса; они его останавли-
вают в каждое мгновение. Они подменяют его свободное и не-
прерывное движение рядом остановок. Не удивительно, что с
учетом этого Ахиллес не может догнать черепаху, а стрела, вы-
нужденно неподвижная каждое мгновение, не может двигаться
с места.
6. Анализ аргументов Бергсона
Мы не хотим оспаривать ни объективную значимость, ни глу-
бину анализа Бергсона, во всяком случае не более, чем это имело
место в отношении Ноэля. Мы даже попытаемся несколько позд-
нее уточнить некоторые моменты этого анализа. (Представляется
достаточно очевидным, например, что движение не может быть
некоторым психическим явлением, и не верится, что Бергсон
34
вполне серьезно мог придерживаться противоположного мнения;
еще менее можно его отождествить с движущей силой или неко-
торой тенденцией, толчком и т. д.) Но эти критические суждения
никоим образом не могут служить против Зенона и его аргумен-
тов. У философа-элеата речь идет не об анализе движения само-
го по себе, а лишь постольку, поскольку оно осуществляется в
пространстве и во времени. Возражение Бергсона, следовательно,
не затрагивает движения — к тому же это возражение отчасти
основано на неточном понятии. Движение из ? в b не должно
обязательно являться ни некоторым, неделимым актом, ни рядом
таких актов; оно не обязательно должно иметь начало и конец.
Не поднимая вновь столь остро обсуждавшегося вопроса о начале
движения, достаточно напомнить, что однажды начавшееся дви-
жение можно рассматривать как движение, не имеющее конца,
как, например, в случае инерционного движения или движений
небесных тел. Если вслед за Декартом допустить, что движение
является состоянием тела, аналогичным состоянию покоя, то от-
сюда следует, что тело, находящееся в движении, должно с не-
обходимостью пребывать в этом состоянии, а его движение —
продолжаться бесконечно долго до тех пор, пока не будет оста-
новлено некоторой позитивной причиной. Бергсон, вероятно, воз-
разил бы, что эта концепция (инерционного движения) покоится
на недопустимом отождествлении «опространственного» време-
ни — некоей научной фикции — с истинной длительностью. И тем
не менее мы прекрасно можем рассуждать о чем-то движущемся
как таковом без того, чтобы начало или конец его движения были
заданы некоторым определенным образом, как, например, в слу-
чае всех астрономических движений. Заменим Ахиллеса и чере-
паху двумя движущимися по закону инерции телами — и мы
вновь оказываемся в самом средоточии проблем Зенона. Предпо-
ложим, что движение двух тел подчиняется закону, выражающе-
му отношение соответствующих им скоростей, — и здесь перед
нами вновь прогресс в бесконечность, непреодолимое опережение
одного из движущихся тел другим и в особенности взаимно-одно-
значное соответствие между всеми точками их траекторий. Было
бы неверным утверждать, что Зенон останавливает совершающего
свой путь Ахиллеса: он лишь фиксирует и заранее высчитывает
мгновения, когда атлет достигнет той или иной точки этого пути.
Утверждение, что в этих точках прерывается его следование,
равносильно утверждению, будто, следя с хронометром в руках за
Движением самолета, мы тем самым прерываем его полет или,
рассчитывая траекторию пушечного ядра, останавливаем его дви-
жение.
Аргумент «Стрела», даже при гипотезе о неделимости акта
движения, полностью сохраняет все свое значение. Обратимся к
случаю конечного, завершенного движения из а в b — полета
стрелы до цели. Это движение является единым и неделимым, по-
скольку пройденный путь обретает свое наличное бытие в момент
3* 35
завершения пробега. Таким образом, имея перед собой процесс
движения, мы сможем лишь впоследствии разделить на бесконеч-
ное число произвольных отрезков тот путь, который пройдет дви-
жущееся тело, но мы не можем сделать это сейчас, ибо траек-
тории, которую тело еще не описало, не существует. Зато путь,
который будет пройден телом, существует, а расстояние между
двумя точками ? и & и пространство, в котором эти две точки на-
ходятся, уже заданы. И ничто не мешает нам фиксировать сколь-
ко угодно точек, для чего отнюдь не надо ни останавливать
стрелу, ни редуцировать движение к ряду пространственных
определений; ничто не мешает нам задаться вопросом: в какой
момент стрела пройдет через такую-то и такую-то точку? Более
общо: если предположить, что дано бесконечное и неограниченное
число некоторых, пусть даже воображаемых, плоских поверхно-
стей, то имеем ли мы право утверждать (не прибегая при этом
к гипотезе об остановках), что стрела последовательно пройдет
сквозь все эти плоскости, подобно тому, как некий с силой пу-
щенный острый предмет проходит сквозь находящиеся на его
пути деревянные или стальные препятствия? И не встают ли
здесь, следовательно, вновь возражения Зенона, а именно необхо-
димость допустить наличие актуальной бесконечности и предпо-
ложить законченным стремящееся к бесконечности деление?
7. Анализ аргументов Ноэля
Теория Ноэля вызывает аналогичные возражения. Ноэль,
правда, не считает, что движение выполняется в виде неделимых
актов или в виде последовательности таких актов; его анализ,
однако, еще в меньшей степени, чем анализ Бергсона, элимини-
рует выявленные Зеноном трудности. Верно, конечно, что дви-
жение является весьма своеобразной сущностью, коррелятивной
покою и столь же несводимой к чему-либо другому, как и этот
последний; можно также сказать, что из них обоих скорее покой
наделен способностью быть редуцированным к движению, чем
наоборот, движение — к покою. Столь же верно, что движение
является состоянием движущегося, а не просто изменением мес-
та — в геометрическом смысле слова. Однако что касается Зенона,
то у него, несомненно, речь идет как раз об этом изменении места,
а не о движении, понятом в его сущности, или в его внутреннем
аспекте. Итак, достаточно самой малости — изменения единст-
венного понятия в концепции Ноэля, — чтобы разом вновь воз-
никли все трудности Элеата. Признаем вместе с Ноэлем, что
нельзя реконструировать движение, исходя из некоторого ряда
состояний покоя, что движущееся движется в каждое мгновение
и движется в каждой точке своей траектории и что способ, кото-
рым движущееся вступает в отношение с каждой проходимой им
точкой пространства, коренным образом отличен от способа, ко-
торым устанавливается отношение между покоящимся телом и
точкой, которую оно занимает. Мы даже пойдем еще дальше, а
именно вместе с Аристотелем скажем, что движение и неподвиж-
ность соотносятся как бытие и становление. Неподвижное, покоя-
щееся тело действительно есть в точке или месте, определенном
его положением покоя; и наоборот, движущееся тело не есть в точ-
ках своей траектории. Было бы в корне неверным утверждать,.
что движущееся в каждое мгновение своего движения есть в не-
которой определенной точке. Наоборот, ни в какое мгновение оно
не есть в какой-либо точке своего движения: дело ограничивается;
лишь тем, что оно все эти точки проходит. К сожалению, все эта
не помогает нам отвергнуть аргументы Зенона. Ибо достаточно
в формулировке этих аргументов слово «быть» заменить словом
«проходить», чтобы они стали столь же удобопотребимыми, как
и прежде. Если верно, что ни Ахиллес, ни черепаха ни в какое
из мгновений не есть в действительности ни в какой из точек
своей траектории, это ничуть не препятствует тому, что они дол-
жны пройти последовательно одну за другой каждую из этих
точек. Так же как Ахиллес и черепаха, стрела, прежде чем до-
стичь своей цели, должна пройти бесконечное множество точек;
мы всегда можем установить взаимно-однозначное соответствие
между точками, пройденными Ахиллесом, и точками, пройденны-
ми черепахой. Но это, как мы сейчас увидим, и является крае-
угольным камнем аргументации Зенона. Возражение Ноэля, что
движущееся не «пересчитывает» все точки своей траектории, не
совсем точно передает действительную ситуацию. По мере того
как оно проходит все точки между началом и концом своей траек-
тории, оно их «пересчитывает», и, согласно тому же Ноэлю, число
этих точек является бесконечным.
8. Смысл аргументов Зенона
Анализ возражений Зенона против движения и основных по-
пыток их опровержения привел нас к тому ценному результату,
который уже был сформулирован нами в самом начале данного
исследования: возникающие трудности не касаются движения
как такового, они относятся к нему лишь постольку, поскольку
движение происходит во времени и пространстве. На этих-то двух
непрерывных сущностях и базируются парадоксы Зенона. Больше
того, сделав следующий шаг и исключив время, мы сможем огра-
ничиться рассмотрением одного лишь пространства, т. е. про-
странственных расстояний, траекторий и их взаимных отношений.
Став на еще более радикальную точку зрения, мы абстрагируемся
также и от пространственности как таковой, и тогда в качестве
объекта исследования останется лишь квакгг/ля-континуум, или
континуум как таковой. Действительно, каковы, в сущности, два
основных возражения, составляющих ядро аргументов Зенона?
36 37
1. Расстояние, или путь (не пройденный путь, а тот, который
еще предстоит пройти), является бесконечно делимым еще до
всякого измерения и всякого движения; оно содержит актуально
бесконечное число точек. Будем ли мы считать прямую «состав-
ленной» из «суммы» бесконечного числа точек или, наоборот, бу-
дем считать эту прямую единой и первично данной, ограничив-
шись тем, что отметим на пей точки в качестве вторичных элемен-
тов, результат будет тем же. В обоих случаях мы имеем дело с
актуальной бесконечностью. У нас нет необходимости ни в дви-
жении, ни в движущемся: уже геометрическая прямая сталкивает
нас лицом к лицу со всеми трудностями дихотомии.
2. Можно в принципе установить взаимно-однозначное соответ-
ствие между всеми точками различных траекторий двух движу-
щихся или, более общо, между всеми точками двух разновеликих
отрезков одной линии. Совершенно ясно, что здесь еще в меньшей
степени, чем в первом случае, мы имеем дело с движением и с
движущимися, но с одними и только одними отношениями между
геометрическими объектами, между математическими величинами.
Следовательно, парадоксы не обладают чисто форономическими и
смыслом и значением. Сфера их действия является гораздо более
обширной; можно констатировать, что, в сущности, они в скрытом
виде коренятся во всякой геометрической теореме, во всякой ал-
гебраической формуле, во всяком арифметическом предложении.
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно перевести парадоксы
Зенона на язык математики и привести из нее несколько элемен-
тарных примеров 15.
1. Дихотомия. Пусть переменная X изменяется между преде-
лами О и А; антиномия дихотомии состоит в упоре на тот факт,
что переменная должна определенным способом пробежать все
значения, заключенные между О и А.
2. Ахиллес. Две переменные связаны отношением Y = AX.
Каждому значению X соответствует одно и только одно значение
Y, и обратно. Однако Y растет быстрее, нежели X, так что в ко-
нечном счете Y=X+C.
3. Стрела. В математическом представлении парадокс стрелы
просто означает следующее: все значения переменной являются
постоянными величинами.
4. Стадий. Этот аргумент состоит в том, что между всеми точ-
Егами двух или более отрезков линии вне зависимости от их соот-
ветствующей величины может быть установлено взаимно-одно-
значное соответствие. Это выражается формулой: Y=AX.
Приведем еще несколько примеров, которые позволяют нам
лучше, чем с помощью абстрактных формул, уловить смысл пара-
доксов Зенона, высвобожденных из их форономических одеяний.
Представим в декартовых координатах наиболее простую из фор-
мул: Y = X.
38
Y
К (????)
?
Определяемая этой формулой линия, очевидно, является пря-
мой. Каждой точке этой прямой соответствует точка на линии
абсцисс, и обратно; взаимно-однозначный характер этого соответ-
ствия исключает какой-либо избыток или недостаток точек с той
и другой стороны. И однако же, ОХп<.ОК (где К— точка с коор-
динатами ????·—Прим. перев.). Рассмотрим другой пример, ко-
торый может служить геометрической интерпретацией одновре-
менно и для «Ахиллеса», и для «Стадия». Даны два равновеликих
отрезка параллельных прямых А и В. Дана также прямая С, ко-
торая вращается вокруг точки О, лежащей вне этих параллельных
прямых, и пересекает их. Очевидно, что каждому положению ОС
соответствуют две точки А та В m что таким образом устанавли-
вается взаимно-однозначное соответствие между всеми точками
отрезка АК прямой А и точками отрезка ВМ прямой В, который
явно составляет лишь часть отрезка АК 16.
"лишние точки"
Возражение, согласно которому, вводя вращение прямой С,
мы тем самым вновь вводим движение, представляется неправо-
мерным, ибо вращение этой прямой есть не что иное, как пучок
лучей, исходящих из точки О.
Пусть, наконец, дана некоторая кривая, например окружность.
Поскольку, как всем известно, к каждой точке окружности может
быть проведена касательная, постольку мы вновь можем утвер-
39
ждать, что окружность пи в одной из своих точек не искривляется.
Но тогда где же она искривляется? Мы вновь оказываемся лицом
к лицу с «неуязвимой» апорией стрелы, а именно: «где» движется
подвижное и как оно может двигаться, если оно не движется ни
в одной из точек своей траектории? В случае окружности мы стал-
киваемся с трудностью еще большей степени сложности, чем в
апории Зенона, при попытке найти решение посредством установ-
ления отношения между данной точкой и точкой, которая предше-
ствует ей или непосредственно за ней следует (как это делал
Эвеллен), по той простой причине, что таких точек не существует.
И сразу же вновь возникает проблема дихотомии; не убеждает
ли это нас в невозможности перехода из точки отправления в
точку, непосредственно за ней следующую, — за неимением тако-
вой? Но тогда как возможно движение?
9. Бесконечность. Декарт
Как мы только что видели, аргументы Зенона распространяют-
ся на все фундаментальные проблемы и концепции геометрии. Мы
сейчас увидим, что они распространяются также и на область
арифметики, так что в математике невозможно, так сказать,
и шага ступить без того, чтобы не столкнуться с дихотомией.
И в этом нет ничего удивительного, поскольку базой для аргумен-
тов Зенона служат трудности, неотделимые от понятия бесконеч-
ного. Итак, мы обнаруживаем их везде, где сталкиваемся с поня-
тием бесконечности; но в свою очередь это понятие присутствует
почти повсеместно, и в частности в математике, основой которой
оно является. По той же причине если бы кажущееся противоре-
чие понятия бесконечности было допущено в качестве реального,
то тем самым мы сразу же вынуждены были бы отбросить и под-
вергнуть осуждению математику в целом — не только теорию
функций и исчисление бесконечно малых, но с ними также евкли-
дову геометрию и даже арифметику.
Является ли в действительности противоречивым само по себе
понятие (актуальной) бесконечности? Положительный ответ на
этот вопрос встречается довольно часто, причем для его доказа-
тельства всегда можно прибегнуть к аргументам Зенона. При
этом утверждается, что невозможно «понять» бесконечное, т. е.
рассматривать в качестве актуального нечто незавершенное, счи-
тать выполненным и законченным уходящее в бесконечность де-
ление. Со своей стороны мы утверждаем, что кажущиеся проти-
воречия проистекают из двух случаев смешения понятий, а имен-
но когда отождествляют неопределенное с бесконечным и когда
финитарные понятия, например численное равенство, применяют
к бесконечному. Впрочем, выяснение и обсуждение этих вопросов
исчерпывающим образом осуществили в своих работах Б. Рассел
и А. Кутюра, так что мы не будем вновь этим заниматься 17. Хо-
40
телось бы, однако, еще раз подчеркнуть тот факт, что понятие
актуальной бесконечности не может быть редуцировано либо
реконструировано, исходя из других понятий.
Понятия виртуальной бесконечности, бесконечного возраста-
ния и неограниченного изменения, к которым намеревались свести
актуальную бесконечность или которыми даже пытались заменить
ее, наоборот, сами основываются на ней и логически ее предпола-
гают. Логически виртуальная бесконечность возможна лишь на
базе актуальной бесконечности. Только лишь в бесконечности
(актуальной) некоторая величина,, некоторая переменная может
возрастать и изменяться до бесконечности. Вне всякого сомнения,
поскольку бесконечность является неопределенной, утверждение,
что она есть нечто завершенное, является противоречивым; но
если речь идет об актуальной бесконечности, то все обстоит про-
тивоположным образом. Или, прибегая к аристотелевской терми-
нологии: ничто не может одновременно быть актуальным и в воз-
можности; но вместе с тем актуальное является основой потенци-
ального, а не наоборот. Если на некоторой прямой можно обозна-
чить бесконечное число точек, то это потому, что они там есть.
Если возможен счет до бесконечности, то потому, что число ко-
нечных чисел бесконечно. Точно так же понятие предела, с помощью
которого стремятся обойти трудности 18 и элиминировать понятие
актуальной бесконечности, предполагает наличие этой последней.
Действительно, утверждение, что некоторая точка или величина
являются пределом последовательности, равносильно утвержде-
нию, что, сколь бы близко ни подойти к пределу, сколь бы мал ни
был отделяющий от него промежуток, в последнем всегда содер-
жится бесконечное множество точек, бесконечное множество эле-
ментов этой последовательности. Итак, при определении предела
понятие бесконечности дважды заявляет о себе:
а) в понятии бесконечного числа точек;
б) в понятии бесконечного приближения к пределу.
Напомним в этой связи, что теорию актуальной бесконечности
вполне правомерно связывают с именем Георга Кантора, но что
задолго до Кантора она служила уже основой философского и ма-
тематического мышления. Не говоря пока о Бернарде Больца-
но 19 — гениальном предшественнике Кантора, который, не поня-
тый своей эпохой, был также забыт потомками и вновь открыт
лишь в наше время, — мы прежде всего обращаем свой взор на
великого основоположника новой науки и новой философии Рене
Декарта. Превосходящий Кантора мощью и глубиной своих взгля-
дов, он смог не только утвердить существенную законность акту-
альной бесконечности и показать невозможность замены ее поня-
тием неопределенного, но и, более того, сделать ее основанием и
началом теории конечного.
41
10. Парадоксы бесконечного.
Бернард Больцано
Больцано отчетливо увидел законность и существенную необ-
ходимость понятия актуальной бесконечности. В своей небольшой
книге «Парадоксы бесконечного», где он значительно приумножил
число парадоксальных следствий, которые при желании могут
быть извлечены из этого понятия, он одновременно показал чисто
иллюзорную природу так называемых противоречий, введя поня-
тие эквивалентности, которое в области бесконечного соответству-
ет понятию равенства применительно к конечным числам и сум-
мам. Действительно, утверждение, согласно которому конечное
число, отличное от нуля, равно своей половине, явно абсурдно и
противоречиво, чего не скажешь об утверждении, что некоторое
бесконечное целое эквивалентно одной из своих частей. Так, на-
пример, число конечных чисел с необходимостью является беско-
нечным, и поскольку эти числа должны рассматриваться как дан-
ные еще до начала самой процедуры их пересчета, то их число
является также актуально бесконечным. И однако, это число не
превосходит числа всех четных или простых чисел, в чем легко
убедиться, установив взаимно-однозначное соответствие между
множеством всех чисел и каждым из множеств этих (четных и
простых) чисел. Точно так же о числе всех рациональных чисел
или о числе всех алгебраических чисел нельзя сказать, что оно
«больше» числа всех чисел. Все эти множества эквивалентны друг
другу, точно так же, как, например, множество всех алгебраиче-
ских чисел эквивалентно множеству алгебраических чисел, заклю-
ченных между 0 и 1 или, в общем случае, заключенных между
двумя любыми заданными пределами. Различие между равенством
и эквивалентностью позволяет понять, почему возможность уста-
новления взаимно-однозначного соответствия между всеми точка-
ми двух различных отрезков некоторой траектории («Ахиллес»
и «Стадий») не влечет за собой равенства этих отрезков. Эквива-
лентность не включает в себя равенство: первое отношение имеет
место в случае бесконечного, второе, наоборот, лишь в случае ко-
нечного.
11. Георг Кантор
Развивая идеи Больцано, Георг Кантор пришел к еще более
интересным выводам20. В качестве отправной точки своих иссле-
дований он решительно принимает понятия бесконечного множе-
ства и бесконечного числа и развивает на основе этих понятий
«арифметику бесконечного». Применяя к бесконечному понятие
порядка, он вводит понятие трансфинитного порядкового числа.
Мы не намерены здесь входить во все детали этой достаточно хо-
42
рошо известной теории; остановимся лишь на следующих двух
интересующих нас моментах.
Г. Кантор определяет бесконечное множество как обладающее
свойством быть эквивалентным одной из своих частей, или, как
он говорит, иметь одинаковую с ней «мощность». Зато конечное
множество может быть определено лишь посредством того факта,
что оно не обладает частью, равномощной целому, другими слова-
ми, как множество, не являющееся бесконечным. Таким образом,
как это было осознано уже Декартом, именно бесконечное являет-
ся первичным и позитивным понятием, так что конечное может
быть понято лишь посредством отрицания бесконечного. Отсюда
следует, что при логическом конструировании арифметики поня-
тие бесконечного и теория бесконечных множеств должны быть
помещены до теории конечных чисел, ибо, предшествуя последней
логически, они служат ей основанием. Причина того факта, что
понятие бесконечного является предшествующим как в арифме-
тике, так и в геометрии, коренится в самой природе конечного
числа. Так как последовательность конечных чисел с необходи-
мостью продолжается в бесконечность, понятие бесконечного, оче-
видно, должно содержаться в определении конечного числа.
Б. Исследуя понятия предела и континуума, Кантор получил
чрезвычайно важный результат: мощность континуума бесконечно
выше мощности счетного бесконечного множества. Таким образом,
существуют по крайней мере две бесконечности21.
Анализируя понятие предела, мы сталкиваемся с тем, что Кан-
тор называет «точкой накопления» 22. Он определяет ее, отправ-
ляясь от факта, что на любом расстоянии от этой точки найдется
по крайней мере одна точка, принадлежащая последовательности;
отсюда непосредственно следует, что существует бесконечное
число таких точек, «близких» к точке предела, ? что не сущест-
вует точек, еще более «близких» к точке предела, чем точки, при-
надлежащие последовательности. Задавшись целью установить
существенные свойства континуума, Кантор открыл следующие
характеристики, которые, как он предполагал, смогут послужить
для конструктивного определения континуума (мы придерживаем-
ся противоположного мнения, о чем будет оказано в следующем
параграфе) : все точки континуума являются точками накопления
и составляют часть непрерывного множества, и наобо-рот: все точ-
ки накопления принадлежат множеству. Другими словами, конти-
нуум является неким законченным плотным ? связным единст-
вом 23. Между двумя любыми точками континуума с необходи-
мостью расположено бесконечное (непрерывное) множество
других точек. В континууме нет двух лимитрофных (погранич-
ных) точек. Все его точки разделены бездной бесконечного (не-
прерывного) множества точек. Здесь дихотомия появляется в по-
следний раз; ? именно здесь мы с ней окончательно расстаемся.
Действительно, поскольку выдвигаемая ею проблема является
общей для всех математических дисциплин и поскольку импли^
43
цитные ей трудности не являются противоречиями, а суть просто
парадоксы, у нас нет необходимости считаться с ними в ходе
позитивного анализа движения. Всюду, где мы оперируем такими
понятиями, как расстояние, прямая, путь, тело, мы оказываемся
в области, в которой проблема Зенона предполагается решенной,
так как иначе все поименованные понятия (расстояние, прямая,
путь, тело) лишаются всякого смысла. Своими корнями проблема,
поднятая Зеноном, уходит в глубины чистой математики. На уров-
не же исследования движения этой проблемы более не сущест-
вует.
12. Бесконечное и непрерывное
Мы не можем перейти к анализу движения, не сказав предва-
рительно несколько слов о непрерывном. Довольно занятно, что
Георг Кантор, который с такой силой и точностью показал невоз-
можность определить бесконечность и сконструировать ее, отправ-
ляясь от более простых элементов, верил, однако, в возможность
дать конструктивное определение континуума или, скорее, кван-
тг/ж-континуума. (Об этом мы уже упоминали выше.) По нашему
мнению, такое определение может рассматриваться как описание
или анализ смысла понятия «непрерывная величина», но не как
конструктивное определение. Идея непрерывности является про-
стой, несводимой к другим идеям, т. е. идеей такого же рода, что
и идея бесконечности. Как представляется, в своем определении
Кантор впадает в порочный круг. Утверждая, что континуум дол-
жен быть законченным целым, он тем самым выражает идею, что
все точки накопления должны быть включены в это целое, —
идею, предполагающую существование других, отличных от этих
точек накопления, которые первоначально рассматривались как
принадлежащие последовательности, всему бесконечному целому;
эта идея предполагает существование точек, расположенных «меж-
ду» и «вне» рассматриваемых точек целого. Иначе говоря, это есть
не что иное, как идея непрерывного «окружения». Можно было
бы, как нам представляется, точно так же утверждать, что уже
понятие предела предполагает наличие континуума.
Итак, необходимо тщательно отличать континуум от непрерыв-
ной величины. Ведь только в связи с континуумом выдвигается
истинно философская проблема, вечная онтологическая проблема
«небытия» (????). Ибо континуум сам по себе не поддается ни-
какому определению посредством величины, числа и т. д. Как
говорит Платон, мы не можем различить в нем ни большое, ни
малое. Его различные части не поддаются сравнению одна с дру-
гой. В нем вообще невозможно зафиксировать никаких частей.
Непрерывное не является ни множественностью — в смысле це-
лого, — ни величиной. Оно является, так сказать, «инаковостью
в себе» (??????), как сказал бы Платон. Его нельзя ни сосчитать,
ни измерить. В отношении непрерывного как целого нельзя ска-
44
дать, что бесконечная протяженность эквивалентна ее наимень-
шим частям, ибо понятия целого и части неприменимы к этой
.«инаковости». Это непрерывное не является ни только неким
единством, ни только множественностью — ибо эти две идеи кор-
релятивны, — оно есть (в той мере, в какой оно есть) некое
«единство», которое не есть одно, некая «множественность», кото-
рая не является многим. Это — истинное ????, беспредельный и
безмерный хаос, платоновское «незаконнорожденное» бытие.
В равной мере это — единая, бесконечная и неделимая спинозов-
ская протяженность. Это — то почти невыразимое свойство непре-
рывной протяженности, которое проявляется в виде непрерывных
величин и благодаря которому бесконечное пространство в целом
соответствует какой-либо из своих частей, так что, будучи отобра-
женным на произвольный отрезок геометрической прямой, это
пространство может быть представлено таким отрезком. Именно
здесь, при переходе от чистого, взятого само по себе непрерывно-
го к непрерывной величине, к некоторой ограниченной части про-
странства, разверзается «бездна», та бездна, которая на деле за-
полняется всеми частями этого пространства — прямыми, телами
и т. д. Движение, в котором и посредством которого преодолевает-
ся пустота, не привносит никакой новой трудности, никакого осо-
бенного парадокса. И если уж озадачиваться, то не вопросом,
как происходит, что тело способно преодолеть бездну делимого до
бесконечности пространства, что оно способно пробегать протя-
женность, состоящую из бесконечного множества точек, а скорее
вопросом, как происходит, что непрерывное, которое не подвласт-
но никакому количественному определению, становится вместе с
тем прямой, расстоянием, телом. Вопрос не в том, как из делимого
составляется целое, а, наоборот, как возможно разделить, изме-
рить неделимое, неизмеримое? И совсем уж недопустимо начи-
нать решение или объяснение с трактовки времени и пространст-
ва как чего-то «субъективного», как «чистой апперцепции» и т. д.
Ибо, будь они реальными или субъективными, находись они
внутри разума или вне его, проблема остается той же самой. На
деле проблема пространства и времени определяется тем способом,
которым мы представляем их себе, не имея возможности «понять»
их; и уж что мы действительно не можем уловить — так это идею
непрерывного.
Источником возражения против возможности движения яв-
ляется не бесконечно делимое пространство, а, наоборот, недели-
мое пространство, и, кроме того, эти возражения ни в коей мере
не затрагивают движения как такового. Истинные проблемы и
трудности по своей природе онтологичны; они порождаются струк-
турой самого бытия24. Они возникают задолго до того, как мы
сталкиваемся с движением, задолго до того, как движение стано-
вится для нас «проблематичным». Следовательно, эти трудности
не должны служить помехой и препятствием для анализа такого
особого явления, как сущность движения.
45
Предшествующие размышления, как представляется, в какой-
то мере открывают путь объективному анализу движения. Те не-
сколько замечаний, которые будут добавлены к уже изложенному,
имеют своей целью лишь дополнить в некоторых пунктах пози-
тивный анализ, осуществленный Ноэлем и Бергсоном.
13. Движение
Мы не считаем своей целью пи изучение всех видов движения,
ни строгую и обобщенную формулировку проблемы движения и
движущегося — мы ограничиваемся движением тел. То, что будет
изложено ниже, может показаться чем-то банальным и «само со-
бой разумеющимся». Вспомним, однако, известное высказывание
Коши: «Нет ничего более удивительного, чем очевидное».
Движение, как и все истинно первоначальные явления, не под-
дается определению. Все, что мы можем сделать, — это с различ-
ных точек зрения попытаться выявить и зафиксировать в слож-
ном явлении реального движения все составляющие его факторы
и элиминировать из него все то, что является просто условием
движения или его необходимым следствием, иначе говоря, попы-
таться понять движение в его чистом виде и обнаружить его су-
щественные характеристики.
Движение не есть простое перемещение, если понимать под
этим изменение места. Можно вообразить, что тело внезапно ис-
чезает из данного места с тем, чтобы чудесным образом возник-
нуть в другом. При такой постановке вопроса (а ведь именно так
представляли себе движение окказионалисты и мутакаллимы25}
нет речи о движении в собственном смысле слова. Осуществлен-
ное движение предполагает изменение места, но оно не тождест-
венно последнему. Еще в меньшей мере движение является им-
пульсом или тенденцией — к тому же это два совершенно различных
понятия. Может иметь место определенная тенденция и в резуль-
тате этой тенденции — некоторый импульс, и, однако, при всем
том не будет движения, как, например, в случае, когда человек
пытается поднять ампутированную руку. В силу тех же причин
движение не является некоторой силой26. Сила, конечно, нужна,
чтобы привести тело в движение; но, как только движение задано
и осуществлено, сила по преимуществу направлена на устранение
мешающих движению препятствий или в случае свободного дви-
жения — движения живых существ — на определение их имма-
нентной и определенной цели. В самом деле, как представляется,
следует строго различать «живые» движения и движения «мерт-
вые», движение-акт и движение-состояние27. Движение, понимае-
мое как акт, с необходимостью имеет начало и конец. В этом слу-
чае оно образует нечто действительно целое, некое единство, орга-
низованное в соответствии со своей целью, некое телеологическое
46
единство, части которого — предыдущая и последующая — взаимо-
проникают и взаимоопределяют друг друга. Оно необходимым об-
разом ограничено во времени и пространстве и несет предел в
себе самом: даже если устранить все препятствия, порождаемые
его внутренней силой, оно закончится остановкой. Наоборот, дви-
жение как состояние безгранично во времени и пространстве.
У него нет цели, которую оно преследует, а есть только направ-
ление, которому оно следует. Если бы все препятствия были
устранены, это движение продолжалось бы неограниченно.
Итак, что такое движение? В-себе-и-для-себя оно есть некое
особенное поступательное движение "(progression particuliere)
тела, есть в точности то, что остается, если разом устранить все
только что перечисленные гетерогенные элементы. Движение как
таковое не является ни протяженным, ни делимым. Оно не явля-
ется чем-то телесным, хотя и является физическим феноменом.
Оно не явление психического порядка, как говорит Бергсон, ко-
торый скорее ориентируется на движение живых существ, воз-
рождая тем самым виталистскую точку зрения Аристотеля.
14. Движение и покой
Движение коррелятивно покою. Они взаимно исключают друг
друга. Как движение, так и покой существуют во времени, но,
больше того, занимают в нем определенную протяженность, т. е.
они длятся. Это является тем, что отличает покой от простой не-
подвижности, которая может быть только мгновенной и, даже бу-
дучи помещенной во времени, не может длиться28. Рассматривае-
мое само по себе, движение обладает третьей временной характе-
ристикой; в собственном смысле слова оно осуществляется и
конституируется во времени, что не имеет места в случае покоя.
Покой не является пространственным, он не является в-себе-и-для-
себя-сущим в пространстве; последнее выступает лишь опосредо-
ванно, в той мере, в какой покоящееся тело находится в простран-
стве.
Движение с необходимостью является непрерывным — абсо-
лютный скачок явился бы отрицанием движения. Движущееся
движется и находится в движении в каждое мгновение и в каж-
дой точке своей траектории. Зато оно не движется ни в месте, где
оно есть, ни в месте, где его больше нет, следовательно, ни в точ-
ке и ни в момент отправления, ни в точке и ни в момент прибы-
тия. К такому же выводу нас приводят следующие два рассужде-
ния: отправление и прибытие являются моментальными феноме-
нами, мгновенными событиями, которые в таком качестве лишены
длительности; они не обладают, так сказать, «в самих себе» вре-
менной протяженностью, или плотностью, они не являются ни
Движением, ни покоем. Движущееся тело проходит все точки сво-
ей траектории, за исключением точки отправления и точки при-
оытия. Начало и конец движения, взятые сами по себе, несовме-
47
стимы одновременно с движением и покоем; но, будучи, мгновен-
ными, строго симметричными феноменами, которые протекаю!,
так сказать, «на месте», они прекрасно согласуются с неподвиж-
ностью. Тело, которое отправлялось бы и прибывало в одно и то
же мгновение, было бы неподвижно в это мгновение и в этом
месте. Оно не движется, но и не покоится — таковы последова-
тельные колебания маятника. Поскольку направление движения
является свободно варьируемым элементом, то из предыдущего
следует, что два последовательных движения, которые имели бы
одинаковое направление и одинаковую скорость и были бы отде-
лены друг от друга одной лишь мгновенной остановкой (когда
отправление и прибытие совпадают друг с другом во времени),
не могут быть отождествлены с единым движением, которое дли-
лось бы столько же, сколько оба соединенные вместе движения,—
хотя прошедшее время и пройденное расстояние были бы в обоих
случаях строго равны 29.
В данном исследовании мы не затрагиваем проблем, связанных
со скоростью, направлением, изменением скорости и направления,
относительным и абсолютным движением, — для этого потребова-
лась бы специальная работа. Позволим себе закончить парадок-
сальной на первый взгляд констатацией: движение и покой как
таковые не начинаются и не завершаются — хотя они имеют на-
чало и конец, — потому что ни в движении, ни в покое нет ни
первого, ни последнего мгновения. Не существует также мгнове-
ния, непосредственно следующего за каким-либо мгновением дви-
жения или покоя, как не существует мгновения, непосредственно
предшествующего ему. Но этот парадокс нас пугать не должен,
ибо мы знаем, что это оборотная сторона непрерывности, закон-
ченной связности движения в себе самом.
Заключение
Мы критически изложили решения парадоксов Зенона, предло-
женные Ф. Эвелленом, Г. Ноэлем и А. Бергсоном, ибо, как типич-
ные для имевших место со времен античности решения, они отли-
чаются несравненной ясностью и строгостью. Нам показалось
излишним проводить исчерпывающий анализ всей посвященной
этой проблеме литературы.
Мы также не стали останавливаться на разборе исследования
парадоксов Зенона, проведенного Адольфом Райнахом30, ибо
смысл и цель его работы состоят в предметном анализе проблемы
движения. В этой работе парадоксы Зенона рассматриваются лишь
мимоходом, как некая традиционная и удобная исходная точка.
Действительно, поскольку от исследования парадоксов Зенона не
зависят связанные с движением проблемы, в разъяснение кото-
рых существенный вклад внес Раинах, последний не счел себя
обязанным заниматься их рассмотрением.
48
ПРИМЕЧАНИЯ
1 K o y r e A. Remarques sur les paradoxes de Zenon. — In: K o y r e A,.
Etudes dhistoire de la pensee philosophique. Paris, 1961, p. 9—32.
2 См.: B r o c h a r d V. Essais de philosophie ancienne et de philosophie·
moderne. Paris, 1927.
3-4 Интерпретация парадокса как некоторой логической трудности, со-
стоящей в том, что в качестве условия решения задачи (достижение неко-
торой точки) выдвигается предварительное решение другой задачи, в точ-
ности подобной первой, эквивалентна нашей концепции, ибо, как представ-
ляется, трудность состоит в том, что число предварительных решений бес--
конечно. 5 Точке, которой касается Ахиллес, соответствует точка, которой каса-
ется черепаха. 6 См.: N o e l G. Le mouvement et les arguments de Zenon dElee. — In:;
Revue de Metaphysique et de Morale, 1893. 7 См.: E v e l l i n F. Le mouvement et les partisans des indivisibles. —
In: Revue de Metaphysique et de Morale, 1893. 8 Примечание 1959 г.: Наличие максимума скорости допускается сегод-
ня теорией относительности. И вполне может статься, что некоторый ми-
нимум, равно как и конечное число возможных скоростей будут постули-
рованы квантовой теорией. Не исключено, что мы движемся к теории зерни-
стого строения пространства и времени... Следовательно, вполне возможно,
что финитарность — физическая — вновь восстанет из пепла.
9 См.: N о ё 1 G. Op. cit.
10 Легко усмотреть схожесть идей Ноэля с идеями Лейбница и, само-
собой разумеется, Аристотеля. 11 Имеется в виду (количественное) различие типа «в большей или:
меньшей степени». — Прим. перев.
12 См.: Bergson H. Evolution creatrice. Paris, 1907.
13 Что было уже сделано ранее, в 1889 г., в работе "Essai sur les donnees
immediates de la conscience". 14 И. Кант в работе «Метафизические начала естествознания» (1786)
дает следующее определение этого понятия: «Метафизические начала ес-
тествознания нужно ...разделить на четыре основных раздела: первый из=
них рассматривает движение как чистую величину (quantum) в его сложе-
нии, игнорируя качества подвижного, и он может быть назван форономией»
(Иммануил Кант. Метафизические начала естествознания. — В::
К а н т И. Сочинения в шести томах, т. 6. М., «Наука», 1966, с. 66.)
15 Ср.: R u s s e l l В. Principles of mathematics. Cambridge, 1903, с кото-
рым мы, однако, по многим пунктам расходимся.
16 Для большей ясности мы позволили себе несколько дополнить чер-
теж, приводимый в книге А. Койре. — Прим. перев.
17 Ср.: R u s s e l l В. Op. cit., и особенно: С о u t u r a t L. De linfini mathematique.
Paris, 1896.
18 Как это делает Р. Дедекинд.
19 B o l z a n o В. Die Paradoxien des Unendlichen. Regensburg, 1837.
20 См.: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig,,
1883; C a v a i l l e s J. Remarques sur la formation de la theorie abstraite des
ensembles. Paris, 1938. 21 Не существует мощности, расположенной между мощностью несчет-
ного бесконечного множества и мощностью континуума. Существует ли
мощность, превышающая эту последнюю? Эта проблема ждет своего реше-
ния. (Вероятно, А. Койре имеет в виду так называемую континуум-проблему,
которую он не совсем корректно формулирует. Если мы обозначим мощ-
ность континуума через с, то тогда континуум-проблема состоит в том, ка-
ково место с в ряду трансфинитных кардинальных чисел («алефов»), со-
ставляющих «шкалу мощностей» «алеф»о, «алеф»ь «алеф»2... Кантор выска-
вал гипотезу, что с = «алеф». Континуум-проблема была решена в 1964 г. аме-
4 А. Койре 49
рикапским математиком П. Козном. См.: К о э н П. Дж. Теория множеств
л континуум-гипотеза. М., 1969.— Прим. перев.)
22 В современной терминологии — предельная точка; точка накопле-
ния. Последующее определение континуума у Койре нуждается в некотором
уточнении: Кантор называл континуумом связное совершенное множество.—
.Прим. перев.
23 Можно было бы, разумеется, изъять из континуума бесконечное мно-
жество точек и тем самым повсеместно наделать в нем «дыр», но это никак
не скажется на мощности континуума. В мои намерения, однако, не входит
.излагать здесь теорию континуума так, как она развивалась математи-
ками.
24 Как представляется, в этом состоит глубинный смысл аргументов
диалектика-элеата. В его глазах проблема движения — это лишь пример,
.пример наиболее яркий, невозможности подразделения, ограничения Еди-
ного — непрерывного.
25 Мутакаллимы — адепты средневековой мусульманской схоластики,
.которые в своей философии придерживались атомистической концепции.—
.Прим. перев.
26 Это ясно видно на примере движения бесплотных образов и вообще
во всех случаях чисто форономических явлений.
27 К этому, собственно, сводится все различие между античной физикой
.и физикой Нового времени: в то время как для Аристотеля движение с
необходимостью является актом или, точнее, актуализацией («действие
существа в возможности и постольку, поскольку оно в возможности»), для
Галилея, как и для Декарта, оно становится состоянием.
23 Все находящееся в покое неподвижно, но обратное неверно.
29 Мы оставляем в стороне проблему интерпретации движения.
30 См.: R e i n а с h A. Ueber das Wesen der Bewegung. — In: R e i n а с h A.
Gesammelte Schriften. Halle, 1921.