Дубнищева Т. Концепции современного естествознания. Учебное пособие

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 13 КОНЦЕПЦИИ САМООРГАНИЗАЦИИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
13.1. Возникновение упорядоченности в гидродинамике. Понятия аттрактора и динамического хаоса

Рассмотрим в качестве примера течение воды при термодинамическом равновесии, при малых и больших отклонениях от него. Особенности перехода от ламинарного течения к турбулентному важны для практики, для гидро- и аэромеханики, и они неоднократно решались в рамках физики, механики и математики. Термин «турбулентность» (от лат. turbulentus— беспорядочный) ввел еще Кельвин. Точного описания его нет до сих пор, как нет простой математической модели турбулентных движений, которые оказались связанными с нелинейностью.
В теории обычно имеют дело с безразмерным параметром — числом Рейнольдса Re, введенным в гидродинамические теории (1883) и связанным с режимом течения жидкостей и газов: Re = , где v— скорость потока; L— линейный размер, фигурирующий в задаче;  — плотность и динамическая вязкость жидкости. Такие теории (гидро- и аэродинамические) развивали русские ученые Н. Е.Жуковский, С. А.Чаплыгин и др. Одна из наиболее стройных теорий перехода к турбулентности была построена в 1944 г. Л.Д.Ландау. Вообще, это явление очень сложное, можно сказать, что это целый комплекс связанных явлений.
При равновесии, если система замкнута и v= 0, ее энтропия максимальна. При наличии градиента давления жидкость течет в сторону меньших давлений, ее движение происходит как бы слоями, параллельными направлению течения (ламинарное течение). Потоки и термодинамические силы связаны линейно, производство энтропии в стационарном состоянии (течении) минимально. При малых значениях числа Re единственная стационарная картина течения соответствует ламинарному течению. Небольшие отклонения скоростей движения от стационарных значений, возникающие из-за флуктуации, экспоненциально затухают со временем, появляется пара вихрей. При увеличении скорости потока выше критической некоторые из малых возмущений перестают затухать, система теряет устойчивость и переходит в новый режим; вихри начинают осциллировать, движение жидкости становится турбулентным. Линейная зависимость потоков и сил нарушается, как и теорема Пригожина о минимальном приросте энтропии, хотя картина еще стационарна. В этом случае говорят о
519

первой бифуркации (в пер. — раздвоение, разветвление), или бифуркации Хопфа.
С увеличением числа Re новый периодический режим вновь теряет устойчивость, возникают незатухающие колебания с частотой, определяемой величиной Re. Растет неравновесность, и вместе с ней число корреляций и параметров, характеризующих систему. При переходе к турбулентности между отдельными областями течения возникают новые корреляции, новые макроскопические связи. Затем появляются новые частоты, сокращается интервал частот, и, по теории Ландау, появляющиеся новые движения имеют все более мелкие масштабы. Нерегулярное поведение, типичное для турбулентности, — результат бесконечного каскада бифуркаций. Говорят, что система из «царства необходимости» переходит в «царство свободы». Но и в «царстве свободы» периодически возникают области, где движение вновь приобретает порядок — «острова необходимости».
При существенном усложнении структуры течения одновременно увеличивается его внутренняя упорядоченность. Это уже не тот беспорядок, что был в равновесном состоянии. Существенно меняется характер броуновского движения частиц, турбулентность сказывается на поглощении и рассеянии электромагнитных и звуковых волн. Например, фотографии распределения световой волны, прошедшей через турбулентную жидкость, фиксируют пятна типа интерференционной картины, соответствующей фокусам и каустикам, которые возникают в световом пучке.
Проблема турбулентности важна не только в связи с инженерными приложениями. Большая часть среды Вселенной находится в турбулентном движении, и с неустойчивостями сталкиваются в физике атмосферы и астрофизике, в океанологии и физике планет. Вообще отношение к хаосу было разнообразным. У древних греков хаос считался первичным состоянием материи, но, как отметил Б. Пастернак, «напрасно в годы хаоса искать конца благого».
Хаотические эффекты, нарушавшие стройную картину классической физики с первых дней становления теории, в XVII в. воспринимались как досадные недоразумения. Кеплер отмечал нерегулярности в движении Луны вокруг Земли. Ньютон, по словам своего издателя Р. Котеса, принадлежал к тем исследователям, которые силы природы и простейшие законы их действия «выводят аналитически из каких-либо избранных явлений и затем синтетически получают законы остальных явлений». Но закон — однозначное и точное соответствие между рассматриваемыми явлениями, он должен исключать неопределенность и хаотичность. Отсутствие однозначности в науке того времени рассматривалось как свидетельство слабости и ненаучного подхода к явлениям. Постепенно из науки изгонялось все, что нельзя формализовать, чему нельзя придать однозначный характер. Так пришли к механической картине мира и «лапласовскому детерминизму».
520

Необратимость процессов нарушила универсальный характер механических законов. Поскольку проследить за движением каждой молекулы газа невозможно, пришлось признать ограниченность своих возможностей и согласиться, что закономерности, наблюдаемые в поведении массы газа как целого, есть результат хаотического движения составляющих его молекул. И тогда Клаузиус ввел «принцип элементарного беспорядка», который понимался как независимость координат и скоростей отдельных частиц друг от друга при равновесии. Эту идею Больцман и положил в основу своей молекулярно-кинетической теории. Максвелл указал на принципиальное отличие механики отдельной частицы от механики большой совокупности частиц, подчеркнув, что большие системы характеризуются параметрами (давление, температура и др.), не применимыми к отдельной частице. Так родилась новая наука — статистическая механика. Идея элементарного беспорядка, или хаоса, устранила противоречие между механикой и термодинамикой. На основе статистического подхода удалось совместить обратимость отдельных механических явлений (движений отдельных молекул) и необратимый характер движения их совокупности (рост энтропии в замкнутой системе).
Но идеи хаоса оказались более фундаментальны. При изучении теплового излучения возникли противоречия: электромагнитная теория Фарадея — Максвелла описывала обратимые процессы, но процессы обмена световой энергией между телами, находящимися при разных температурах, ведут к выравниванию температур, т. е. должны рассматриваться как необратимые. Планк ввел гипотезу «естественного излучения», соответствующую гипотезе молекулярного беспорядка. Ее смысл такой: отдельные электромагнитные волны, составляющие тепловое излучение, ведут себя независимо и «являются полностью некогерентными». Эта гипотеза привела к представлению о квантовом характере излучения, которое обосновывалось с помощью теории вероятностей. Хаотичность излучения оказалась связанной с его дискретностью. Квантовый подход позволил Планку и Эйнштейну объяснить ряд законов и явлений (закон Стефана — Больцмана, закон смещения Вина, законы фотоэффекта и др.), которые не находили объяснения в классической электродинамике.
Отступления Луны от траекторий, рассчитанных по законам классической механики, американский астроном Дж.Хилл в конце XIX в. объяснил притяжением Солнца. Французский математик А. Пуанкаре предположил, что вблизи каждого тела есть малозаметные факторы и явления, вызывающие нерегулярности. Поведение даже простой системы существенно зависит от начальных условий, так что не все можно предсказать. Решая задачу трех тел, Пуанкаре обнаружил существование фазовых траекторий, которые вели себя запутанно и сложно, образуя «нечто вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь
521

много, бесконечно много раз петли сети». В начале XX в. на эту работу особого внимания не обратили.
Примерно в это же время Планк начал изучать другую хаотичность классической науки и нашел выход во введении кванта, который должен был примирить прежние и новые представления, но на самом деле сокрушил классическую физику. В строении атомов долгое время видели аналогию со строением Солнечной системы. Интерес к невозможности однозначных предсказаний возник в связи с появлением принципиально иных статистических законов движения микрообъектов. Соотношения неопределенности Гейзенберга показывают, что может реализовываться лишь некоторая конечная область состояний , внутри которой
лежат начальные координаты q0и импульсы р0. При этом внутри выделенной области значения координат и импульсов распределены по вероятностному закону, и по мере эволюции системы увеличивается и область ее состояний . На небольших вре-
менных интервалах неопределенность состояния будет нарастать медленно и движение системы будет устойчивым. Для таких систем классическая механика плодотворна.
В 60-е гг. XX в. была установлена возможность случайных явлений, от которых нельзя избавиться уточнением начальных условий и исчерпывающим описанием воздействий на систему, и в простых динамических системах, которые считались со времен Ньютона и Лапласа подчиняющимися определенным и однозначным законам механики. Такие движения возникают в механических и электрических нелинейных колебательных системах. Пример такого неустойчивого движения — шарик в двух ямках, разделенных барьером (рис. 13.1). При неподвижной подставке шарик имеет два положения равновесия. При колебаниях подставки он может начать перепрыгивать из одной ямки в другую после совершения колебаний в одной из ямок. После нескольких затухающих колебаний шарик займет в одной из ямок положение, называемое устойчивым равновесием. Периодические колебания с оп-

ределенной частотой вызывают колебания с широким спектром частот. Положение же на границе между ямками будет неустойчивым равновесием. Физический смысл этих понятий применим к равновесию любых систем. Режим функционирования динамической системы устойчив, если малые возмущения затухают со временем, стремясь к нулю. Если же они нарастают — режим неустойчивый.
Кроме того, на систему могут действовать и некоторые случайные силы, которые даже при самой малой величине за длительное время действия приведут к непредсказуемым результатам. Такие системы чувствительны не только к начальным значениям параметров, но и к изменениям положений и скоростей в разных точках траектории. Получается парадокс: система подчиняется однозначным динамическим законам и совершает непредсказуемые движения. Решения динамической задачи реализуются, если они устойчивы. Например, нельзя видеть сколь угодно долго стоящий на острие карандаш или монету, стоящую на ребре. Но тогда задача из динамической переходит в статистическую, т. е. следует задать начальные условия статистическим распределением и следить за его эволюцией. Эти случайные явления получили название динамического хаоса.
В 1963 г. метеоролог Э.Лоренц описал новый механизм потери устойчивости, наблюдаемый в процессе конвекции при моделировании процессов возникновения турбулентности. Он обнаружил в фазовом пространстве трех измерений (координаты — скорость и амплитуды двух температурных мод) область, которая как бы притягивала к себе траектории из окрестных областей. Попадая в область, названную им странным аттрактором (лат. attractio— притяжение), близкие траектории расходились и образовывали сложную и запутанную структуру. Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, очень чувствительные даже к малому изменению начальных условий. Эта чувствительность к малому воздействию получила красочное название — «эффект бабочки». Значит, небольшие флуктуации, подобные взмаху крыльев бабочки, могут вызвать хаотические режимы. Так как две близкие траектории разбегаются в фазовом пространстве, то предсказание движения по начальным данным не может быть точным. С этим связаны трудности предсказания погоды. До Лоренца советские математики Д. В.Аносов и Я. Г. Синай установили существование таких областей и исследовали устойчивость явлений в них.
Возникновением динамического хаоса считается переход к турбулентности, поскольку течение жидкости описывается детерминистическими уравнениями. Но детерминированность подразумевает однозначную связь причины и следствия,
523

предсказуемость и воспроизводимость, а когда говорят о хаосе, понимают нечто прямо противоположное. Но это понятие не столь простое. Обратимся для примера к броуновской частице. Под действием случайных толчков со стороны соседних молекул частица будет совершать непредсказуемые блуждания, и ее траектория будет выглядеть запутанной (что и наблюдается под микроскопом). Но при многократном наблюдении можно заметить, что эта запутанная траектория не повторяется даже при одинаковых начальных условиях, что соответствует интуитивным представлениям о хаосе.

13.2. Порядок и хаос в больших системах. Понятие фрактала

Сложные системы состоят не только из большого числа элементов, но и большого числа разнообразных связей между ними. Для таких систем все труднее, а то и невозможно, вывести механизмы функционирования — у такой системы появляются свойства, которых не было у ее частей или элементов. Эволюцию динамических систем во времени оказалось удобным анализировать с помощью фазового пространства — абстрактного пространства с числом измерений, равным числу переменных, характеризующих состояние системы. Примером фазового пространства может служить пространство, имеющее в качестве своих координат координаты и скорости всех частиц системы. Для линейного гармонического осциллятора (одна степень свободы) размерность фазового пространства равна двум (координата и скорость колеблющейся частицы). Такое фазовое пространство есть плоскость, эволюция системы соответствует непрерывному изменению координаты и скорости, и точка, изображающая состояние системы, движется по фазовой траектории (рис. 13.2). Фазовые траектории такого маятника (линейного гармонического осциллятора), который колеблется без затухания, представляют собой эллипсы:  = const.

В случае затухания фазовые траектории при любых начальных значениях оканчиваются в одной точке, соответствующей точке

покоя в положении равновесия. Эта точка, или аттрактор, как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Это понятие является обобщением понятия равновесия: например, маятник из-за трения сначала замедляет колебания, а затем останавливается. На его фазовой диаграмме по одной оси откладывают угол отклонения маятника от вертикали, а по другой — скорость изменения этого угла. Получается фазовый портрет в виде точки, движущейся вокруг начала отсчета. Начало отсчета и есть аттрактор, поскольку как бы притягивает точку, представляющую движение маятника по фазовой диаграмме.
В более сложных движениях, например маятника часов с грузом на цепочке, груз играет роль механизма, подкачивающего энергию к маятнику, и маятник не замедляет колебаний. Если запустить часы энергичным толчком маятника, он замедлится до темпа, который обусловлен массой груза, после чего характер его движения останется неизменным. Если толчок будет слабым, маятник, замедляясь, вскоре остановится. Ситуации с сильным начальным толчком на фазовой диаграмме соответствует спираль, обвивающаяся все более плотно вокруг круговой орбиты, аттрактор будет в данном случае окружностью, т.е. объектом не более странным, чем точка. Разным маятникам соответствуют аттракторы, которые называют предельными циклами.
Все фазовые траектории, соответствующие разным начальным условиям, выходят на периодическую траекторию, которая отвечает установившемуся движению: если начальные отклонения были малыми, они возрастут, а если амплитуды были большими, то уменьшатся. Биение сердца тоже изображается предельным циклом — установившимся режимом. Если движение состоит из наложения двух колебаний разных частот, то фазовая траектория навивается на тор в фазовом пространстве трех измерений. Это движение устойчиво, а две фазовые траектории, начинающиеся рядом, будут навиваться на тор, не уходя друг от друга. Ситуация соответствует устойчивому установившемуся движению, к которому сама стремится.
При хаотическом движении фазовые траектории с близкими начальными параметрами быстро расходятся, а потом хаотически перемешиваются, так как они могут удаляться только до какого-то предела из-за ограниченности области изменений координат и импульсов. Так фазовые траектории оказываются расположенными достаточно близко друг к другу, создавая складки внутри фазового пространства. (Это возможно только при размерностях n > 3 — лишь в 3-м измерении начинают складываться плоские траектории.) Возникает область фазового пространства, заполненная хаотическими траекториями, — странный аттрактор. На рис. 13.3 изображен такой аттрактор, полученный Э.Лоренцом на ЭВМ. Видно, что система (изображаемая точкой) совершает быстрые нерегулярные колебания в одной области фазового пространства, а
525

затем случайно перескакивает в другую область, через некоторое время — обратно. Так динамический хаос «обращается» с фазовым пространством. От этих «хаотичностей» нельзя избавиться. Они внутренне присущи системам со странными аттракторами. Хаотические движения в фазовом пространстве порождают случайность, связанную с появлением сложных траекторий в результате растяжения и складывания в фазовом пространстве. Важнейшее свойство странных аттракторов — фрактальность. Фракталы — это объекты, проявляющие по мере увеличения все большее число деталей. Их начали активно исследовать с появлением мощных ЭВМ. Объекты элементарной геометрии — прямые и окружности — природе не свойственны, структура вещества чаще принимает замысловато ветвящиеся формы, напоминающие обтрепанные края ткани. Примеров подобных структур много: это и коллоиды, и отложения металла при электролизе, и клеточные популяции, и форма облаков. И даже удивительно, что они долгое время были в стороне от магистральной линии развития науки. Описывая мир «языком математики», как выразился Галилей, наука использовала идеальные модели прямой, окружности и т.д., все более отдалялась от реальной природы, от «морфологии аморфного». Подобие объектов природы может выявляться по разным признакам, и математическое понятие фрактала выделяет объекты со структурами разных масштабов. Тем самым в этом понятии отражен иерархический принцип организации мира, и в некотором смысле другая идеализация его.
В одной из первых работ, выполненных в начале 60-х гг. XX в., изучалась именно такая модель. Развитие начинается с одной частицы — зародыша. Вводится правило: при касании первой частицы вторая «прилипает» к ней и остается на месте. Вторая частица может диффундировать к первой либо по случайной траектории, либо в результате обычного броуновского движения. Рост продолжается, ЭВМ описывает структуры размером до 100 тыс. частиц. Кривая зависимости между массой и радиусом подобной фигуры описывается степенным законом с показателем 2,5. Если процесс «прилипания» ограничить движением частиц только по случайным прямым, то этот показатель снижается до 2, т.е. площадь, заполненная материалом, растет как квадрат радиуса. При небольшом числе испытаний получаются как бы пятна с бахромой, а при большем росте — до нескольких миллионов частиц — эти кружева постепенно
526

исчезают, и структура вырисовывается все четче. Так, при электролизе образуется слой меди, масса которого растет не как куб радиуса (что можно было бы ожидать для металлической сферы), а по степенному закону с показателем 2,4. Получается, что «зародыш» то растет, то нет. Шарик меди тоже имеет фрактальную структуру.
Фракталы (от англ. fractial— дробный) имеют дробную размерность. Геометрию объектов, содержащих элемент случайности, описывают в рамках своеобразной дробной размерности. Термин «фрактал» был введен Б. Мандельбротом в 1977 г. в книге «Форма, случайность и размерность». Он считал, что введение фрактальных множеств позволяет объяснить и предсказать многие явления в самых различных областях. Пример — медленное впрыскивание подкрашенной краской воды в тонкий прозрачный слой вязкой жидкости между двумя близко расположенными пластмассовыми пластинками. Вода распространяется от места впрыскивания, образуя ветвящиеся радиальные узоры. Измеренная площадь прожилок растет по степенному закону как функция радиуса с показателем 1,7 (расчетная модель дает 1,68). При пробое диэлектрика тоже возникают разветвленные структуры разряда, связанные с фрактальными размерностями. Были воспроизведены и наиболее известные фрактальные формы, самовоспроизводящиеся структуры снежинок — их шестиугольные формы возникают из-за диффузии на треугольных решетках. Такие решетки были выбраны для удобства проведения численного эксперимента. К процессу роста добавляется шум — на каждом шаге точка роста определялась случайным образом из многих равновероятных вариантов. Манипулируя в математической модели вероятностями, можно управлять качеством шума, после чего проявляется анизотропия, делающая некоторые направления роста решетки предпочтительнее. Реальная диффузия молекул воды наблюдается в пространстве, окружающем снежинку.
Хаос порождает фракталы, а фазовая траектория фракталов обладает самоподобием, т. е. при выделении двух близких точек на фазовой траектории фрактала и последующем увеличении масштаба траектория между этими точками окажется столь же хаотичной, как и вся в целом. В программе ЭВМ это увеличение масштаба достигается уменьшением временного шага при решении динамических уравнений. Траектория броуновской частицы тоже обладает фрактальными свойствами. Множество Мандельброта воплощает достаточно общий принцип перехода от порядка к хаосу. Идея его состояла в том, чтобы вместо действительных чисел рассмотреть комплексные и наблюдать развитие процесса не на прямой, а на плоскости, т.е. увеличить и размерность от 1 до 2. Оказалось, что при переходе к хаосу важны границы между областями, и каждая точка стремится или к своему центру области (аттрактору), или остается на границе и не может принимать оп-
527

ределенные значения. С изменением параметров меняются области аттракторов и их границы. Если же граница превращается в пыль, взрываются и множества Мандельброта.

13.3. Пороговый характер самоорганизации и представление о теории катастроф

Пороговый характер самоорганизующихся процессов термодинамика связала с неустойчивостью: новая структура есть результат неустойчивости и возникает из флуктуаций. В «допороговом» состоянии флуктуации затухают и макроскопически не проявляются (например, в конвекционном потоке при малых температурах они рассасываются за счет сил вязкого трения). В состоянии выше порога флуктуации уже не рассасываются, а усиливаются, достигают макроскопических значений и выводят систему на устойчивый режим, создают новую структуру, возникающую после неустойчивости. Математически это связано с нелинейностью уравнений, описывающих систему вдали от равновесия. Если линейное уравнение имеет одно стационарное решение, то нелинейное — несколько. Система может принимать любое из этих состояний, и переход из одного в другое стационарное состояние соответствует преодолению порога.
Катастрофой называют скачкообразное изменение, которое может возникнуть в ответ на плавное изменение внешних условий. Для систем это означает потерю устойчивости. Область математики, занимающаяся катастрофами, названа теорией катастроф. Она является в некотором роде обобщением исследования функций на экстремум на случай многих переменных и опирается на теорию особенностей гладких отображений. Отображение поверхности на плоскость есть сопоставление каждой точки поверхности с точкой плоскости.
Исследования особенностей таких отображений начал в 1955 г. Г. Уитни, ознакомившись с работами Пуанкаре и Ляпунова, а также советских ученых — Андронова, развившего теорию бифуркаций, и Понтрягина, который ввел понятие грубости — структурной устойчивости системы. Важность исследований в направлении, названном К.Зиманом теорией катастроф, оценил французский математик Р. Тома. Он сформировал эту теорию и ее приложения. Сразу появились работы по применению теории катастроф к разным объектам (исследования биения сердца, физическая и геометрическая оптика, лингвистика, геология, эмбриология, гидродинамика, моделирование деятельности мозга и психических расстройств, восстаний в тюрьмах, поведения биржевых игроков и т.д.). Первые публикации по теории катастроф появились в 1970 г. Видный советский математик академик В. И.Ар-
528

нольд так писал о них: «В журналах типа «Ньюс уик» сообщалось о перевороте в математике, сравнимом разве что с изобретением Ньютоном дифференциального и интегрального исчислений. Утверждалось, что новая наука — теория катастроф — для человечества гораздо ценнее, чем математический анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный метод исследования всех скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений».
Большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностями, но видимые контуры тел — это проекции ограничивающих поверхностей на сетчатку глаза. При этом могут возникать некоторые особенности: при проецировании сферы на плоскость в точках экватора образуется складка. На горизонтальной плоскости-проекции выделяется окружность, разделяющая сферу на внутреннюю и внешнюю, при этом точки внутренней сферы имеют по два прообраза (от двух точек сферы), а точки внешней — ни одной, точки окружности — один прообраз. При подходе с внутренней стороны к окружности два прообраза сливаются в один — это и есть особенность складки (рис. 13.4, а). Кроме того, Уитни нашел и другую особенность — сборку (рис. 13.4, б). Представление о ней можно получить, рассматривая устойчивость бутылки из-под молока. Уитни показал, что сборка и складка — устойчивы.
Точке экстремума соответствует равенство нулю производной при второй производной, отличной от нуля. В многомерном случае производные от функции Uбудут браться частные, и они должны быть равны нулю, а смешанные, т.е. вторые производные, отличны от нуля и det

Рис. 13.4. Примеры проецирования поверхностей на плоскость:
а — складка проецирования сферы на плоскость; б — сборка проецирования поверхности на плоскость
529

 = 0; если потенциальная функция представлена в квадратичной форме, и в случае, например, двух переменных, функция будет напоминать рельефную карту: вершины гор и седла связаны хребтами, имеются озерные впадины и седлообразные долины. При диагонализа-ции функции выделяются направления главных осей линий максимального градиента. Если представить рельеф заполненным водой, то она соберется в озера, расположенные в низких частях долин. Минимум, притягивающий воду, получил название аттрактора, причем аттракторы разделяются хребтами, седлами, вершинами на различные бассейны притяжения.
Такая качественная рельефная картина изменится при наличии вырожденных точек, для которых одно или несколько значений det = 0. Это условие получается при некоторых значениях управляющих параметров са. Если при изменении са система проходит через вырожденную точку, меняется вся топология, поэтому и говорят о катастрофе. При приближении к этой точке — границе перехода — критические точки рельефа начинают сближаться, а потом и вовсе сливаются. Множество точек са, отвечающих функции с det = 0, разбивают пространство управляющих параметров на области с разными рельефами.
При пересечении границы областей, являющихся геометрическим местом особенностей, происходят катастрофы состояний системы. Поэтому математики искали эти области и исследовали системы на устойчивость в их окрестностях. Арнольд провел классификацию таких особенностей катастроф и получил удивительное совпадение с классификацией точечных групп, описывающих симметрию молекул, а также с правильными многогранниками в евклидовом пространстве (которыми представлял мир Платон) и простыми группами Ли. Пока причины этих взаимосвязей до конца не выяснены.
Приведем для наглядности примеры катастрофы сборки и складки. Для каждого типа катастроф рассматривается поверхность, зависящая от числа переменных и числа управляющих параметров. Обратимся к простейшей катастрофе складки (она похожа на складку на ткани) с одним управляющим параметром. Функция катастрофы задана Cat(t, с) = х3/3 + сх. В области с < 0 все кривые подобны и имеют две критические точки; при с > 0 — кривые также подобны, но критических точек нет; точка с, равная нулю, в пространстве управляющих параметров является сепаратрисой. Катастрофы типа складки появляются в моделях нагруженных арок, триггеров, диссипативных структур, моделях релаксации.
Функция катастрофы сборки Cat(x, а, b) = (1/4) х4 + (1/2) ах2 + + bх зависит от одной переменной состояния и двух управляющих параметров. Сепаратриса сборки разделяет плоскость управляющих параметров на две области с одной и тремя критическими точками, ее линии имеют дважды вырожденные точки, а точка пересечения вырождена трижды. Потенциальные функции соответствуют некоторым точкам плоскости управляющих параметров. Модели с функцией сборки встречаются в механике конструк-
530

ций, при описании многих колебательных режимов, в динамике квантовых систем.
Теория катастроф позволяет свести огромное многообразие сложных ситуаций к небольшому числу точно изученных схем. Математические образы теории катастроф реализуются в волновых полях. Известны геометрические места точек, в которых происходит фокусировка волнового поля, называемые в оптике каустиками. При пересечении каустик происходит скачкообразное изменение состояния — меняется число лучей, приходящих в данную точку пространства. Для одной-двух переменных и не более пяти управляющих параметров существует семь типов элементарных катастроф. Все семь канонических катастроф имеют в каустиках свои образы. Теория катастроф, широко используемая в метеорологии, аэро- и гидродинамике, оптике, теории кооперативных явлений, квантовой динамике и др., подводит стандартную и эффективную базу под описание качественных изменений в нелинейных уравнениях, описывающих далекие от равновесия системы.

13.4. Математические закономерности эволюции. Понятие бифуркации

Если теория катастроф описывает области устойчивости структур, то развитие этой статической картины во времени дается теорией бифуркаций. Нелинейная система имеет целый спектр решений, и нужно определить, какие из них «ответвляются» от известного решения при изменении параметра. Изменения управляющих параметров способны вызывать катастрофические (большие) скачки переменных состояний, и эти переходы осуществляются почти мгновенно (скачком). Состояние системы, описываемой потенциалом U(xi, са), задается точкой хi в которой потенциал имеет минимум. При изменении внешних условий меняются управляющие параметры с, которые в свою очередь, влияют на изменения U(х, с). Глобальный минимум может стать метастабильным или исчезнуть, а система перейдет из одного локального минимума в другой.
Момент перехода определяется свойствами системы и уровнем флуктуаций в ней. Выделяют два принципа: принцип максимального промедления, определяемый существованием устойчивого уровня, и принцип Максвелла, определяющий состояние системы глобальным минимумом. Каждому из принципов соответствует множество точек в пространстве управляющих параметров, в котором происходит переход из одного локального минимума в другой. Последовательность бифуркаций, возникающая с ростом неравновесности в системе, меняется, и процесс пойдет по разным
531

сценариям. Выше описано развитие турбулентности при движении жидкости по трубе в зависимости от числа Re (пропорционального скорости потока). Движение становится неустойчивым и при больших Re характеризуется набором N колебаний с несоизмеримыми частотами Это квазипериодическое движение называют динамическим хаосом.
Приведем данную Л. П. Кадановым наглядную иллюстрацию перехода к хаосу, которую используют при рассмотрении биологических проблем. Пусть на изолированном острове выводятся летом насекомые численностью и откладывают яйца. Потомство их появится на следующее лето численностью . Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения , а убыль — вторым. При
с < 1 популяция с ростом / вымирает и исчезает, в области 1 < с < 3 — приближается к значению х = 1 - 1/с, которое получается при подстановке в уравнение вместо и их предельных значений; это область стационарного состояния. В диапазоне 3 < с < 3,4 — две ветви решения, и численность колеблется между ними. Она растет резко от малого значения (откладывается много яиц). Перенаселенность, возникающая на следующий год, вновь резко снижает численность в последующем году, так что период колебаний численности — 2 года. Далее, при 3,4 < с < 3,54 имеем уже 4 ветви, и возникает четырехстадийный цикл колебаний. Так период начинает удваиваться, и далее появляются 8, 16, 32, 64, ... ветвей.
Итак, существует диапазон значений параметра с, когда поведение системы упорядочение и периодично; происходит последовательное удвоение периода. Такие решения имеют место для широкого класса систем — химических, электрических, гидродинамических, механических и т.д. В 1978 г. М.Фейгенбаум нашел универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода. Если выбрать соседние значения цикле,
где п = 4,66 для всех систем, то разность между ними убывает с ростом п как аn, где а = 2,5 и тоже является универсальным. Законы Фейгенбаума подтверждены на опытах в совершенно различных по своей природе системах. Иногда их называют (из-за удвоения) законами каскадов Фейгенбаума (рис. 13.5). При с = 3,57 период уже стремится к бесконечности, движение становится апериодическим, поведение системы — хаотическим, происходит перекрытие различных решений. Все расчеты на ЭВМ делаются некорректными, зависящими от случайных процессов в самой вычислительной машине, решения для близких начальных условий оказываются далекими.
Сценарии перехода к хаосу могут быть и другими. Исследования сценариев связаны с анализом свойств странных аттракторов, к которым притягиваются точки (состояния системы) в многомерном фазовом пространстве. Введение понятия аттрактора — несомненная заслуга теории катастроф, как и пропаганда знаний об их бифуркациях. Сейчас к этим
532

терминам привыкли и фонемы речи, к примеру, называют аттракторами звукообразующей динамической системы.
Если популяция растет так, что отношение прироста численности к общей численности остается постоянным, то говорят, что закон роста линейный, а рост — экспотенциальный. При приросте 5 % популяция увеличивает свою численность вдвое за 14 лет. Но для роста есть пределы, на что обратил внимание П. Ферхюльст еще в середине XIX в. Он заключил, что прирост должен быть нелинейным. Уравнение Ферхюльста используют и для описания свойств турбулентного потока при приростах около 200%. В этой области происходят колебания, и становится невозможным достижение оптимальной численности. Когда прирост превысит 245 %, происходит такое усложнение поведения систем, что возникает хаос. Это и обнаружил Э.Лоренц для явлений в атмосфере.
Свойства аттракторов задаются набором траекторий в пространстве п переменных состояния, зависящих от времени как от параметра. В обычном аттракторе эти траектории простые, среди них есть замкнутые, называемые предельными циклами. В странном аттракторе траектории запутанные, не похожи ни на точки, ни на кривые, ни на поверхности; их представляют многослойными поверхностями. Странность состоит в том, что, попав в область странного аттрактора, точка (выбранное наугад решение) будет «блуждать» там и только через большой промежуток времени приблизится к какой-то его точке. И поведение системы, отвечающее такой точке, будет сильно зависеть от начальных условий. Итак, при медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затягивания потери устойчиво-
533

сти, описанное в 1973 г. М. А. Шишковой (рис. 13.6). В 1985 г. было показано, что это свойство имеет место во всех системах с медленно меняющимся параметром.
После прохождения параметра через бифуркационное значение, соответствующее рождению цикла или мягкому возникновению автоколебаний, система некоторое время остается в окрестности неустойчивого состояния, за которое параметр меняется на конечную величину. После этого система скачком переходит в момент бифуркации в автоколебательный режим (уже ставший жестким). Существование аттракторов с экспоненциально расходящимися фазовыми кривыми на них и устойчивость явлений установлены в начале 60-х гг. XX в. в работах С. Смейла, Д.А.Аносова, Я. Г.Синая. Независимо от этих работ Лоренц в 1963 г. описал наблюдавшийся им в численных экспериментах по моделированию конвекции в атмосфере аттрактор с разбегающимися фазовыми кривыми и указал на связь его с турбулентностью. Перепутывание частот при таком режиме оказывается принципиальным, получается, что частоты определены закона-
534

ми динамики и, следовательно, детерминированы. Поэтому и хаос назван детерминированным.
В 1975 г. американские ученые Т. Ли и Дж. Йорк опубликовали статью «Период три дает хаос», где доказали, что при некоторых условиях самопроизвольное появление моды с утроенной частотой возможно только вместе со всем остальным турбулентным спектром. Поэтому хаотический турбулентный режим имеет более сложную структуру, чем упорядоченный ламинарный. Принципиальным в теориях динамического хаоса является признание роли начальных условий, того обстоятельства, что в ходе эволюции система занимает не все точки «фазового пространства». В нем есть определенные места, «цепочки» их концентрации, статистические «аномалии», влияющие на всю микроструктуру. Исследования диалектики случайностей и регулярностей облегчаются возможностями моделирования этих процессов на ЭВМ. Исследования динамического хаоса показывают, что он способен породить не только «унылое равновесие», возникает «вторичная динамика», которую исследуют в синергетике.
Итак, в точке бифуркации поведение системы «разветвляется», становится неоднозначным. При достижении третьей бифуркации наступает состояние динамического хаоса, который скрывает внутреннюю упорядоченность. Проблема выяснения условий возникновения порядка из хаоса, по словам известного физика-теоретика Уилера, — задача номер один современной науки.

13.5. Синергетика — новый научный метод

Аналогию процессов, происходящих в сложных нелинейных системах, с фазовыми переходами отметили несколько ученых, работавших в квантовой электронике: немецкие ученые Грэхем и Хакен и итальянские — де Джиржио и Скулли в 1970 г. Если рассматривать излучение лазера и лампы накачки, то можно сказать, что оно претерпело фазовый переход и изменило свои свойства — свет стал когерентным, более узким в спектральном отношении и усиленным по направлению испускания. Сначала такая аналогия казалась поверхностной, но с каждым параметром фазового перехода в парамагнетике удалось сопоставить соответствующий параметр квантовой генерации. Возражение, касающееся искусственности создания самого прибора, творящего эти превращения со светом, были сняты, когда открыли мазеры в космическом пространстве, где генерация происходила естественным путем.
Коллективные процессы Г. Хакен выделил во всех самоорганизующихся системах: коллективно организуются молекулы в узлах кристаллической решетки, элементарные магнитные моменты (спины) в ферромагнетике, вихри внутри жидкости, порождая види-
535

мую на макроскопическом уровне структуру. Возбуждаясь в рабочем веществе лазера, атомы самосогласованно и коллективно испускают когерентное излучение. Итак, кооперативность — общая черта процессов самоорганизации. Кроме того, инверсная населенность, как и неравновесное состояние в жидкостях, должна поддерживаться внешней средой, только в этом случае возникающие структуры будут устойчивы. Система должна быть открытой. Устойчивые структуры возникают при обмене с внешней средой энергией (или веществом — для биологических систем), которые могут поддержать отклонение от равновесия. Этот внешний поток не только гасит рост энтропии, но может привести к ее понижению. И еще: для самоорганизующихся систем непременными атрибутами являются сложное движение, описываемое нелинейными уравнениями, и пороговый характер возникновения.
Эти самоорганизующиеся системы и процесс самоорганизации математически оформили следующим образом: сначала просто записали связь эффекта с его причиной в зависимости от времени, а потом исключили внешнее воздействие, предоставив систему самой себе. Хакен расширил систему так, чтобы включенные в уравнения внешние силы стали силами внутренними, и описал механизм нарастания внутренних флуктуаций с помощью введения стохастического члена. Так самоорганизация определяется характером взаимодействия случайных и необходимых факторов системы и ее среды. В дальнейшем он разработал теорию лазерной генерации как фазового перехода, а потом теорию гидродинамических неустойчивостей как фазовых переходов. Для них удалось получить не только теоретическое подтверждение факта существования ячеек Бенара, но и описание положения шестиугольных цилиндров и их диаметров. И каждый раз в этой аналогии открывались более глубинные черты. Развиваемый метод дал интересные результаты при рассмотрении фазового перехода — разрушения упругой конструкции (моста, например). Так стал работать новый метод — синергетический, основанный на идее синтеза.
Самоорганизация происходит при генерации в атомной системе. В кристалле твердотельного лазера имеются активные, возбужденные накачкой от внешнего источника атомы, которые работают как антенна и испускают цуг волн. При малой мощности накачки световые цуги испускаются независимо друг от друга, и лазер работает как обычная лампа, испуская некогерентный свет. Начиная с некоторого значения мощности накачки (порогового) все антенны начинают работать согласованно, атомы испускают свет в одной фазе, возникает гигантский цуг когерентного лазерного излучения, интенсивность излучения резко возрастает (на торцах кристалла — зеркала, отбирающие цуги). Переход лазера в режим генерации соответствует образованию ячеек Бенара. В сверхкритической области устанавливается стабильный режим лазера,
536

тогда как у простой лампы — неустойчивый. Очевидно, что лазер является системой, находящейся вдали от равновесия. Наблюдается кооперативное поведение атомов и излучения.
К основным свойствам самоорганизующихся систем относятся открытость, нелинейность, диссипативность. Система должна находиться в состоянии, далеком от равновесия.
Открытость системы обеспечивается непрерывным потоком вещества, энергии или информации, получаемым из внешней среды на поддержание определенного состояния. В таких системах флуктуации играют определяющую роль, могут привести к необратимому макроскопическому изменению состояния системы, разрушить созданный в ней порядок.
На нелинейные системы не распространяется принцип суперпозиции, т.е. возможно, чтобы совместные действия двух причин привели к результату, совершенно отличному от того, который был бы, если эти причины действовали по отдельности. Процессы в нелинейных системах носят пороговый характер — в состояниях, далеких от равновесия, слабые возмущения могут усиливаться и радикально перестроить систему. Нелинейные системы, открытые и неравновесные, сами создают в среде неоднородности. Между средой и системой может установиться положительная обратная связь (так, в реакции может вырабатываться фермент, присутствие которого стимулирует выработку его же самого). Важно найти эту петлю положительной обратной связи, и в системе начнется режим самоорганизации. В химии — это автокатализ, в молекулярной биологии — основа жизни. Системы неравновесные необычно и «чутко» реагируют на внешнее воздействие и «учитывают» их в своем функционировании. Поэтому некоторые слабые воздействия могут оказать на эволюцию системы большее влияние, чем сильные, но не адекватные собственным тенденциям системы.
Диссипативность — качественно своеобразное макроскопическое проявление процессов, происходящих на микроуровне. Она проявляется в разных формах: в способности «забывать» детали некоторых внешних воздействий; в «естественном отборе» среди многих микропроцессов для обеспечения основной тенденции развития; в когерентности микропроцессов, устанавливающей темп развития, и пр. С диссипативностью связано понятие «параметр порядка», который выделяет только ведущие степени свободы из всех возможных для системы. Уравнения для параметров порядка намного проще, и основная задача — найти параметры порядка системы при моделировании поведения системы.
Примером возникающей самоорганизации являются вихревые структуры в виде двойной спирали, впервые обнаруженной в закрученных газовых потоках в трубке Ранка—Хилша (рис. 13.7, а, б) в Институте теплофизики СО РАН группой исследователей (Ю.Н.Дубнищев, В. А. Арбузов, П. П. и П.Я.Белоусовы). Интерес
537

Рис. 13.7. Биспиральные вихревые структуры в закрученных потоках,
проявляющиеся посредством визуализации поля оптической фазовой
плотности (а) и поля скоростей в заданном сечении (б)

к таким системам связан с попытками построить адекватную физическую модель энергоразделения в закрученных потоках, где структуры возникают при определенных угловых скоростях. Еще один пример упорядоченных волновых структур, имеющих синер-гетическую природу и возникающих на поверхности вращающихся жидкостей и тонких пластин, показан на рис. 13.8.
Итак, переход от хаоса к порядку поддается математическому моделированию, причем универсальных моделей такого перехода оказалось не так много. Они пригодны в разных областях естествознания, в истории, экономике, экологии и пр. История развития природы — история образования все более сложных форм, которые обеспечивают эволюцию природы на всех уровнях организации — вплоть до самых высших. Э. Ферми и Д. Нейман в 50-е гг.
538

XX в. решали на ЭВМ задачи о возникновении теплового хаоса в цепочке грузов с нелинейными пружинками. Ферми, Паста и Улам (ФПУ) получили неожиданный результат: такая система описывается уравнением КдФ. Так солитоны обрели второе рождение (см. гл. 3). Они ведут себя как частицы, и были найдены в разных средах. Ярким приложением солитонной теории стало явление самоиндукцированной прозрачности, которое привело к идее «оптического телеграфа» — передачи светового солитона по стекловолокну.

13.6. Эволюционная химия. Возникновение упорядоченности в химических реакциях

Эволюционный этап развития химии, начавшийся с 60-х гг. XX в., связан с синтезом новых сложных, высокоорганизованных соединений без участия человека. Необходимость решать эволюционные задачи у химиков возникла по следующим причинам. Во-первых, это мечта овладеть опытом «лаборатории живого организма». Во-вторых, ввести в химию идею истории, чтобы объяснить самопроизвольное восхождение от низших химических материальных систем к высшим. В-третьих, появились работы, указывающие на установленные опытным путем факты прогрессивной эволюции химических объектов через естественный отбор.
Эволюционный катализ, приведший к понятию эволюционной химии, связан с теорией А.П.Руденко. Самосовершенствование катализаторов в реакциях было открыто в работах А. Гуотми и Р. Каннингема в 1958 —1960 гг. Обычно катализаторы в ходе реакции стареют, и их деятельность ослабевает, а здесь они перестраивались в сторону повышения активности и селективности. В 1964— 1969 гг. А. П. Руденко, развивая идеи своего учителя А. А. Баландина о перестройке поверхности гетерогенных катализаторов под влиянием основной реакции, обобщил опыт действия катализаторов в различных реакциях и сформулировал теорию саморазвития каталитических систем. Процессы саморазвития химических систем, подводящие к биогенезу, тогда представлялись в русле идей А. И. Опарина. Саморазвитие систем происходит за счет постоянного поглощения катализаторами потока энергии, выделяющейся в ходе реакции. Таким образом, система является открытой, в ходе реакции происходит отбор каталитических центров с наибольшей активностью.
Освоение опыта живой природы — давняя мечта химиков. Еще Берцеллиус называл биокатализ основой основ лаборатории живого организма. Ориентацию на опыт живой природы проводили Либих, Пастер, Бертолле, Н. Н. Семенов и др. Н. Н. Семенов открыл разветвленные цепные реакции, что послужило сближению
539

химии и физики, подтолкнуло к изучению неравновесных систем. Но биокатализаторы очень быстро портятся и теряют свою активность. Встала проблема стабилизации ферментов и создания иммобилизованных ферментов — выделенных из живого организма и прикрепленных к твердой поверхности путем адсорбции. Они устойчивы, их можно использовать многократно. Эти работы были начаты И.В.Березиным.
Реакция Белоусова—Жаботинского — один из наиболее впечатляющих примеров возникновения самоорганизации в химических реакциях. В 1951 г. Б. П. Белоусов установил, что в растворе серной и малоновой кислот, сульфата церия и бромида калия при добавлении в качестве индикатора ферроина можно следить за ходом окислительно-восстановительных реакций по изменению цвета или по спектральному поглощению. Как только все эти вещества сливают в пробирку, раствор начинает менять цвет с красного, означающего избыток Се3+, на голубой, соответствующий избытку Се4+. В зависимости от концентрации раствора цвет менялся периодически, и этот период четко сохранялся, поэтому такие реакции стали называть «химическими часами». Кривая изменения поглощения света показывала, что колебания отличаются от синусоидальных, а начиная с некоторого числа колебаний, определяемого концентрацией, спонтанно возникают неоднородности концентрации и образуются устойчивые красные и синие слои, сохраняющиеся в течение получаса. Поскольку реакция идет в замкнутой системе, она приходит в конце концов к состоянию равновесия.
Как выразился А.И.Осипов (МГУ), «можно сказать, что химический организм умирает, задушенный избытком энтропии, которую нет возможности выбрасывать в окружающую среду». Белоусов писал (1957): «В реакционной смеси возникает ряд скрытых, упорядоченных в определенной последовательности окислительно-восстановительных процессов, один из которых периодически выявляется отчетливым временным изменением цвета взятой реакционной смеси». В начале 50-х гг. это казалось невозможным. Понимание механизма происходящей реакции связано с работами А.М.Жаботинского, который с 1964 г. исследовал много сходных химических реакций. Сейчас реакция Белоусова—Жаботинского изучается, вошла в учебники и явилась толчком к развитию новой области науки, меняющей мировоззрение эпохи.
Образование структуры в жидкостях в этих химических реакциях заинтересовало И. Р. Пригожина с сотрудниками в начале 70-х гг. В ряде опытов картина изменения цвета как бы замирала, а затем возникали окрашенные слои или устойчивые пространственные структуры типа тех, которые получались в теоретической модели Тьюринга. Английский математик А. Тьюринг сформулировал задачу о возможности образования в реакторе в усло-
540

виях химической реакции устойчивых конфигураций промежуточных продуктов и построил теорию их образования (1952). Фигуры сохранялись до тех пор, пока не иссякал запас начальных веществ-реагентов. Это свойство роднило их с диссипативными структурами, которые должны непрерывно «подпитываться» энергией и веществом от внешней среды. В обеих ситуациях структуры возникали в открытой системе, находящейся в неравновесном состоянии, и при наличии внешней подпитки, а эффект достигался после преодоления некоего порогового значения меняющегося параметра. И группа Пригожина, переформулировав модель Тьюринга, создала свою, названную брюсселятором в честь города, где работали.
Они рассмотрели протекание реакции между двумя сортами непрерывно поступающих в реактор продуктов, причем количество этих веществ поддерживалось постоянным. После реакции продукты реакции выпадали в осадок, но все время в объеме присутствовали два промежуточных вещества. В реакции Белоусова промежуточные вещества периодически мерцали, создавая эффект изменения цвета раствора. Расчет дал колебательный режим при определенном соотношении реагентов, изменение соотношений между реагентами менял характеристики колебаний концентраций промежуточных продуктов реакции.
Уравнения, описывающие этот процесс, совпали с уравнениями автоколебательных систем (электрических или механических).
Автоколебательные химические реакции нескольких типов были открыты в 70 —80-е гг. XX в. Выход таких реакций меняется с течением времени; такие реакции были обнаружены и в живой природе. Изучение автоколебательных реакций составляет часть нестационарной кинетики. Автоволновые процессы — аналоги автоколебаний для распределенных систем — исследовались советскими учеными. Сам термин «автоволны» был введен одним из создателей нелинейной оптики академиком Р. В. Хохловым. Советская школа подошла к изучению явлений самоорганизации со стороны развитой теории колебаний и волн. В конце 50-х гг. в научной школе, созданной академиком Л.И.Мандельштамом, сложилось направление по теории автоколебаний. Эти работы продолжил академик А. А. Андронов, сформировавший Горьковскую научную школу. После того как работы Андронова получили известность, автоколебания стали обнаруживать всюду—в механике, радиотехнике, теории автоматического регулирования, химии, биологии, экологии. В это время в МГУ теорию волн развивали Хохлов и С. А.Ахманов, создавший к 70-м гг. свою школу нелинейной оптики.
Автоволны — это самоподдерживающиеся волны, которые распространяются в активных средах или средах, поддерживаемых энергетически. За счет внутренних источников среды автоволны способны поддерживать свои характеристики, поэтому автоволны были открыты при химических реакциях, реакциях горения, при пере-
541

даче возбуждения по нервным волокнам, мышцам, сетчатке глаза, при анализе численности популяций и т.д. Волна возбуждения движется по возбудимой среде без затухания, потери на диссипацию полностью поддерживаются подводом энергии извне.
Пример распространения автоволны — распространение фронта горения. В 1938 г. Зельдович и Франк-Каменецкий установили, что в однородной среде фронт горения движется с постоянной скоростью, определяемой параметрами среды и не зависящей от начальных условий, кроме того, остается неизменной и форма профиля этой волны. Для полной аналогии с биологической задачей нужно было наделить среду способностью к восстановлению. Оно имеет место при сгорании травы в степи — после сгорания (третьей стадии) трава вновь отрастает, так что степь может гореть вновь. Сегодня процессы типа горения с восстановлением лежат в основе исследования почти всех возбудимых сред. В реакции Белоусова— Жаботинского осуществляется процесс окисления с последующим подавлением его за счет выделения ингибитора. При горении вместе с повышением теплоты тоже может выделяться какое-то вещество, подавляющее горение. Если выделение ингибитора произойдет быстро, то он может прервать процесс горения, и для продолжения процесса нужно будет запускать новую волну и продолжать это до тех пор, пока не будет израсходовано все горючее. Длительность рефракторного состояния определяется временем, которое необходимо для рассасывания ингибитора (например, дыма).
При хорошем перемешивании продуктов в объеме модель сильно усложняется (ее называют точечной), но устойчивые во времени и пространстве структуры промежуточных продуктов сохраняются. Эти структуры спонтанно возникают под действием термодинамических сил в далекой от равновесия системе, когда ее параметры превышают критические значения, т.е. происходит перестройка в системе, называемая самоорганизацией. Группа Приго-жина создала модель для изучения волновых явлений реакции Белоусова—Жаботинского, названную ими реакцией в системе БМФ (аббревиатура от слов: бромид — броммалоновая кислота — ферроин). В ней могут быть самовозбуждающиеся волны, или говорят об образовании волнообразных пространственно-временных диссипативных структур. Волна концентрации возникает в начале реакции, отражаясь от стенок реактора, ее источник — мелкие неоднородности среды или небольшие повышения концентрации кислоты, т.е. случайные неоднородности или флуктуации, которые до некоторых пор гасятся силами внутренней инерции. Помещая мелкие неоднородности в раствор, можно управлять этими волнами, делать их сферическими или спиральными.
Открытие Белоусовым колебательной реакции И.Пригожин назвал «одним их важнейших экспериментов нашего века». Колебательная реакция имеет в своей основе два типа молекул,
542

способных превращаться друг в друга. При хаотических столкновениях молекул был бы получен усредненный цвет, что и наблюдается вблизи равновесия. Вдали от него происходит иное — раствор меняет окраску синхронно. Получается, что молекулы как бы устанавливают связь между собой на больших расстояниях через большие промежутки времени, т.е. есть сигнал, на который молекулы действуют разом, система реагирует как целое. Раньше такое поведение считали присущим только живому. Пригожин рисует картину поведения систем с большим числом взаимодействующих субъединиц как вблизи равновесия, так и в удалении от него. При удалении от равновесия система «теряет иммунитет к возмущениям», становится неустойчивой, и если эти возмущения (автокатализ) достаточно сильны, система достигает точки бифуркации, в которой ее отклик на внешнее воздействие становится неоднозначным, возврат к начальным состояниям необязательным. Происходит необратимый переход в новое, когерентное, состояние: система приобретает новую диссипативную структуру (образованную за счет рассеяния—диссипации —энергии). Суть когерентности — в «коллективной стратегии поведения» субъединиц системы. Затем система может пройти и следующие точки бифуркации, приобретая черты историзма. Так начался новый уровень познания природы — эволюционный.
Подходы к проблеме химической эволюцииу И.Пригожина и А. П. Руденко основаны на неравновесной термодинамике, но отличаются по самоорганизующимся объектам. Пригожин исследует макросистемы с целью доказательства возможности самоорганизации. Поэтому он не описывает химическую эволюцию с естественным отбором. Руденко исследует самоорганизацию макросистем с целью воссоздания хода химической эволюции через отбор для выяснения биогенеза.

13.7. Возникновение самоорганизации в морфогенезе

Разрывный характер образования видов следует из анализа уравнений популяционной генетики, и этот процесс подобен фазовому переходу (М. В. Волькенштейн, Б. Н. Белинцев). Время существования вида гораздо более продолжительно, чем время его образования. На каждом скачке возникают новые признаки, часть из которых становится объектами отбора на той или другой стадии адаптации. Нуклеиновые кислоты и белки меняются постепенно, путем точечных замещений. В процессе образования видов и макроэволюции меняются качество белка, место и время его работы в организме. Поэтому и важна регуляция работы генов, о которой пока мало известно, поскольку регуляторные вещества функционируют в очень малых количествах.
543

Существует связь между историческим развитием (филогенезом) и индивидуальным развитием организма (онтогенезом). Образование структур в онтогенезе означает изменения в пространственном использовании основных клеточных механизмов, но не самих механизмов. Так, главные типы клеток позвоночных почти не изменились за 500 млн лет, менялись условия существования клеток от вида к виду. При этом важна позиционная информация (ПИ) — этот термин введен Л.Вольпертом (1969). Каждая клетка воспринимает информацию в соответствии со своей генетической программой, и различия в строении организмов определяются уже не самими клетками, а их относительным расположением. Позиционная информация предполагает наличие некоторого физического свойства, которое диктует выбор режима функционирования и пространственной ориентации, после чего начинается стадия трансляции ПИ. Такой подход позволяет разобраться в механизмах становления пространственной упорядоченности клеток, отвлекшись от деталей процессов внутри них.
Морфогены — специальные белковые молекулы — сообщают ПИ. Они могут подавлять или активизировать работу регуляторных генов. Морфогены образуют и морфополя — совокупности физико-химических процессов, протекающих в далеких от равновесия открытых системах. Математические модели таких процессов дают решение, которое показывает, что в первоначально однородной системе неоднородности (пространственные и временные) порождают упорядоченность. При этом неоднородности являются продуктом диффузии и автокаталитических реакций, происходящих с разными скоростями для разных веществ.
Механизм формирования пространственной упорядоченности в онтогенезе многоклеточных организмов принципиально по-новому объяснял почти 50 лет назад английский математик А. Тьюринг, когда почти ничего не знали о молекулярных процессах в клетке. Тьюринг показал, что однородное распределение химических реагентов по объему химического реактора при определенных условиях становится неустойчивым, и у системы появляются новые, коллективные черты поведения — в ответ на сколь угодно малые возмущения она покидает исходное состояние и эволюционирует в новое. Тьюринг выделил условия возникновения самоорганизации. Клетки могут свободно перемещаться и взаимодействовать друг с другом. При гидролитическом расщеплении АТФ выделяется энергия, которая служит источником работы. Малые изменения в поле морфогенов, изменения времени и места действия регуляторных генов приводят к существенным изменениям строения целого организма. Пример тому — человек и шимпанзе. Их белки и клетки почти одинаковы, отличия в последовательности аминокислот в 44 белках составляют не более 1 %. Итак, регуляция синтеза белков определяет вид, а не
544

сами белки. Поэтому и направленная эволюция требует меньшего времени, чем потребовалось бы при простом переборе изменений в геномах.
Гены не постоянны, они могут изменяться не только замещениями нуклеотидов в геномах вследствие мутаций, но и из-за переноса генов внутри хромосом, от одной хромосомы к другой, от одного организма к другому. Это «непостоянство генома» ускоряет эволюцию и говорит о единстве всего живого. Генетические элементы могут перемещаться «по горизонтали», что используется в генной инженерии. Например, кишечную палочку «научили» синтезировать инсулин и интерферон. Все функции клетки и организма определяются белками, т.е. цепями из 20 типов аминокислотных остатков. Эти цепи могут сворачиваться в глобулы, достаточно плотные образования, похожие на несимметричные кристаллы. Для синтеза белков необходимы РНК и ДНК, служащие матрицами для сборки цепей. Нуклеиновые кислоты состоят из четырех сортов нуклеотидов. Структурный ген — участок цепи ДНК, ответственный за синтез одной белковой цепи. Нуклеиновые кислоты представляют законодательную власть клетки, белки — исполнительную. В процессе эволюции меняются гены и соответствующие белки.
Эволюцию на молекулярном уровне позволяет проследить сопоставление однотипных белков разных видов организмов, можно построить и эволюционное древо на основе состава белка. Различие может быть связано с естественным отбором, но отбор определяется биологическими функциями белков, фенотипами. Однако не всегда однозначна связь «текста» первичной структуры цепи и пространственного строения белковой глобулы с биологической функцией белка. Не все мутации белков ведут к изменению их функций, часть их оказывается нейтральной. По теории нейтралистской молекулярной эволюции японского генетика М.Кимуры (1968) скорость эволюции белка не зависит от размера популяции, причем активная часть цепи эволюционировала медленнее, чем ее «каркас». Скорость эволюции белка за год он выражал отношением числа замещенных аминокислотных остатков к одному остатку. Она оказалась постоянной для разных линий эволюции при сохранении функций и пространственной структуры молекулы. Величины скоростей замещений были меньше 10-9. Значит, время существования Вселенной недостаточно для построения макромолекул, если бы положение каждого звена фиксировалось отбором.
Выводы Кимуры об эволюции белков и нуклеиновых кислот не следует распространять на естественный отбор, относящийся к организмам. Нейтральность мутаций в «каркасе» белка во многом предопределена его строением и кодированием. Эволюция макромолекул отличается от эволюционного поведения организмов. Гомеостаз ведет к тому, что многие вредные мутации ведут себя
545

как нейтральные. Например, одна из мутаций ухудшила свойства белка-фермента, и он стал перерабатывать субстрат медленней. Тогда организм исправит ситуацию каким-то способом, может быть, увеличит количество этого ослабленного фермента.
Математические модели могут изменить представление биологов об истоках упорядоченности в эволюции. Ведь все живые организмы являются строго упорядоченными системами. Они обладают сложными структурами, которые поддерживали и воспроизводили себя благодаря слабо выраженному взаимодействию химических и поведенческих процессов. Со времен Дарвина биологи рассматривали естественную эволюцию как основной источник порядка.

13.8. Моделирование отношений между трофическими уровнями в биоценозах

Между видами существует связь, основанная на конкуренции за места обитания, за пищу и на «сожительстве» (например, лишайники как симбиоз грибов и водорослей). Широко распространена связь «паразит—хозяин», а также передача наследственных признаков через вирусы и бактериофаги (у бактерий).
В современной биологии одно из центральных мест занимают проблемы кооперативных эффектов и самоорганизации, соотношения «случая» и «необходимости». С появлением понятий биоценоза и биогеоценоза в биологических исследованиях стали применять методы математического моделирования, а использование ЭВМ для анализа процессов в сложных системах существенно обогатило науку о биосфере и экологию.
По распределению и численности видов имеется огромная информация, но ее нужно перевести на математический язык. Вводят «макроскопические характеристики», описывающие популяцию. Это число особей, соответствующее параметру порядка сложной системы. Оно «управляет» судьбой особей «в среднем». Если п — число особей (их плотность), то изменение п от скорости (числа) рождений gи числа смертей dможно записать как . В простейшем случае , где
коэффициенты не зависят от общей численности, а определяются доступностью пищи, климатическими условиями и т. п. Если эти внешние условия поддерживаются постоянными, то уравнение описывает растущую или убывающую по экспоненте популяцию. Значит, стационарного решения у этого уравнения нет, и рост не зависит от плотности, поэтому внешние условия должны зависеть от плотности. Наиболее важным из всех факторов, которые мы проигнорировали, вероятно, является истощение источников питания, который можно учесть введением
546

в уравнения члена (здесь предполагается, что пища поступа-
ет с постоянной скоростью). Тогда получается уравнение Ферхюльста:
При этом могут встретиться ситуации: «конкуренция—сосуществование»; «хищник—жертва»; «симбиоз». При сосуществовании различные виды не питаются одной и той же пищей, не поедают друг друга, размножаются в разных местах. Тогда уравнения для численности записываются как , . Ситуация усложняется, если виды живут или пытаются жить за счет одного и того же источника пищи или зависят от одних и тех же жизненных условий. Пример: растения, извлекающие фосфор из почвы. При этом одни растения закрывают листьями другие, лишая их солнечного света, или другой пример — птицы, которые строят гнезда в одних и тех же дуплах, и т.п. Математически это соответствует установлению генерации в лазере или автокаталитической реакции между двумя группами молекул. Решение показывает, что выживет только один тип, наиболее приспособленный. Это выживание может быть достигнуто улучшением индивидуальных констант и адаптацией. Если перекрываются источники пищи N, М:

где скорости поступления пищи;

убыль пищи за счет внутренних причин типа гниения. Рассматривая правые части уравнений («силы») в плоскости п, т, можно найти условия, при которых возможно сосуществование. Обобщение на случай многих видов и источников пищи производится аналогично. Поэтому понятно, какую важную роль играют экологические ниши для выживания видов и почему виды так приспособлены к ним. Примером такого сосуществования служит распределение растительности по высоте, что изучается специально в биогеографии. Эта модель проста, но позволяет сделать оценки относительно динамики популяций при введении еще одного параметра, отвечающего за появление новых видев. Гены могут претерпевать мутации, образуя аллели. Мутации происходят случайно, но частота их может меняться под воздействием внешних факторов (повышение температуры, добавление химических агентов, ультрафиолетовое облучение и т.п.), поэтому можно считать, что мутации оказывают «мутационное давление», благодаря которому возникают особи новых типов. Новые свойства сначала будут рецессивными и только через несколько поколений станут доминантными. Пусть число особей новых типов, возникших из-за случайной мутации, равно и. Их показатели рождения и гибели иные, и но-

вая популяция возникнет только при наличии флуктуации, которые будем описывать некой флуктуирующей силой и введем ее в уравнения роста популяций:

Пусть функция Fj(t) зависит от прежней популяции и факторов окружающей среды. Такие уравнения можно записать для разных типов, возникающих в системе. Так, система «подвидов» подвергается «давлению отбора», и это можно учесть, используя вышеприведенные уравнения, если считать, что условия окружающей среды (пища, например) остались прежними. Тогда для любого из подвидов, пользующихся тем же источником пищи, получим уравнение:

Если скорость мутаций у определенных видов мутантов мала, то выживут только наиболее приспособленные. Как отмечал Ха-кен, размножение видов можно заменить циклом А—В —С—..., который постулировался при описании эволюции макромолекул. Итак, возникновение новых видов благодаря мутациям (флуктуирующей силе) и отбору (вынуждающей силе) можно рассматривать как аналог неравновесного фазового перехода второго рода, т. е. аналогично процессам в лазере.
Модель Вольтерра—Лотки была одной из первых экологических моделей. В любом биоценозе происходит взаимодействие между всеми его элементами: особи одного вида взаимодействуют с особями и своего вида, и других видов. Эти взаимодействия могут быть мирными, а могут иметь связь типа «хищник-жертва». Было замечено, что численность хищных рыб колеблется в обратной пропорции относительно колебаний численности мелких рыбешек, которые служат им пищей. Анализ этих колебаний позволил математику Вито Вольтерра вывести (1926) уравнения, описывающие этот процесс. Если бы в биоценозе было только два вида (очень большое упрощение), то и в этом случае динамика численности каждого из видов сильно отличалась бы от картины их независимого существования.
Примером анализа таких структур может служить эволюция численности зайцев и волков, которая характеризуется колебаниями во времени. Изменение численности животных установлено по числу заготовленных шкурок. Абстрагируясь от различных обстоятельств, так или иначе влияющих на численность зверей, можно проанализировать важнейшую зависимость: зайцы едят траву, а волки — зайцев. Если бы жили одни зайцы и корма было достаточно, то их численность росла бы по экспоненциальному закону, а если бы жили только волки, то они вымирали бы. При их совместном существовании скорость изменения численности зайцев и волков связа-
548

на с частотой их столкновений, т. е. пропорциональна количеству тех и других с некоторым коэффициентом. Уже эти соображения приведут к системе уравнений, и при определенных условиях система «хищник—жертва» придет в равновесие.
В случае неожиданной флуктуации (смерть волка или зайца, отстрел во время охоты и т.д.) равновесие нарушается и система приходит в движение. Она ведет себя как колебательная система, численности «хищников» и «жертв» начинают колебаться синфазно, с отставанием. Объяснение простое: рост численности зайцев приводит к увеличению питания для волков, но уменьшает количество травы, так что вскоре численность волков вырастает, а зайцев — уменьшается. Количество травы увеличивается, но запасы пищи для волков уменьшаются, и их численность падает. Тогда поголовье зайцев снова растет, и процесс повторяется. Режим колебаний с определенным периодом оказывается устойчивым. Такая система описывается уравнениями:
 , где первое уравнение описывает количество жертв п, второе — количество хищников т. Эти уравнения имеют периодическое решение. Стационарное решение соответствует полному вымиранию, и оно единственное устойчивое. В природе такое может случиться, но биологи указывают на возможность животных-жертв найти убежище, не доступное хищникам, так что некоторая часть их выживет. Модель может усложняться введением нескольких типов жертв, которыми может питаться один хищник, и другими вариантами.
Ситуация «симбиоз» тоже моделируется, как и ситуации «хищник—жертва» и «конкуренция—сосуществование». Симбиоз отражает кооперацию отдельных видов в борьбе за существование, когда один вид помогает или покровительствует другому (как, например, кооперация пчел или деревьев). Поскольку скорость размножения одного вида зависит от наличия другого, то, пренебрегая внутривидовым подавлением , имеем:

Здесь стационарный случай соответствует и = т = 0. В этих простых схемах не хватает очень многих факторов — смены климата и погоды, связи возраста особи и смертности, колебаний запасов пищи в разное время года и на разных территориях и т.д. Но использование даже простых моделей при разных, эмпирически учтенных тех или других параметрах дает интересные результаты.
Строя математические модели и проводя полевые испытания, ученые пытаются понять, каким образом паразиты и их хозяева коэволюционировали в тесные сообщества. Компьютерные модели этих процессов соответствуют «гонке вооружений» в ходе эво-
549

люции. Паразиты должны все время приспосабливаться, чтобы получить от хозяина больше ресурсов для роста своей популяции, а хозяин всячески старается этого не допустить. Биологи-эволюционисты считают, что существование полов с эволюционной точки зрения неудачно, и половые различия должны бы постепенно исчезнуть, но этого не происходит. Вероятно, потому, что пол является неким «секретным оружием», сохраняющим большую устойчивость хозяина: ведь паразит приспосабливается обычно к определенному его типу. Как только хозяева становятся жертвами, численность менее распространенных типов хозяев увеличивается, и наоборот. Исследования 90-х гг. XX в. показали, что бесполые рыбы чаще поражаются паразитами, чем разнополые. Те же результаты получены и на птицах — наличие паразитов наносит ущерб яркому оперению, и самки не выбирают таких самцов.
Созидательный характер симбиоза показала Л.Маргулис, исследуя роль естественного отбора в эволюции. Она предположила, что эукарио-тические клетки, имеющие внутренние органеллы, произошли от симбиоза более простых безъядерных клеток. Митохондрии и хлоропласты содержат иные гены, чем ядра клеток эукариот, но похожи на гены некоторых бактерий. Возможно, им не нужно было изобретать дыхание и фотосинтез методом «проб и ошибок». Большинство травоядных животных зависят от микроорганизмов, живущих в их кишечнике и переваривающих потребляемую животными клетчатку. Эволюционную схему, показывающую, как травоядные животные могли развиться от симбиоза их предков и микроскопических паразитов растений, очертил П. Прайс. Паразит приобрел способность производить ферменты для переваривания веществ, составляющих организм его хозяина-растения. Животное, вступив в симбиоз с паразитом, смогло использовать для себя продукты ферментации растительной массы. Успех в освоении новых пищевых ресурсов обеспечил преимущества в естественном отборе таких животных.
Жизнь даже небольшого озера невероятно сложна и многообразна, так что описать и «проверить алгеброй» эту достаточно простую систему почти невозможно, хотя такие попытки имеют место. Во многих странах разработаны системы моделирования гидробиоценозов — акватроны, соединенные напрямую с ЭВМ, которые сами ведут наблюдения и подсчитывают объекты, т. е. система сама корректирует модель. Например, для учета химико-биологических превращений нужно знать интенсивность роста водорослей, фотосинтеза, смертность каждого вида, скорость разложения органического вещества. Конечно, такие разработки очень дороги, но в конечном счете обещают значительный экономический результат.
Химическое равновесие в биосфере опирается на биотический круговорот. Хотя отдельные циклы изучены недостаточно, ясно, что система находится на грани порядка и хаоса и может быть выведена из этого состояния неустойчивого равновесия даже малым воздействием. Ряд ученых (Л. Маршалл, М. И. Буды-ко, Л.Беркнер и др.) считают, что резкое уменьшение углекис-
550

лоты в атмосфере с появлением фотосинтеза приводило к похолоданию и оледенению Земли и, естественно, к нарушению существовавших циклов. Собственно, это сейчас и делает индустриально вооруженный человек. Биосфера сформировалась по своему плану, без участия человека, и биогеоценозы пока еще находят резервы, чтобы справиться с вмешательством человека, но неизвестно, насколько их хватит.
Качественно новый этап развития биосферы начался с появлением человека в конце третичного периода, хотя сначала его деятельность мало отличалась от деятельности других существ. Беря у биосферы все необходимое, человек отдавал ей то, что могли использовать другие, т.е. включился в биотический круговорот. Добывание огня вьщелило человека из ряда других животных. При этом человек не только сумел расселиться в районы холодного климата, пережить оледенения и защититься от хищников, но и научился уничтожать органические остатки, заменив в чем-то микроорганизмы. Так с малых шагов началось ускоряющееся изменение равновесия в биосфере.

13.9. Элементы теории самоорганизованной критичности

Системы, состоящие из многих взаимодействующих элементов, постоянно самоорганизуются и могут достичь некоторого критического состояния, в котором даже малое событие вызывает цепную реакцию, могущую привести к катастрофе. Когда происходит что-то непредвиденное или катастрофа, то всегда ищут причину. Например, когда узнали о гибели динозавров по отпечаткам на окаменелостях, одни палеонтологи приписали их исчезновение падению крупного метеорита, другие — извержению вулкана. Землетрясение геологи связывают с неустойчивостью вдоль разлома земной коры. Когда рушится рынок акций, находят где-то неконтролируемую продажу товара.
При исследовании сложных систем часто пользуются теми же методами, что и при исследовании простых систем, так как они хорошо разработаны и проверены. Большую систему делят на малые подсистемы, изучают каждую из них по отдельности и считают, что реакция или отклик в каждой из них пропорционален внешнему возмущению. Описывают динамику больших систем в терминах равновесного состояния, которое изредка нарушается внешним воздействием. Но оказалось, что многие хаотические системы не поддаются такому анализу. П. Баком, К.Визенфельдом и Ч.Тангом (США) была разработана теория самоорганизованной критичности.
Согласно этой теории, многие составные части системы эволюционируют естественным образом к критическому состоянию,
551

в котором малое возмущение может вызвать цепную реакцию, способную повлиять на любое число элементов системы. И хотя в составных частях происходит больше незначительных событий, чем катастроф, цепные реакции разных масштабов вошли в динамику системы, т. е. малые события вызывает тот же механизм, что и крупные. Кроме того, составные части системы не достигают равновесия, а эволюционируют от одного метастабильного состояния к другому. Считается, что глобальные характеристики не зависят от микроскопических механизмов, поэтому их нельзя понять, разбивая систему на подсистемы и анализируя их отдельно. Эта модель исследовалась и улучшила понимание процессов в эволюции земной коры, на рынке акций, в экосистемах и других больших системах, которые ранее анализировали по частям.
Идея теории самоорганизованной критичности началась с наблюдений и опытов с кучей песка. Г.Хелд, проводивший эксперименты по компьютерному моделированию, разработал устройство, которое медленно и равномерно — по одной песчинке — насыпало песок на круглую подложку. Песчинки сначала оставались в месте падения, потом громоздились в кучу, а когда склон становился очень крутым и достигалось критическое состояние, одна песчинка вызывала катастрофу. Песчинка падала сначала спокойно, но, достигнув неустойчивых песчинок, вызывала лавину — разновидность цепной реакции или ветвящегося процесса. Как только «активные» песчинки скатывались с кучи, процесс прекращался. Куча сохраняла свою крутизну и высоту, потому что вероятности прекращения активности и ее ветвления в среднем равны. Если крутизна будет меньше критической, то лавины будут слабее, а при большей кривизне — значительно возрастут.
Эксперименты с мокрым песком показали, что сначала лавины будут меньшего размера, чем в сухой куче, и крутизна превзойдет критическую, но затем резко произойдут обвалы и падения. Такая система неустойчива по многим параметрам, а ее критическое состояние весьма

устойчиво («суб- и суперкритические» крутизны стремятся стать «критическими», сбрасывая лишние песчинки). Хотя песок сыплется с постоянной скоростью, его количество меняется со временем, и график этой величины — хаотический сигнал разных длительностей. Возникающие при этом структуры, полученные при различных типах деформации мокрого песка в Институте горного дела СО РАН (Новосибирск, 1984), упорядочены (рис. 13.9).
Сигнал называют фликкер-шумом или шумом мерцания типа
552

1/f, если прошлые события в памяти сохраняются. «Белый», или «случайный», шум означает отсутствие корректировки динамики с прошлыми событиями. Шум мерцания широко распространен в природе: в активности Солнца и излучении галактик, в протекающем через резистор токе, в потоке воды в реке. Шум мерцания содержит наборы всех длительностей и всех амплитуд сигналов, возникающих, когда система, находящаяся в критическом состоянии, порождает цепные реакции всех амплитуд и длительностей.
Построенная в то же время математическая модель помогла понять динамику землетрясений, экосистем и турбулентности в жидкости. Еще в 1956 г. геологи Бено Гутенберг и Чарлз Рихтер (введший шкалу Рихтера) установили закон связи числа сильных и слабых землетрясений, который носит их имена. Согласно этому закону, число землетрясений, высвобождающих за год определенное количество энергии Е, пропорционально Е-b, где b 1,5, и не зависит от географического района. Следовательно, сильные землетрясения происходят реже слабых, и все они связаны с одним и тем же процессом. В качестве последнего обычно называют механизм проскальзывания: блоки коры слипаются, а затем скользят относительно других блоков, образуя разломы. При скольжении блоков возникшее напряжение снимается и распространяется на соседние районы.
Этот механизм был проверен на опытах, поставленных В.Бобровым и М.Лебедкиным, наблюдавшими «землетрясения», амплитуда и частота которых были связаны степенным законом. Они провели опыты с алюминиевым и ниобиевым стержнями и получили близкие результаты, хотя механизмы процессов в земной коре и модели отличались. Потом была создана компьютерная модель земной коры, состоящая из двух плит, — упругой и жесткой, взаимодействующих посредством трения. На этой модели результаты проверялись несколько раз, при этом записывались распределения сил до и после взаимодействия, а не детали динамики. Сначала регистрировались слабые «землетрясения», потом система эволюционировала к критическому состоянию, в котором регистрируются как слабые, так и сильные «землетрясения». Равномерное увеличение силы в целом уравновешивалось высвобождением ее на границе. Энергия, выделяемая во время землетрясения, связана в модели с числом событий проскальзывания, происходящих после возникновения одиночной неустойчивости в каком-то «эпицентре». Если подсчитать число землетрясений каждой величины за длительный период, то получается закон Гутенберга—Рихтера (рис. 13.10). Катастрофические землетрясения представлены частью графика, относящейся к более высоким значениям энергии, а слабые — к низким. С.Обухов показал, что в четырех и более измерениях отдельные ветвящиеся процессы не-
553

зависимы и b = 1,5. Это подтверждает предположение о том, что земная кора находится в критическом состоянии.
Эта модель не только объясняет эволюцию землетрясений, но и описывает распределение их эпицентров. Степенные законы и ранее применяли для анализа распределений таких объектов, как горы, облака, галактики, вихри в турбулентных потоках. Показатель степени числа rвычисляется по числу объектов внутри сферы радиуса r. Такое распределение называют фракталом, и число фракталов в природе велико. Авторы описываемой теории считают фракталы мгновенными «срезами» самоорганизующихся критических процессов. Фрактальные структуры и шум мерцания — пространственные и временные «отпечатки» самоорганизованной критичности.
Задача прогнозирования землетрясений осложнена зависимостью от начальных условий; кроме того, иногда сказывается влияние событий, далеких от эпицентра. Численные эксперименты показали, что неопределенность начальных условий растет со временем по степенному, а не по экспоненциальному закону, как в системах с развитым хаосом, т.е. соответствует эволюции на грани хаоса или состоянию «слабого хаоса». В этом проявляется самоорганизованная критичность, и поэтому некоторые
554

прогнозы возможны. Например, если погода есть явление хаотическое и 100 обсерваторий собирают достаточно информации на двухдневный прогноз, то 1000 обсерваторий могли бы обеспечить прогноз на четыре дня. Если погода — явление слабохаотическое, то 1000 обсерваторий обеспечили бы прогноз на 20 дней вперед. Вместо погоды можно говорить о куче песка или землетрясениях. Например, если известно, что распределение автомобилей на дорогах описывается шумом мерцания, то движения с попеременными остановками и троганием с места можно рассматривать как критические лавины, которые распространяются по потоку автомобилей.
В рассмотренных выше случаях теория самоорганизованной критичности применялась к системам с сохраняющимся числом частиц. Анализируя игру Конуэя «Жизнь», имитирующую возрастание сложности в биосистеме, авторы данной теории установили, что распределение живых ячеек является фракталом, который можно описать степенным законом с показателем степени 1,7. Таким образом, число живых ячеек колебалось со временем так же, как размеры лавин в куче песка, и система самоорганизовалась в критическое состояние.
Флуктуации в экономике, как заключили Ф.Андерсон и Б.Артур, также могут быть вызваны лавинами в самоорганизованном критическом состоянии системы. Б. Мандельброд из корпорации IBM проанализировал такие показатели, как индекс Доу-Джонса, и обнаружил флуктуации, соответствующие шуму мерцания. Различные метастабильные состояния экономики могут быть рассмотрены как метастабильные состояния кучи песка или земной коры. В других экономических моделях состояния более устойчивы, и большие агрегатные флуктуации могут возникать только от внешних ударов, влияющих на разные секции одинаково. Но причины их отыскать трудно, пример тому — депрессия 30-х гг. XX в. в США. В модели самоорганизованной критичности причины могут быть и при отсутствии таких «толчков». Большие флуктуации являются внутренним и неизбежным свойством динамики этой модели экономики. Такая проверка была проделана, и оказалось, что при изменении спроса на продукт нескольких компаний случайным образом на малую величину может возникнуть «лавина» в продаже и производстве.

Вопросы для самопроверки и повторения

1. В чем заключается явление самоорганизации? Приведите примеры из области химии и физики. Почему они не могут быть описаны с позиций классической науки?
2. Как строится термодинамика открытых систем? Что такое устойчивые и неустойчивые равновесные состояния? Поясните понятия простой и сложной системы.
3. Как возникают структуры из хаоса в неорганической и живой материях? Каковы условия их образования? Приведите примеры из разных областей естествознания.

555

1. Что такое синергетика и каково ее значение для современной картины мира? Каков механизм эволюции в соответствии с представлениями синергетики?
2. Какие этапы можно выделить в развитии самоорганизующихся систем? Что такое фазовое пространство и как оно используется в моделировании сложных систем?
3. Поясните понятие диссипативной структуры по И.Пригожину.
4. Каково соотношение случайного и закономерного в концепции развития? Какую роль сыграл принцип элементарного беспорядка в естествознании?
5. Поясните понятия «хаос», «бифуркация», «катастрофа». Как теория катастроф связана с синергетикой?
6. Какие системы могут находиться в высокоупорядоченном состоянии? Каковы необходимые условия возникновения «самоорганизации» и существуют ли достаточные?

Ваш комментарий о книге
Обратно в раздел Наука