Áèáëèîòåêà

Òåîëîãèÿ

Êîíôåññèè

Èíîñòðàííûå ÿçûêè

Äðóãèå ïðîåêòû







Âàø êîììåíòàðèé î êíèãå

Äóáíèùåâà Ò. Êîíöåïöèè ñîâðåìåííîãî åñòåñòâîçíàíèÿ. Ó÷åáíîå ïîñîáèå

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ãëàâà 3 ÌÈÐÎÇÄÀÍÈÅ Â ÑÂÅÒÅ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÅÕÀÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÏÀÐÀÄÈÃÌÛ
3.1. Ìîäåëü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè è çàêîíû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè

Äâèæåíèåì íàçûâàåòñÿ ëþáîå èçìåíåíèå ìàòåðèè; äâèæåíèå — ýòî îñíîâíîå, íåîòúåìëåìîå è âñåîáùåå ñâîéñòâî ìàòåðèè; îíî òàê æå ìíîãîîáðàçíî, êàê è ÿâëåíèÿ ïðèðîäû. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå âèäû äâèæåíèÿ ìàòåðèè — ìåõàíè÷åñêîå, òåïëîâîå, õèìè÷åñêîå è ò. ä. Ïî âûðàæåíèþ Ãàëèëåÿ, êòî íå çíàêîì ñ çàêîíàìè äâèæåíèÿ, òîò íå ìîæåò ïîíÿòü ïðèðîäû. Ïîä ìåõàíè÷åñêèì äâèæåíèåì ïîíèìàþò èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ òåë îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ. Õàðàêòåð äâèæåíèÿ çàâèñèò îò òîãî, îòíîñèòåëüíî êàêîãî òåëà îíî ðàññìàòðèâàåòñÿ. Äâèæóùååñÿ òåëî èìååò íåêîòîðûå ðàçìåðû â ïðîñòðàíñòâå, íî è ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ïðîèñõîäèò äâèæåíèå, îáëàäàåò ïðîòÿæåííîñòüþ. Ïðîöåññ àáñòðàãèðîâàíèÿ ïîçâîëÿåò îòâëå÷üñÿ îò íåñóùåñòâåííûõ äëÿ äàííîãî äâèæåíèÿ ñâîéñòâ òåë — èçìåíåíèÿ ñòðîåíèÿ, âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ è äð.
Ìîäåëè, èñïîëüçóåìûå â íàóêå, äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü ðåàëüíûì ÿâëåíèÿì èëè îáúåêòàì. Îíè äîëæíû îïèñûâàòüñÿ ìàòåìàòè÷åñêè, ÷òî ïîçâîëÿåò îñóùåñòâëÿòü êîëè÷åñòâåííóþ ïðîâåðêó õàðàêòåðíûõ îñîáåííîñòåé èññëåäóåìûõ ïðèðîäíûõ ÿâëåíèé. Ìîäåëü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè èñïîëüçóþò, åñëè ðàçìåðû òåëà ìíîãî ìåíüøå ðàçìåðîâ îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ïðîèñõîäèò äâèæåíèå. Äðóãàÿ àáñòðàêòíàÿ ìîäåëü — ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê — ñîîòâåòñòâóåò ïðîòÿæåííûì òåëàì. Åñëè âàæíà æåñòêàÿ ñâÿçü òî÷åê ìåæäó ñîáîé, èñïîëüçóþò ìîäåëü àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà; åñëè æå òî÷êè ñëåãêà ïîäâèæíû â ýòîé ñèñòåìå, óäîáíåå ìîäåëü óïðóãîãî ò å ë à. Ïðè îïèñàíèè ïîâòîðÿþùèõñÿ ÿâëåíèé óäîáíû ìîäåëè îñöèëëÿòîðà: ãàðìîíè÷åñêîãî, àíãàðìîíè÷åñêîãî èëè ñèñòåìû ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ. Ýòè ìîäåëè øèðîêî èñïîëüçóþò íå òîëüêî â ìåõàíèêå, íî è â åñòåñòâåííûõ, è â îáùåñòâåííûõ íàóêàõ.
Ìåõàíèêà èçó÷àåò ïåðåìåùåíèå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èëè òåë, ò.å. èçìåíåíèå èõ ïîëîæåíèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Íî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â ìèêðî-, ìàêðî- è ìåãàìèðå ïî ðàçëè÷íûì çàêîíàì, èçó÷àåìûì êâàíòîâîé, êëàññè÷åñêîé è ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêîé ñîîòâåòñòâåííî. Ìåõàíèêà ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë, äâèæóùèõñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, ìíîãî ìåíüøèìè ñêîðîñòè ñâåòà, íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé; îíà ñîñòîèò èç êèíåìàòèêè è êèíåòèêè. 89

Îñíîâó êèíåìàòèêè ñîñòàâëÿþò ãåîìåòðèÿ (êîîðäèíàòû) è âðåìÿ; ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ òðàåêòîðèè, ñêîðîñòè, óñêîðåíèÿ, ñèñòåìû îòñ÷åòà, óãëîâîé ñêîðîñòè è óãëîâîãî óñêîðåíèÿ. Îíà âîçíèêëà èç ïðàêòèêè ïîëüçîâàíèÿ ïðîñòûìè ìåõàíèçìàìè (ðû÷àãîì, íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ è ïð.). Ïðè ýòîì çàêîíû ðàâíîâåñèÿ èçó÷àëèñü ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ òîãî, ÷òî ïðèâîäèò ê íàðóøåíèþ ðàâíîâåñèÿ. Ñèñòåìà Êîïåðíèêà (1543) — ÷èñòî êèíåìàòè÷åñêàÿ.  êèíåìàòèêå èãíîðèðóþò ïðè÷èíû äâèæåíèÿ.
Òðàåêòîðèÿ — ýòî ñîâîêóïíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîëîæåíèé, çàíèìàåìûõ òåëîì â ïðîöåññå äâèæåíèÿ. Âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç íà÷àëüíîé òî÷êè â êîíå÷íóþ, íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ïåðåìåùåíèÿ. Ïóòü — ýòî ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ðàññòîÿíèþ, ïðîéäåííîìó òî÷êîé âäîëü òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ. Ñêîðîñòü — ýòî âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ áûñòðîòó è íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè. ×èñëåííîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ðàâíî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò ïóòè ïî âðåìåíè. Ñèñòåìà îòñ÷åòà — ýòî ñèñòåìà êîîðäèíàò, æåñòêî ñâÿçàííàÿ ñ àáñîëþòíî òâåðäûì òåëîì, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå äðóãèõ òåë, è âûáðàííûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ âðåìåíè. Ïîíÿòèÿ ìãíîâåííîé ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ ïîÿâèëèñü â Åâðîïå â XV â. â ñâÿçè ñ èññëåäîâàíèåì íåðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ.
Êèíåòèêà — ýòî ñòàòèêà è äèíàìèêà.
Ñòàòèêà ðàçâèâàëàñü â ñâÿçè ñ ðàñ÷åòîì ðàâíîâåñèÿ àðõèòåêòóðíûõ êîíñòðóêöèé: áàëîê, ïëèò è ò.ï., êîòîðûå ïîäïèðàëèñü â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ èëè ïîäâåøèâàëèñü. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ñòàòèêè ñëîæèëèñü åùå â äðåâíîñòè èç íàáëþäåíèé, ïðàêòè÷åñêîãî îïûòà è ãåîìåòðè÷åñêèõ ìåòîäîâ: ñèëà, ïàðà ñèë, öåíòð òÿæåñòè, ìîìåíò ñèëû, óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ.
Ñèëà — ýòî âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ÿâëÿþùàÿñÿ ìåðîé ìåõàíè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ òåë, êîòîðîå ìîæåò ïðîèñõîäèòü è ïóòåì ïðÿìîãî êîíòàêòà, è ÷åðåç ïðîñòðàíñòâî. Ñòàòèêà â àíòè÷íîñòè ïîäâåðãàëàñü íàèáîëüøåé ìàòåìàòèçàöèè. Àðõèìåä — ñîçäàòåëü ñòàòèêè è ãèäðîñòàòèêè — ïîñòðîèë èõ ïî îáðàçöó ãåîìåòðèè Åâêëèäà. È çàäà÷è ìåõàíèêè ñâîäèëèñü ê ñõåìå íåïîäâèæíîãî è óðàâíîâåøåííîãî ðû÷àãîâ. Ëåîíàðäî äà Âèí÷è, îïèðàÿñü íà ñâîè îïûòû ñ ïîëèñïàñòàìè è äðóãèìè ñî÷åòàíèÿìè ïîäâèæíûõ è íåïîäâèæíûõ áëîêîâ, ïûòàëñÿ ñôîðìóëèðîâàòü ïðàâèëà ñîîòíîøåíèÿ ñèë è ñêîðîñòåé ïåðåìåùåíèÿ ãðóçîâ è òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû òÿãè, ò. å. íåêèé âàðèàíò «çîëîòîãî ïðàâèëà ìåõàíèêè».  XVI â. ýòè èññëåäîâàíèÿ ïðîäîëæèëè Òàðòàëüÿ, Áåíåäåòòè è Êàðäàíî.  ñòàòèêó âîøåë ïðèíöèï ìîìåíòîâ ñèÿ. Ñòåâèí, èçó÷àÿ ðàâíîâåñèå íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ðàçëàãàë ñèëû íà ñîñòàâëÿþùèå (çàêîí ïàðàëëåëîãðàììà ñèë). Îí æå äàë äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà Àðõèìåäà î ïëàâàíèè òåë. Ãàëèëåé îáîñíîâàë çàêîí ðû÷àãà, îïèðàÿñü íà ïðèíöèï âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé.
Äèíàìèêà, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèÿ êèíåìàòèêè è ñòàòèêè, ââîäèò ïîíÿòèÿ ìàññû, ìîìåíòà èíåðöèè, êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ èëè èìïóëüñà, ðàáîòû ñèëû, êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, ìîìåíòà êîëè-
90

÷åñòâà äâèæåíèÿ èëè ìîìåíòà èìïóëüñà. Îñíîâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ äèíàìèêè ñëîæèëèñü è ðàçâèâàþòñÿ íà áàçå ìíîãîâåêîâîãî îïûòà ÷åëîâå÷åñòâà, ïðîèçâîäñòâåííîé ïðàêòèêè è íàáëþäåíèé çà äâèæåíèåì òåë, à òàêæå â ïðîöåññå ñïåöèàëüíî ïîñòàâëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Ïðîáëåìà ïîèñêà ïðè÷èí äâèæåíèÿ âîçíèêëà â Åâðîïå â XV â. Áóðè-äàí ââåë ïîíÿòèå «èìïåòóñà» — ïîñòîÿííîãî êà÷åñòâà äâèæóùåãîñÿ òåëà. Ïîÿâèëèñü ïîïûòêè ïðèáëèçèòüñÿ ê ïîíÿòèþ èíåðöèîííîãî äâèæåíèÿ. ×òîáû ïîíÿòü, êàê áóäåò äâèãàòüñÿ òåëî ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë, íóæíî íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ. Ïðèíöèï ñîõðàíåíèÿ äâèæåíèÿ — îñíîâà ìåõàíèêè Äåêàðòà. Ãàëèëåé â íà÷àëå XVII â. ìàòåìàòè÷åñêè ñôîðìóëèðîâàë çàêîíû ïàäåíèÿ òåë è êà÷àíèÿ ìàÿòíèêà, ïðÿìî ññûëàÿñü íà ýìïèðè÷åñêóþ îñíîâó ìåõàíèêè. Ôàêòè÷åñêè îí îáîñíîâàë äèíàìèêó è íîâûé ìåòîä ïîçíàíèÿ â ñâîåé êíèãå «Áåñåäû...» (1638).
È.Íüþòîí ïðèäàë äèíàìèêå çàêîí÷åííóþ ôîðìó. Åãî «Íà÷àëà...» ïîÿâèëèñü â 1687 ã. è ñîäåðæàëè çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ è òðè çàêîíà äâèæåíèÿ. Ïåðâàÿ êíèãà íà÷èíàåòñÿ ñ îïðåäåëåíèé èñõîäíûõ ïîíÿòèé, â ïåðâóþ î÷åðåäü — ìàññû: «Êîëè÷åñòâî ìàòåðèè åñòü ìåðà òàêîâîé, óñòàíàâëèâàåìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîòíîñòè è îáúåìó åå». Ýòî îïðåäåëåíèå êðèòèêîâàëîñü êàê áåññîäåðæàòåëüíîå, ò.ê. ïëîòíîñòü ñòàëà ïîíÿòèåì ïðîèçâîäíûì. Íî òîãäà åå ïîíèìàëè êàê «çàïîëíåííîñòü» òåëà ÷àñòèöàìè íåêîåé «ïåðâè÷íîé ìàòåðèè», êîòîðàÿ ïðè óìíîæåíèè íà îáúåì òåëà äàåò «îáùåå êîëè÷åñòâî ïåðâè÷íîé ìàòåðèè». Ïîòîìó è ìàññà — ýòî «êîëè÷åñòâî ìàòåðèè» â òåëå. Äàëåå Íüþòîí äàë îïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ mv, ïðèëîæåííîé è öåíòðîñòðåìèòåëüíîé ñèëû, àáñîëþòíîãî è îòíîñèòåëüíîãî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâà, ìåñòà òåëà, àáñîëþòíîãî è îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèé. Çàòåì ñëåäóþò òðè çàêîíà äâèæåíèÿ: çàêîí èíåðöèè; çàêîí äèíàìèêè; çàêîí ðàâåíñòâà äåéñòâèÿ è ïðîòèâîäåéñòâèÿ. Íüþòîí ïîêàçàë, èñïîëüçóÿ ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò è ññûëàÿñü íà ðåàëüíûé îïûò, ÷òî òðåòèé çàêîí ãîäèòñÿ íå òîëüêî äëÿ ñòîëêíîâåíèÿ òåë, íî è äëÿ ïðèòÿæåíèÿ.
 îñíîâå äèíàìèêè — ïðè÷èííûå çàêîíû, â ìàêðîìèðå ýòî — çàêîíû Íüþòîíà. Íüþòîí îïðåäåëèë óñêîðåíèå êàê èçìåíåíèå ñêîðîñòè â åäèíèöó âðåìåíè, êàê âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ îò ðàäèóñ-âåêòîðà, ïðîâåäåííîãî ê ìàòåðèàëüíîé òî÷êå. Îñíîâíîé çàêîí äèíàìèêè — ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ êîîðäèíàò òî÷êè êàê ôóíêöèè âðåìåíè; èíòåãðèðîâàíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåò è ñêîðîñòü, è ïðîéäåííûé ïóòü.  îòñóòñòâèå ñèë èìååò ìåñòî çàêîí èíåðöèè, óñêîðåíèå ðàâíî íóëþ.
Ïåðâûé çàêîí äèíàìèêè óòâåðæäàåò, ÷òî â îòñóòñòâèå ñèë òåëà íå ìåíÿþò ñâîåãî äâèæåíèÿ. Ýòî — çàêîí èíåðöèè. Ñìûñë çàêîíà â òîì, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè äåéñòâóþùèõ íà òåëî ñèë ñóùåñòâóåò ñèñòåìà îòñ÷åòà, ãäå ýòî òåëî ïîêîèòñÿ. Åñëè îíî ïîêîèòñÿ â îäíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, òî èìååòñÿ ìíîæåñòâî ñèñòåì îòñ÷åòà, ãäå ýòî òåëî äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Òàêèå ñèñòåìû è íàçûâàþòñÿ æåðöèàëüíûìè, â íèõ âûïîëíÿåòñÿ ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà è äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè, ñîãëàñíî
91

êîòîðîìó âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ çàêîíû ôèçèêè îäèíàêîâû.
Çàêîí èíåðöèè áûë ñôîðìóëèðîâàí è Äåêàðòîì, è Ãàëèëååì (1636). Ñóùåñòâóåò êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ, óòâåðæäàþùèé, ÷òî íèêàêèìè ìåõàíè÷åñêèìè îïûòàìè â òàêîé ñèñòåìå íåëüçÿ îïðåäåëèòü, äâèæåòñÿ ëè ñèñòåìà ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî èëè ïîêîèòñÿ. Èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà — ýòî àáñòðàêòíûå ñèñòåìû. Òàê, Çåìëÿ äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó âîêðóã Ñîëíöà, äà è ñàìî Ñîëíöå äâèæåòñÿ ïî êðèâîëèíåéíîé òðàåêòîðèè âîêðóã öåíòðà Ãàëàêòèêè è ò.ä. Áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñèñòåìà îòñ÷åòà, öåíòð êîòîðîé íàõîäèòñÿ â öåíòðå Ñîëíöà, à îñè êîîðäèíàò íàïðàâëåíû íà âûäåëåííûå çâåçäû, ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé. Ëþáàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî ãåëèîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìû, áóäåò èíåðöèàëüíîé.
Äèíàìè÷åñêîå ñâîéñòâî òåë, îïèñûâàåìîå ïåðâûì çàêîíîì, íàçûâàåòñÿ èíåðòíîñòüþ. Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ èíåðòíîñòü òåëà, — åãî ìàññà. Ïî Íüþòîíó, ìàññà — ýòî êîëè÷åñòâî âåùåñòâà â òåëå. Îïðåäåëÿþò ìàññó òåëà ñðàâíåíèåì ñ ìàññîé, ïðèíÿòîé çà ýòàëîí. Ïðè ýòîì ñëåäóåò îòâëå÷üñÿ îò âñåõ âíåøíèõ âîçäåéñòâèé, ò.å. ñ÷èòàòü òåëî êàê ñèñòåìó èçîëèðîâàííóþ. Äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ââîäÿò ïîíÿòèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû. Öåíòð ìàññ äâèæåòñÿ êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, ìàññà êîòîðîé ðàâíà ìàññå âñåé ñèñòåìû è íà êîòîðóþ äåéñòâóåò ðåçóëüòèðóþùàÿ âñåõ âíåøíèõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ñèñòåìå.
Âòîðîé çàêîí äèíàìèêè óòâåðæäàåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ìàññû òåëà íà óñêîðåíèå ðàâíî äåéñòâóþùåé ñèëå. Òàê êàê ñèëà è óñêîðåíèå — âåêòîðû, òî îíè îäèíàêîâî íàïðàâëåíû. Äèíàìè÷åñêîå âîçäåéñòâèå íà òåëî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ åãî ñêîðîñòè, ò.å. ê óñêîðåíèþ. Ñòàòè÷åñêîå âîçäåéñòâèå ñèëû âûçûâàåò äåôîðìàöèþ òâåðäûõ òåë, ñæàòèå ãàçîâ è ò. ï. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà âûðàæàåò ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå: ïî íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ (ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü òåëà) è äåéñòâóþùåé ñèëå ìîæíî îïðåäåëèòü ñîñòîÿíèå òåëà â ëþáîé ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè.
 äèíàìèêå Íüþòîíà ìàññà íå ìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì ñêîðîñòè. Ïðè äâèæåíèè ñî ñêîðîñòÿìè, ìíîãî ìåíüøèìè, ÷åì ñêîðîñòü ñâåòà, ýòî âûïîëíÿåòñÿ. Òàê êàê ïðîèçâåäåíèå ìàññû íà ñêîðîñòü åñòü èìïóëüñ Ð, âòîðîé çàêîí ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàí (è ýòèì ïîëüçîâàëñÿ ñàì Íüþòîí) — ñèëà ðàâíà èçìåíåíèþ èìïóëüñà â åäèíèöó âðåìåíè; â èçîëèðîâàííîé ñèñòåìå èìïóëüñ íå ìåíÿåòñÿ (ñîõðàíÿåòñÿ).
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìåõàíèêè îêàçàëèñü áîëåå âàæíû ìåðû äâèæåíèÿ (èìïóëüñ, ìîìåíò èìïóëüñà è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ) è ìåðû äåéñòâèÿ ñèëû (èìïóëüñ ñèëû è ðàáîòà). Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýòèìè ìåðàìè ñîñòàâëÿþò îáùèå òåîðåìû ìåõàíèêè. Èç íèõ è âûòåêàþò ôóíäàìåíòàëüíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ.
92

Òðåòèé çàêîí ñâÿçûâàåò ðàâåíñòâîì äåéñòâèå è ïðîòèâîäåéñòâèå. Îí óòâåðæäàåò, ÷òî ñèëû, ñ êîòîðûìè äåéñòâóþò äðóã íà äðóãà âçàèìîäåéñòâóþùèå òåëà, ðàâíû ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëû âîçíèêàþò ïîïàðíî, è íà êàæäîå äåéñòâèå âîçíèêàåò ïðîòèâîäåéñòâèå. Õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ íå îãîâàðèâàåòñÿ, ñèëû ìîãóò äåéñòâîâàòü íà ðàññòîÿíèè ìåæäó òåëàìè — áûòü ãðàâèòàöèîííûìè, ýëåêòðîìàãíèòíûìè èëè êîíòàêòíûìè.
Ïðèìåðîì êîíòàêòíûõ ñèë, ò. å. äåéñòâóþùèõ ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè òåë, ÿâëÿþòñÿ ñèëû ðåàêöèè. Ýòè ñèëû äåéñòâóþò ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïîâåðõíîñòè êîíòàêòà ìåæäó òåëàìè. Ïðèìåðîì êîíòàêòíûõ ñèë, íàïðàâëåííûõ ïî ïîâåðõíîñòè ñîïðèêîñíîâåíèÿ, ñëóæàò ñèëû òðåíèÿ.
Ïîíÿòèÿìè ìîìåíò ñèëû è ìîìåíò èìïóëüñà ïîëüçóþòñÿ ïðè èçó÷åíèè âðàùåíèé òåë. Îíè îïðåäåëåíû ÷åðåç îïåðàöèþ, íàçûâàåìóþ âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì*.
Ìîìåíò ñèëû åñòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå: Ì = [rF]. Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì: L = [r, mv]. Ïðè îòñóòñòâèè äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë (ñèñòåìà èçîëèðîâàíà) äåéñòâóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà äëÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ è ìîìåíòà èìïóëüñà — äëÿ âðàùàòåëüíîãî. Ìîìåíò ñèëû è ìîìåíò èìïóëüñà ñâÿçàíû ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà: Ì = dL/dt.
Òàê êàê â ïðèðîäå ñòðîãèé ïîðÿäîê, ìèð íå ìîã âîçíèêíóòü èç õàîñà, îí ñîçäàí «ïî çàìûñëó ðàçóìíîãî ñóùåñòâà». «Áóäó÷è ðàç ñîçäàííûì, ìèð ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ïî ýòèì çàêîíàì ìíîãèå âåêà».
Òðóä Íüþòîíà — íà÷àëî ðàçâèòèÿ ìåõàíèêè íà ïîäëèííî ìàòåìàòè÷åñêîé îñíîâå. Äâèæåíèå îêàçàëîñü â öåíòðå âíèìàíèÿ íå òîëüêî ìåõàíèêîâ, íî è ìàòåìàòèêîâ. È ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, çàâåðøåííûé òðóäàìè Íüþòîíà è Ëåéáíèöà, ñòàë ñîâåðøåííî íåîáõîäèì.  òå÷åíèå âåêà âîçðàñòàëà ìîùü ëîãè÷åñêîãî è ìàòåìàòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ êàê è ýìïèðè÷åñêèõ èñòîêîâ ìåõàíèêè. Ðàçâèâàþùàÿñÿ òåõíèêà íóæäàëàñü â ðåøåíèè èíæåíåðíûõ çàäà÷. Èñïîëüçîâàíèå çàêîíîâ Íüþòîíà äëÿ ýòîãî áûëî âåñüìà ãðîìîçäêî, è äèíàìèêà èíòåíñèâíî ðàçðàáàòûâàëàñü è ñîâåðøåíñòâîâàëàñü. Îñíîâíûìè âåõàìè íà ýòîì ïóòè áûëè òðóäû Ë.Ýéëåðà (1736) è «Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà» Æ.Ë.Ëàãðàíæà (1788).
*  îòëè÷èå îò ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ, âåëè÷èíà êîòîðîãî (ÀÂ) = ABcosa, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ó÷èòûâàåò è íàïðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå ïî ïðàâèëó ïðàâîé ðóêè (ñì. ðèñ. 2.6, à), êîãäà ïàëüöû ñîãíóòû â íàïðàâëåíèè îò ïåðâîãî âåêòîðà À êî âòîðîìó Â. Òîãäà áîëüøîé ïàëåö óêàæåò íàïðàâëåíèå ñàìîãî ïðîèçâåäåíèÿ, âåëè÷èíà êîòîðîãî [ÀÂ] = ABsinφ, çäåñü φ — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè. Îáû÷íî äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ èñïîëüçóþò ëèáî êðóãëûå ñêîáêè, ëèáî òî÷êó ìåæäó âåêòîðàìè, à äëÿ âåêòîðíîãî — êâàäðàòíûå ñêîáêè èëè êðåñòèê.
93

3.2. Ìàññà èíåðòíàÿ è ãðàâèòàöèîííàÿ. Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè

Ãàëèëåé â îïûòàõ ñ èñïîëüçîâàíèåì íàêëîííîé ïëîñêîñòè îòêðûë ÿâëåíèå ïàäåíèÿ âñåõ òåë íà Çåìëå ñ îäèíàêîâûì óñêîðåíèåì. Ìàññà ò ñâÿçàíà ñ âåñîì òåëà, íî âåñ çàâèñèò îò ìàññû òîãî òåëà, ê êîòîðîìó ïðèòÿãèâàåòñÿ ìàññà ò. Âåñ íå ìîæåò ñëóæèòü êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó ñèëîé è óñêîðåíèåì, ïîýòîìó ââåëè ïîíÿòèå èíåðòíîé ìàññû Ì, õàðàêòåðèçóþùåé «íåæåëàíèå» òåëà ñäâèíóòüñÿ ñ ìåñòà. Ìàññà íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ (ýòî ìíîãîêðàòíî ïðîâåðÿëîñü ýêñïåðèìåíòàëüíî) è ñ ïîãðåøíîñòüþ äî 10-9 ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé. ( îòëè÷èå îò âåêòîðíîé, êàæäîå çíà÷åíèå ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû ìîæíî âûðàçèòü îäíèì, äåéñòâèòåëüíûì, ÷èñëîì, à ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé èçîáðàçèòü íà ëèíåéíîé øêàëå — òàêîâû äëèíà, ïëîùàäü, âðåìÿ è ò.ä.)
Íüþòîí ñâÿçàë ïîíÿòèÿ ìàññû è âåñà òåëà. Îí ïðåäïîëîæèë, ÷òî Ëóíà ïàäàåò íà Çåìëþ òàê æå, êàê êàìåíü èëè ÿáëîêî, íî ñ óñêîðåíèåì âî ñòîëüêî ðàç ìåíüøèì, âî ñêîëüêî êâàäðàò çåìíîãî ðàäèóñà ìåíüøå êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó öåíòðàìè Çåìëè è Ëóíû. Ãèïîòåçà çàâèñèìîñòè ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó òî÷å÷íûìè ìàññàìè îò êâàäðàòà ðàññòîÿíèé âîçíèêëà èç ãåîìåòðè÷åñêîé àíàëîãèè. Ïîñêîëüêó Ëóíà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè r îò Çåìëè â 60 çåìíûõ ðàäèóñîâ R, à ïåðèîä åå îáðàùåíèÿ Ò = 27,3 ñóò = 2,36 • 106 ñ, Íüþòîí îöåíèë îòíîøåíèå óñêîðåíèé Ëóíû Wcè êàìíÿ gêàê 1/3600. Òàê êàê g = 9,8 ì/ñ2, öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå Ëóíû

ò.å. gïðèìåðíî â 602ðàç áîëüøå óñêîðåíèÿ Ëóíû. Èòàê, ñèëà òÿãîòåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû Çåìëè íà ÿáëîêî èëè êàìåíü, íàõîäÿùèéñÿ íà îðáèòå Ëóíû, óìåíüøèòñÿ â 3600 ðàç, ÷òî è ñîîòâåòñòâóåò îòíîøåíèþ êâàäðàòîâ ðàññòîÿíèé. Çíà÷èò, ñèëà òÿãîòåíèÿ ìåæäó äâóìÿ òåëàìè äîëæíà óáûâàòü îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè.  ðàñ÷åòàõ ïðèíÿòî, ÷òî íåáåñíûå òåëà âçàèìîäåéñòâóþò òàê, êàê áóäòî âñÿ èõ ìàññà ñîñðåäîòî÷åíà â öåíòðå ìàññ. Äîêàçàòü ýòî ñòðîãî Íüþòîí ñóìåë ëèøü ÷åðåç 20 ëåò ñ ïîìîùüþ ñîçäàííîãî èì èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.
Íüþòîí çàïèñàë óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè è ïðîâåðèë ðåøåíèå â âèäå ýëëèïòè÷íûõ òðàåêòîðèé äëÿ áîëüøîãî êëàññà íà÷àëüíûõ óñëîâèé è íå î÷åíü áîëüøèõ ñêîðîñòåé. Òàê îí ïîäòâåðäèë ïðåäëîæåííóþ Ð. Ãóêîì ãèïîòåçó îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ñèëû òÿãîòåíèÿ îò êâàäðàòà ðàññòîÿíèé. Íà êàìåíü âíóòðè Çåìëè âíåøíèå ñëîè íå äåéñòâóþò èëè ïîëå âíóòðè îäíîðîäíîé ñôåðû ðàâíî íóëþ, ïîýòîìó îäíîðîäíûé øàð (èëè øàðîâîé ñëîé) ïðèòÿãèâàåò òî÷êè âíåøíåé îáëàñòè òàê æå, êàê åñëè áû âñÿ åãî ìàññà áûëà ñîñðåäîòî÷åíà
94

â öåíòðå øàðà. Åñëè æå èíòåðåñîâàòüñÿ ñèëîé, êîòîðàÿ äåéñòâóåò âíóòðè Çåìëè èëè äðóãîãî òåëà ñ ðàñïðåäåëåííîé ìàññîé, òî çàâèñèìîñòü îò ðàññòîÿíèÿ áóäåò èíîé.
Íüþòîí ïðîâåë ñåðèþ îïûòîâ ñ ìàÿòíèêàìè ðàçíîé ìàññû äëÿ ïîâòîðåíèÿ îïûòîâ X. Ðåíà è Ý. Ìàðèîòòà ïî óäàðó è óáåäèëñÿ, ÷òî ñâèíöîâûé è äåðåâÿííûé øàðû ïàäàþò ñ îäèíàêîâûìè óñêîðåíèÿìè. Çåìëÿ îäèíàêîâî äåéñòâóåò íà îáà øàðà. Íî åñëè äåéñòâèå èçìåðÿòü íå óñêîðåíèåì, à ñèëîé, óäåðæèâàþùåé øàðû â ðàâíîâåñèè íà âåñàõ, òî åå âëèÿíèå íà ñâèíöîâûé øàð áóäåò áîëüøå, ÷åì íà äåðåâÿííûé. Òàêîå âëèÿíèå Çåìëè íà êàæäîå òåëî ìîæíî âûðàæàòü òÿæåñòüþ, èçìåðåííîé íà âåñàõ, ïóòåì ñðàâíåíèÿ ñ òÿæåñòüþ òåëà, ïðèíÿòîé çà åäèíèöó. È îí ââåë ïîíÿòèå ñèëû F = MWêàê ìåðû äåéñòâèÿ îäíîãî òåëà íà äðóãîå, îòîæäåñòâëÿÿ âåñ ñ ñèëîé äåéñòâèÿ, îêàçûâàåìîãî íà íåãî Çåìëåé. Äàëåå Íüþòîí óêàçàë, ÷òî, åñëè áû âîêðóã Çåìëè âðàùàëîñü íåñêîëüêî ëóí, òî âñå îíè äâèãàëèñü áû ïîä äåéñòâèåì àíàëîãè÷íîé ñèëû è èõ äâèæåíèå îïðåäåëÿëîñü áû çàêîíàìè Êåïëåðà. Çàòåì Íüþòîí ïåðåøåë ê èçó÷åíèþ äðóãèõ ïëàíåò è ïëàíåòíûõ ñèñòåì (ýòî îïðåäåëåíèå îí ââåë ïîñëå îòêðûòèÿ ñïóòíèêîâ ó Þïèòåðà è Ñàòóðíà), ñ÷èòàÿ, ÷òî ñèëû òÿãîòåíèÿ äîëæíû èìåòü îäíó ïðèðîäó è ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, è â êîñìîñå. Ïðèçíàíèå ìàòåðèàëüíîãî åäèíñòâà ìèðà — ðåçóëüòàò êîïåðíèêàíñêîé ðåâîëþöèè. Åñëè íåò ðàçëè÷èÿ ìåæäó çåìíûì è íåáåñíûì è çàêîíû åäèíû äëÿ âñåé Âñåëåííîé, òî èõ ìîæíî èçó÷àòü è íà Çåìëå. Êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ â çíàìåíàòåëå îòðàæàåò åâêëèäîâó ìåòðèêó ïðîñòðàíñòâà. Òî åñòü â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ïîâåðõíîñòü ñôåðû ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ðàäèóñà.
Ïî Êîïåðíèêó, ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî è èçîòðîïíî, â íåì íåò âûäåëåííûõ íàïðàâëåíèé è òî÷åê.  ïðîñòðàíñòâå — åâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ, è ôèçè÷åñêèì äåéñòâèåì îáëàäàþò òîëüêî òå òî÷êè, â êîòîðûõ ñîñðåäîòî÷åíà ìàòåðèÿ. Ïîýòîìó íà Çåìëå òåëà ïàäàþò â íàïðàâëåíèè íå ãåîìåòðè÷åñêîãî öåíòðà ìèðà (ó íåãî — ýòî öåíòð Ñîëíöà), à ìàòåðèàëüíîãî öåíòðà Çåìëè. Ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ äðóãèõ íåáåñíûõ òåë — â ýòîì êîïåðíèêàíñêèé ïðèíöèï óíèâåðñàëüíîé ãðàâèòàöèè êàê ôóíêöèè ìàññû òåë.
Èíåðòíàÿ ìàññà îïðåäåëåíà äèíàìè÷åñêè: ïðèêëàäûâàåòñÿ èçâåñòíàÿ ñèëà, èçìåðÿåòñÿ óñêîðåíèå è èç ôîðìóëû F = MWâûâîäèòñÿ ìàññà Ì.  çàêîíå òÿãîòåíèÿ ãðàâèòàöèîííóþ ìàññó îïðåäåëÿþò ñòàòè÷åñêè: èçìåðÿþò ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ òåëàìè, ðàñïîëîæåííûìè íà îïðåäåëåííîì ðàññòîÿíèè. Ó Íüþòîíà ìàññà — åäèíñòâåííàÿ ïðè÷èíà ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ãàëèëåé ïðèøåë ê âûâîäó î ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ãðàâèòàöèîííîé ò è èíåðòíîé Ì ìàññ, áóäòî áû ñáðàñûâàÿ òåëà ñ âûñîòû.
Íüþòîí íå îáúÿñíèë ïðè÷èíó ýòîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè; îíà ñëåäóåò èç îïûòîâ Ãàëèëåÿ: âñå òåëà íà Çåìëå ïàäàþò ñ îäèíàêîâûì óñêîðåíèåì. Òîò ôàêò, ÷òî íèêîãäà íå áûëî îáíàðóæåíî ðàç-
95

ëè÷èÿ èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ, íàâîäèò íà ìûñëü, ÷òî òÿãîòåíèå ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòíî óñêîðåíèþ. Ýéíøòåéí èñòîëêîâàë ýòîò ýôôåêò êàê èñòèííóþ ïðèðîäó òÿãîòåíèÿ è ïîëîæèë åãî â îñíîâó ÎÒÎ, âîçâåäÿ ðàâåíñòâî ìàññ â ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè.  ñîîòâåòñòâèè ñ íèì, äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ñâîáîäíî ïàäàþùåì ëèôòå çàêîíû ôèçèêè òàêèå æå, êàê è â èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ÑÒÎ — äåéñòâèÿ óñêîðåííîãî äâèæåíèÿ è ñèëû òÿæåñòè ïîëíîñòüþ âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ. «Íåâåñîìîñòü» ÷åëîâåêà â ñïóòíèêå — ïðîÿâëåíèå ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè. À ïîèñêè ñëåäñòâèé èç ýòîãî ïðèíöèïà ïðèâîäÿò ê ÎÒÎ. Åñëè òåëî âûäåëÿåò ýíåðãèþ Å â ôîðìå èçëó÷åíèÿ, òî åãî ìàññà óìåíüøàåòñÿ íà Å/ñ2. Ìàññà îòðàæàåò òî, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ïðåâðàùåíèè òåë èç îäíîãî àãðåãàòíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå.

3.3. Äâèæåíèÿ ïëàíåò è çàêîíû Êåïëåðà

Âîêðóã Ñîëíöà âðàùàþòñÿ äåâÿòü êðóïíûõ ïëàíåò: Ìåðêóðèé, Âåíåðà, Çåìëÿ, Ìàðñ, Þïèòåð, Ñàòóðí, Óðàí, Íåïòóí, Ïëóòîí. Ïîñëåäíèå òðè ïëàíåòû íå âèäíû íåâîîðóæåííûì ãëàçîì, è îíè áûëè îòêðûòû íåäàâíî — â 1783, 1846 è 1930 ãã. ñîîòâåòñòâåííî. Íåäàâíî áûëà îòêðûòà äåñÿòàÿ ïëàíåòà Ñåäíà, êîòîðóþ ïðè÷èñëèëè ê áîëüøèì ïëàíåòàì, õîòÿ ïî ñâîèì õàðàêòåðèñòèêàì îíà áîëüøå ïîäõîäèò ê àñòåðîèäàì ïîëîñû Ýäãåâîðòà—Êóïåðà (îò 30 äî 100 à. å. îò Ñîëíöà). È. Êåïëåð, âåëèêèé íåìåöêèé àñòðîíîì è ìàòåìàòèê, îòêðûë òðè çàêîíà äâèæåíèÿ ïëàíåò. Ïåðâûå äâà áûëè ïîëó÷åíû íà îñíîâå èññëåäîâàíèÿ äâèæåíèÿ Ìàðñà ïî íàáëþäåíèÿì Òèõî Áðàãå è îïóáëèêîâàíû â 1609 ã.
Êåïëåð óñòàíîâèë, ÷òî îðáèòà Ìàðñà íå îêðóæíîñòü, à ýëëèïñ, â îäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå. Òàêàÿ æå çàêîíîìåðíîñòü îêàçàëàñü è äëÿ äâèæåíèÿ äðóãèõ ïëàíåò. Ýòî è åñòü ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà (ðèñ. 3.1, à). Áîëüøàÿ ïîëóîñü À ýëëèïñà ðàâíà ïîëóñóììå (PF+ PS) ðàññòîÿíèé îò ëþáîé òî÷êè ýëëèïñà äî åãî ôîêóñîâ Fè S. Ýêñöåíòðèñèòåò ýëëèïñà ðàâåí îòíîøåíèþ OS/OB. Íàèáîëåå âûòÿíóòûå îðáèòû ó êîìåò. Ýëëèïòè÷íîñòü íàèáîëåå çàìåòíà ó Ìåðêóðèÿ (åãî ýêñöåíòðèñèòåò å = 0,21) è Ïëóòîíà (å = 0,25). Äëÿ Çåìëè å = 0,017, ò.å. îðáèòà Çåìëè ïî÷òè îêðóæíîñòü (149,6 ìëí êì): â ÿíâàðå îíà íà 2,5 ìëí êì áëèæå ê Ñîëíöó, à â èþëå íà òî æå ðàññòîÿíèå äàëüøå.
Âòîðîé çàêîí Êåïëåðà: êàæäàÿ ïëàíåòà äâèæåòñÿ ïî ñâîåé îðáèòå òàê, ÷òî åå ðàäèóñ-âåêòîð SPîïèñûâàåò çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ðàâíûå ïëîùàäè (ðèñ. 3.1, á). Ïàðû òî÷åê Ð1 Ð2è Ð3, Ð4âûáðàíû òàê, ÷òî îòðåçêè äóã ïëàíåòà ïðîõî-
äèò çà îäèíàêîâîå âðåìÿ.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷åì áëèæå ïëàíåòà ê Ñîëíöó, òåì áîëüøå ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïî îðáèòå. Òàê, Ìàðñ âáëèçè ïåðèãåëèÿ äâèæåòñÿ
96

ñî ñêîðîñòüþ 26,5 êì/ñ, à âáëèçè àôåëèÿ — 22 êì/ñ. Ñêîðîñòè êîìåò ìåíÿþòñÿ îò 500 äî 1 êì/ñ. Çåìëÿ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 29 êì/ñ, ïðè÷åì â ÿíâàðå íåñêîëüêî áûñòðåå.
Òðåòèé çàêîí äâèæåíèÿ ïëàíåò Êåïëåðà (1618) ãëàñèò: îòíîøåíèå êóáîâ áîëüøèõ ïîëóîñåé îðáèò äâóõ ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ðàâíî îòíîøåíèþ êâàäðàòîâ ïåðèîäîâ èõ îáðàùåíèÿ âîêðóã Ñîëíöà. Ýòîò çàêîí ïîçâîëèë îöåíèòü ðàçìåðû Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Äëÿ êðóãîâûõ îðáèò ýòî îçíà÷àëî, ÷òî

Íüþòîí ïðè ôîðìóëèðîâêå çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ èñïîëüçîâàë ýòè çàêîíû. Îí ñóìåë ïîêàçàòü, ÷òî îíè âûïîëíÿþòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè ñèëû, äåéñòâóþùèå ìåæäó òÿãîòåþùèìè òåëàìè, ïðîïîðöèîíàëüíû çàêîíó îáðàòíûõ êâàäðàòîâ, à ìàññû ñîñðåäîòî÷åíû â öåíòðå ìàññ. Íüþòîí ìàòåìàòè÷åñêè äîêàçàë, ÷òî òåëî ìàññû ò áóäåò äâèãàòüñÿ îòíîñèòåëüíî òåëà Ì ïî îäíîé èç êðèâûõ — ýëëèïñó, ïàðàáîëå èëè ãèïåðáîëå. Ýòè êðèâûå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïåðåñåêàÿ êîíóñ ïëîñêîñòÿìè ïîä ðàçíûìè óãëàìè. Ïîýòîìó èõ íàçûâàþò êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè. Òàê ÷òî Íüþòîí îáîáùèë I çàêîí Êåïëåðà.
Òðåòèé çàêîí Êåïëåðà ñîîòâåòñòâîâàë åãî ïðåäñòàâëåíèÿì î ãàðìîíèè è ôèçè÷åñêîé ïðè÷èííîñòè, âûðàæàÿ ñâÿçü ìåæäó ìãíîâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìåíÿþùèõñÿ âåëè÷èí. Òàê â XVII â. ôàêòè÷åñêè áûë ñäåëàí ïåðâûé øàã ê ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Êåïëåð ïîíèìàë, ÷òî îòêðûòûå èì ÷èñëåííûå çàêîíîìåðíîñòè ìîãóò ñòàòü îñíîâîé íîâîé íåáåñíîé ìåõàíèêè, íî íå çíàë ïðè÷èíû èìåííî òàêîãî äâèæåíèÿ ïëàíåò. Îí ñ÷èòàë î÷åâèäíûì, ÷òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïëàíåòû, äîëæíà ìåíÿòüñÿ ñ ðàññòîÿíèåì ïî çàêîíó îáðàòíûõ êâàäðàòîâ, è èñõîäèë èç âíåøíåé àíàëîãèè ñî ñâåòîì, èíòåíñèâíîñòü êîòîðîãî ìåíÿåòñÿ êàê 1/r2. Çàêîíû Êåïëåðà ïîäõîäÿò è äëÿ îêðóæíîñòåé, ïîñêîëüêó îðáèòû ïëàíåò âûòÿíóòû î÷åíü ìàëî.
97

Âðàùåíèå — îäíî èç îñíîâíûõ âèäîâ äâèæåíèÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ, è åìó òàêæå ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííàÿ ýíåðãèÿ. Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè ñêîðîñòü v ðàâíà äëèíå îêðóæíîñòè äåëåííîé íà ïåðèîä Ò, ò.å. íà âðåìÿ îäíîãî îáîðîòà. Îòñþäà äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîëó÷èì

Ãðàâèòàöèÿ — èñòî÷íèê öåíòðîñòðåìèòåëüíîé ñèëû äëÿ íåáåñíûõ òåë. Ïðèðàâíèâàÿ ýòè äâå ñèëû, ìîæíî ïîëó÷èòü âàæíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïåðèîäîì Ò è ðàäèóñîì âðàùåíèÿ rïëàíåòû èëè ñïóòíèêà: Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà -m,
ïîëó÷èì: Ïåðåíåñåì çàâèñèìîñòü îò ã â ëåâóþ
÷àñòü: è èçáàâèìñÿ îò äðîáåé: Îòñþ-
äà: Òàê ìû ïðèøëè ê òðåòüåìó çàêîíó Êåïëåðà
äëÿ äâèæåíèÿ ïëàíåò: — êóáû ðàäèóñîâ (èëè áîëüøèõ ïî-
ëóîñåé) îðáèò îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû ïåðèîäîâ.
Èòàê, çàêîí òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà ñâÿçàí ñ çàêîíàìè Êåïëåðà, ïîëó÷åííûìè èç íàáëþäåíèé çà äâèæåíèåì ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Çàêîí òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà è çàêîíû Êåïëåðà ïðèãîäíû äëÿ äâèæåíèé ïîä äåéñòâèåì òÿãîòåíèÿ â çàäà÷å äâóõ òåë, ãäå îäíî ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì, à âòîðîå âðàùàåòñÿ âîêðóã íåãî ïî ýëëèïñó èëè îêðóæíîñòè.
Óñëîâèåì äâèæåíèÿ ñïóòíèêà ïî êðóãîâîé îðáèòå (1-ÿ êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü) ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî ñèëû òÿãîòåíèÿ è öåíòðîñòðåìèòåëüíîé ñèëû. Ýòî ïðàâèëî âõîäèò â çàêîíû ïëàíåòíûõ äâèæåíèé: êâàäðàòû ïåðèîäîâ îòíîñÿòñÿ êàê êóáû áîëüøèõ ïîëóîñåé (ðàäèóñîâ). Óñëîâèåì äëÿ îòðûâà ðàêåòû îò Çåìëè è âûõîäà íà ïàðàáîëè÷åñêóþ (íåçàìêíóòóþ) òðàåêòîðèþ (2-ÿ êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü) ìîæåò ñëóæèòü ðàâåíñòâî êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé ãðàâèòàöèè.
Ïðè ïðèòÿæåíèè òåëà Çåìëåé Â 1798 ã.
àíãëèéñêèé ôèçèê è õèìèê Ãåíðè Êàâåíäèø èçìåðèë Gñ ïîìîùüþ òî÷íûõ êðóòèëüíûõ âåñîâ (ïðèòÿæåíèå äâóõ òåë èçìåðÿëîñü ïî óãëó çàêðó÷èâàíèÿ íèòè, êîòîðûé ðåãèñòðèðîâàëñÿ îòðàæåííûì ñâåòîâûì ëó÷îì) è ïîëó÷èë çíà÷åíèå 6,67-10-11 Í ì2/êã2.

3.4. Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ

Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà ìíîãèå íå ïðèíèìàëè êàê íå ñîîòâåòñòâóþùèé çäðàâîìó ñìûñëó, êàê òåîðèþ äåéñòâèÿ íà ðàññòîÿíèè. X. Ãþéãåíñ ðàçâèâàë òåîðèþ áëèçêîäåéñòâèÿ, ãèäðîäèíàìè÷åñêóþ ìîäåëü âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòè, ïîäîáíóþ âèõðÿì Äåêàðòà. Ýòîé ìîäåëè ïðèäåðæèâàëñÿ è Ã.Ëåéáíèö êàê áîëåå íàãëÿäíîé â îáúÿñíåíèè âîçäåéñòâèÿ òåë. Ñòðàñòíûì ïðîïàãàíäè-
98

ñòîì òåîðèè òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà ñòàë Âîëüòåð. Åãî ïîïóëÿðíàÿ êíèãà «Ýëåìåíòû ó÷åíèÿ Íüþòîíà» (1738) ñûãðàëà áîëüøóþ ðîëü â èçìåíåíèè îáùåñòâåííîãî è íàó÷íîãî ìèðîâîççðåíèÿ âî Ôðàíöèè. Êðèòåðèåì ïðîâåðêè çàêîíà òÿãîòåíèÿ íà Çåìëå, è ñòàëà ôîðìà Çåìëè. Ïî âèõðåâîé ìîäåëè íàøà ïëàíåòà äîëæíà áûëà áûòü âûòÿíóòà ó ïîëþñîâ, à ïî òåîðèè Íüþòîíà — ñïëþñíóòà.
Äëÿ óòî÷íåíèÿ ôîðìû Çåìëè áûëè îðãàíèçîâàíû ýêñïåäèöèè â Ïåðó è Ëàïëàíäèþ (1735, 1736—1737). Ï. Ìîïåðòþè, ðóêîâîäèâøèé ýêñïåäèöèåé íà ñåâåð, ïîêàçàë ñïëþñíóòîñòü Çåìëè ó ïîëþñîâ.  ýòîé ýêñïåäèöèè ïðèíèìàë ó÷àñòèå À. Êëåðî. Ïîñëå îáðàáîòêè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ îí îïóáëèêîâàë êíèãó «Òåîðèÿ ôèãóðû Çåìëè», ïîñòðîåííóþ íà îñíîâå ãèäðîñòàòè÷åñêîé ìîäåëè ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ. Êëåðî ïðåäïîëîæèë, ÷òî Çåìëÿ ðàíåå áûëà æèäêîé, åå ÷àñòèöû âçàèìîäåéñòâîâàëè äðóã ñ äðóãîì ïî çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, è âñÿ ìàññà ìåäëåííî âðàùàëàñü âîêðóã îñè. Ýòà ðàáîòà èìåëà îãðîìíîå çíà÷åíèå äëÿ ãåîäåçèè è òåîðèè Çåìëè.
Òåì ñàìûì òåîðèÿ òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà ïîëó÷èëà ïîäòâåðæäåíèå íà Çåìëå. Ýòî íàíåñëî óäàð ïî âçãëÿäàì ó÷åíûõ, êîòîðûå ñ÷èòàëè, ÷òî âñå ïðîöåññû ôèçè÷åñêîãî ìèðà äîëæíû ïðåäñòàâëÿòüñÿ íàãëÿäíî. Ñîëíå÷íàÿ ñèñòåìà ó Íüþòîíà — ãèãàíòñêèé ìåõàíèçì, â êîòîðîì ãðàâèòàöèÿ óïðàâëÿåò äâèæåíèåì âñåõ åãî ýëåìåíòîâ. Íî, èçó÷àÿ äâèæåíèå êîíêðåòíîé ïëàíåòû, íåëüçÿ íå ó÷èòûâàòü âîçäåéñòâèå äðóãèõ ïëàíåò è èõ ñïóòíèêîâ, õîòÿ îíî è ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðèòÿæåíèåì Ñîëíöà. Åãî íàçûâàþò âîçìóùåíèåì, èëè ïåðòóðáàöèåé (îò ëàò. perturbatio— ðàññòðîéñòâî, ñìÿòåíèå). Àíãëèéñêèé àñòðîíîì è ãåîôèçèê Ý. Ãàëëåé, èçó÷àÿ ìàòåðèàëû íàáëþäåíèé, îáðàòèë âíèìàíèå íà ñõîäñòâî îðáèò êîìåò â 1456, 1531, 1607, 1682 ãã. è ïåðèîäè÷íîñòü èõ ïîÿâëåíèÿ (îêîëî 76 ëåò). Îí çàêëþ÷èë, ÷òî ýòî áûëà îäíà è òà æå êîìåòà, è ïðåäñêàçàë åå âîçâðàùåíèå â 1758 ã. (ðèñ. 3.2). Íî èç-çà âîçìóùàþùåãî äåéñòâèÿ Þïèòåðà è Ñàòóðíà êîìåòà Ãàëëåÿ ïîÿâèëàñü òîëüêî â ñëåäóþùåì ãîäó ïî÷òè â òî÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñ÷åòàìè Êëåðî (îí îøèáñÿ òîëüêî íà 19 äíåé!). Ïðåäñêàçàíèå âîçâðàùåíèÿ êîìåòû ñòàëî ïåðâîé óáåäèòåëüíîé ïîáåäîé òåîðèè Íüþòîíà. Êëåðî ïðîâåðèë òåîðèþ Íüþòîíà è ïî äâèæåíèÿì Ëóíû. Îí ñîñòàâèë òî÷íûå ëóííûå òàáëèöû è ïî ñâîèì ðàçðàáîòêàì íàïèñàë êíèãó «Òåîðèÿ äâèæåíèÿ Ëóíû» (1751).
Áëèçîñòü Ëóíû ê Çåìëå (îêîëî 400 òûñ. êì) ïîçâîëÿëà ïðîâåñòè èçìåðåíèÿ äîñòàòî÷íî òî÷íî. Åùå â 1693 ã. Ãàëëåé çàìåòèë, ÷òî ñîâðåìåííûå åìó äàííûå ïî îðáèòå Ëóíû ðàñõîäÿòñÿ ñ äðåâíèìè íàáëþäåíèÿìè òàê, áóäòî ðàäèóñ îðáèòû óìåíüøàåòñÿ çà ñòîëåòèå íà 10". Ýéëåð ñâÿçàë óñêîðåíèå ñ òîðìîæåíèåì â îêðóæàþùåé ñðåäå, à íå ñ òÿãîòåíèåì, Ëàïëàñ — ñ ìàëûìè èçìåíåíèÿìè âûòÿíóòîñòè çåìíîé îðáèòû èç-çà ïëàíåòíûõ âîçìóùåíèé. Èõ îáúÿñíåíèÿ (1787) âåðíû òîëüêî îò÷àñòè: òàêèå êîëåáàíèÿ ñóùåñòâóþò, âûçûâàÿ íàñòóïëåíèÿ ëåäíèêîâ, òàê êàê çà äåñÿòêè òûñÿ÷ ëåò
99

øèðîòà ìåñòíîñòè ìîæåò èçìåíèòüñÿ. Íî, êðîìå ýòîãî, åñòü åùå óñêîðåíèå Ëóíû, âûçâàííîå ïðèëèâàìè. Ýòîò ýôôåêò êàæóùèéñÿ, à ïðè÷èíà — çàìåäëåíèå âðàùåíèÿ Çåìëè èç-çà ïðèëèâíîãî òðåíèÿ. Îöåíêà ýôôåêòà äàåò çà 1 ìëðä ëåò óäâîåíèå ñóòîê è óäàëåíèå Ëóíû îò Çåìëè íà ðàññòîÿíèå äî 600 òûñ. êì.
Äðóãîå ÿâëåíèå, ïîçâîëÿâøåå óñîìíèòüñÿ â ïðèãîäíîñòè çàêîíà Íüþòîíà, áûëî ðàíåå çàìå÷åííîå íåêîòîðîå óñêîðåíèå äâèæåíèÿ Þïèòåðà è çàìåäëåíèå äâèæåíèÿ Ñàòóðíà (Êåïëåð, 1625; Ãàë-ëåé, 1695). Îíî äîëæíî áû çà äîëãèå ìèëëèîíû ëåò ðàçðóøèòü Ñîëíå÷íóþ ñèñòåìó, íî ýòîãî íå ïðîèçîøëî. Àíàëèç ïëàíåòíûõ âîçìóùåíèé ïðèâåë Ëàãðàíæà (1776) è Ëàïëàñà (1784) ê òåîðåìå óñòîé÷èâîñòè Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû: âçàèìíûå âîçìóùåíèÿ ïëàíåò, äâèæóùèõñÿ ïî ïî÷òè êðóãîâûì îðáèòàì ïðèìåðíî â îäíîé ïëîñêîñòè è â îäíó ñòîðîíó, ïðèâîäÿò ëèøü ê ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèì êîëåáàíèÿì ýêñöåíòðèñèòåòîâ è íàêëîíåíèé âáëèçè íóëÿ, òîãäà êàê ðàññòîÿíèÿ äî Ñîëíöà êîëåáëþòñÿ âáëèçè ñâîèõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé. Èëè — áîëüøèå îñè êåïëåðîâñêèõ ýëëèïñîâ íå èñïûòûâàþò âåêîâûõ âîçìóùåíèé. Ýòà òåîðåìà äîêàçàíà Ëàïëàñîì äëÿ ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà âîçìóùåíèé. Âçàèìíûå âîçìóùåíèÿ Þïèòåðà è Ñàòóðíà ñóùåñòâóþò, è èõ çíà÷åíèÿ êîëåáëþòñÿ ñ ïåðèîäîì â 900 ëåò. Çà 450 ëåò íàêîïëåíèÿ âîçìóùåíèé ýòà âåëè÷èíà ñîñòàâëÿåò ìåíüøå îäíîãî ãðàäóñà.
Ñàìûì óáåäèòåëüíûì ïîäòâåðæäåíèåì íüþòîíîâà çàêîíà òÿãîòåíèÿ â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå ÿâèëîñü îòêðûòèå «íà êîí÷èêå ïåðà» åùå îäíîé ïëàíåòû, íàçâàííîé Íåïòóíîì. Îòêðûòèå ýòîé ïëàíå-
100

òû — òðèóìô íàóêè è, êîíå÷íî, çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ãðàíèöû Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ðàñøèðèëèñü ïî÷òè âäâîå.
 1781 ã. Ó. Ãåðøåëü îòêðûë íîâóþ ïëàíåòó Óðàí. Äëÿ íåå áûëè âû÷èñëåíû ýëåìåíòû îðáèòû è ñîñòàâëåíû òàáëèöû äâèæåíèÿ. Íî çàìåòèëè, ÷òî Óðàí â ñâîåì äâèæåíèè îòêëîíÿåòñÿ îò ðàññ÷èòàííîãî ïî çàêîíó Íüþòîíà: çà òðè ãîäà — íà 2' ïðè ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé â äîëè ñåêóíä. Ôðàíöóçñêèé àñòðîíîì Ó. Ëåâåðüå ïðåäïîëîæèë, ÷òî ýòî îòêëîíåíèå âûçâàíî âëèÿíèåì íåèçâåñòíîé ïëàíåòû, íàõîäÿùåéñÿ äàëüøå Óðàíà, è ñäåëàë ðàñ÷åò åå îðáèòû. Ëåâåðüå ñîîáùèë ðåçóëüòàòû â ïèñüìå îò 18 ñåíòÿáðÿ 1846 ã. áåðëèíñêîìó àñòðîíîìó Ãàëëå, êîòîðûé èìåë çâåçäíûå êàðòû, ñîäåðæàâøèå ñëàáûå çâåçäû. Ãàëëå îáíàðóæèë â óêàçàííîì ìåñòå ñëàáóþ çâåçäî÷êó 8-é âåëè÷èíû, êîòîðîé íà êàðòàõ íå áûëî. ×åðåç äåíü îíà ïåðåìåñòèëàñü îòíîñèòåëüíî áëèæàéøèõ çâåçä, à â áîëåå ñèëüíûé òåëåñêîï óäàëîñü ðàçãëÿäåòü ìàëåíüêèé äèñê. Ýòî áûëà ïðåäâû÷èñëåííàÿ ïî çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ íîâàÿ ïëàíåòà Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Åå ïîëîæåíèå íà íåáå îòëè÷àëîñü îò ïðåäñêàçàííîãî ðàñ÷åòîì Ëåâåðüå âñåãî íà 52".  ýòî æå âðåìÿ àíãëèéñêèé ñòóäåíò Äæ.Àäàìñ, âïîñëåäñòâèè èçâåñòíûé àñòðîíîì, íåçàâèñèìî îò Ëåâåðüå ïðîäåëàë íóæíûå ðàñ÷åòû, ïîýòîìó ó ýòîãî ïðåäñêàçàíèÿ äâà àâòîðà, õîòÿ îôèöèàëüíî ïðèçíàí ïåðâûé. Ïîçæå áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî â çàðèñîâêàõ Ãàëèëååì âèäèìîãî â åãî òåëåñêîï ó÷àñòêà íåáà åñòü ñëàáåíüêàÿ çâåçäî÷êà, êîòîðóþ îí íå äîãàäàëñÿ ïðèíÿòü çà íîâóþ íåèçâåñòíóþ ïëàíåòó.
Ïëàíåòà Ïëóòîí áûëà îòêðûòà 21 ÿíâàðÿ 1930 ã. Åå îðáèòà âûòÿíóòà ñòîëü ñèëüíî, ÷òî çàõîäèò äàæå âíóòðü îðáèòû Íåïòóíà, êàê áûëî â òå÷åíèå 20 ëåò (1979 — 1999).
Ñìåùåíèå ïåðèãåëèÿ Ìåðêóðèÿ, îáíàðóæåííîå îêîëî âåêà íàçàä, íå óäàâàëîñü îáúÿñíèòü ïî çàêîíó Íüþòîíà. Âåäü ýëëèïòè÷åñêèå îðáèòû ïëàíåò íå äîëæíû ìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì, è áëèæàéøàÿ ê Ñîëíöó òî÷êà îðáèòû — ïåðèãåëèé — íå äîëæíà ñìåùàòüñÿ ïî îòíîøåíèþ ê íåïîäâèæíûì çâåçäàì. Íî ïåðèãåëèé ïðå-öåññèðîâàë ñ ìàëîé ñêîðîñòüþ, è îðáèòà íàïîìèíàëà ïîâîðà÷èâàþùèéñÿ ýëëèïñ — íå ó÷èòûâàåìûé ýôôåêò — 43" â 100 ëåò. Ñàìî èçìåðåíèå ñòîëü ìàëîé âåëè÷èíû ñ òàêîé ïîãðåøíîñòüþ — òîæå áîëüøîå äîñòèæåíèå (ïîãðåøíîñòü ìåíåå 1 %).
Ïîäîçðåâàëè, ÷òî åñòü åùå îäíà ïëàíåòà, âîçìóùàþùàÿ îðáèòó Ìåðêóðèÿ, åå äàæå óñëîâíî íàçâàëè Âóëêàíîì, íî íå íàøëè. Ïîÿâèëîñü ìíåíèå, ÷òî çàêîí òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà íåòî÷åí. «Ïîäïðàâèë» åãî â 1915 ã. À. Ýéíøòåéí: ñìåùåíèå ïåðèãåëèÿ ïëàíåòû Ìåðêóðèé óäàëîñü îáúÿñíèòü òîëüêî â ðàìêàõ ÎÒÎ (îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè). Ýòè ïîïðàâêè èãðàþò ðîëü òîëüêî âáëèçè áîëüøèõ òÿãîòåþùèõ ìàññ.
Ïî ÎÒÎ, ïåðèãåëèè îðáèò ïðè êàæäîì îáîðîòå ïëàíåòû âîêðóã Ñîëíöà äîëæíû ïåðåìåùàòüñÿ íà äîëþ îáîðîòà, ðàâíóþ 3 (v/c)2. Äëÿ ïåðèãåëèÿ Ìåðêóðèÿ ïîëó÷àåòñÿ 43", óãîë ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ çà ñòî ëåò ñîñòàâëÿåò 42,91". Ýòà âåëè÷èíà ñîîòâåòñòâóåò îáðàáîòêå íà-
101

áëþäåíèé çà Ìåðêóðèåì ñ 1765 ïî 1937 ã. Òàê áûëà îáúÿñíåíà ïðåöåññèÿ ïåðèãåëèÿ îðáèòû Ìåðêóðèÿ. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ çàêîí Íüþòîíà äàåò õîðîøèå ðåçóëüòàòû, íî äëÿ áîëüøèõ ñêîðîñòåé è âáëèçè áîëüøèõ ìàññ íóæíû èíûå çàêîíû.
Äîñòèæåíèÿ êîñìîíàâòèêè — âåëè÷àéøåå ïîäòâåðæäåíèå çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé äîëæíî äâèãàòüñÿ òåëî ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, íå ïàäàÿ íà íåå, íàçûâàåòñÿ ïåðâîé êîñìè÷åñêîé. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî òåëî äâèæåòñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì ðàäèóñó Çåìëè, è ðàâíà 7,9 êì/ñ. Âïåðâûå ýòà ñêîðîñòü áûëà äîñòèãíóòà 4 îêòÿáðÿ 1957 ã., êîãäà ñîâåòñêàÿ ðàêåòà âûâåëà íà îðáèòó âîêðóã Çåìëè ïåðâûé èñêóññòâåííûé ñïóòíèê ìàññîé âñåãî 83,6 êã. Îí ïðîñóùåñòâîâàë êàê êîñìè÷åñêîå òåëî 92 ñóò, ñîâåðøèâ 1400 îáîðîòîâ âîêðóã Çåìëè. Èñêóññòâåííûå ñïóòíèêè Çåìëè íåñóò òðóäîâóþ âàõòó, ðåøàÿ ìíîãèå çàäà÷è (äàëüíÿÿ ðàäèîñâÿçü, òåëåâèäåíèå, ìåòåîðîëîãèÿ, íàâèãàöèÿ, ðàçâåäêà, ñåéñìîëîãèÿ è äð.). Ïåðâûé ñïóòíèê áûë âûâåäåí íà îðáèòó ñîâåòñêîé äâóõñòóïåí÷àòîé ðàêåòîé-íîñèòåëåì «Ñïóòíèê», ñòàâøåé îñíîâîé äëÿ ñåìåéñòâà ðàêåò «Âîñòîê» è «Ñîþç». Ïðèíöèï äåéñòâèÿ ðàêåòû ìîæíî îáúÿñíèòü ñ ïîìîùüþ âòîðîãî è òðåòüåãî çàêîíîâ Íüþòîíà. Ðàâåíñòâî êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãðàâèòàöèè ñëóæèò óñëîâèåì îòðûâà ðàêåòû îò Çåìëè è âûõîäà íà ïàðàáîëè÷åñêóþ (íåçàìêíóòóþ) òðàåêòîðèþ è îïðåäåëÿåò âòîðóþ êîñìè÷åñêóþ ñêîðîñòü, ðàâíóþ 11,2 êì/ñ. Ñòàðò ïåðâîé àâòîìàòè÷åñêîé ñòàíöèè «Ëóíà-1» 2 ÿíâàðÿ 1959 ã. ïîçâîëèë âïåðâûå ïðåîäîëåòü ðóáåæ âòîðîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòè è âûéòè çà ïðåäåëû îêîëîçåìíîãî ïðîñòðàíñòâà. 12 àïðåëÿ 1961 ã. â êîñìîñ áûë âûâåäåí êîñìè÷åñêèé êîðàáëü «Âîñòîê» ñ ïåðâûì ëåò÷èêîì-êîñìîíàâòîì Þ. À. Ãàãàðèíûì. Òàê íà÷àëàñü íîâàÿ ýðà â èñòîðèè îñâîåíèÿ êîñìîñà ëþäüìè.
Ó. Ãåðøåëü, îòêðûâøèé ïëàíåòó Óðàí è äâà åå ñïóòíèêà è èçìåðèâøèé çâåçäíûé ïàðàëëàêñ, õîòåë äîêàçàòü, ÷òî «îñòðîâà» âî Âñåëåííîé ñóùåñòâóþò, êàæäûé èç íèõ ñîñòîèò èç ìèëëèîíîâ çâåçä, óäåðæèâàåìûõ âìåñòå çà ñ÷åò âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ. Êàê Ãþéãåíñ è Íüþòîí, îí ñ÷èòàë, ÷òî âñå çâåçäû èìåþò îäèíàêîâóþ ñâåòèìîñòü, è òîãäà ÿðêàÿ çâåçäà â ïàðå ñî ñëàáîé äîëæíà áûòü áëèæå, ÷åì ñëàáàÿ, è åå ñìåùåíèå çà ãîä áóäåò áîëüøå. Çà 1782—1784 ãã. Ãåðøåëü èçìåðèë óãëîâûå ðàññòîÿíèÿ ïî÷òè 700 çâåçä, íî ñìåùåíèÿ áûëè íå òå, ÷òî îí îæèäàë. Òîëüêî â 1803 ã. îí ïîíÿë, ÷òî îòêðûë îðáèòàëüíûå äâèæåíèÿ çâåçä, îáðàçóþùèõ ôèçè÷åñêèå ïàðû, êîìïîíåíòû êîòîðûõ äâèæóòñÿ âîêðóã îáùåãî öåíòðà ìàññ ïî çàêîíó Íüþòîíà (îíè áûëè íàçâàíû âèçóàëüíî-äâîéíûìè). Çíà÷èò çàêîí òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà âñåìèðåí. Íà åãî îñíîâå Ãåðøåëü, Êàíò è Ëàìáåðò ñòàëè îáúÿñíÿòü âèäèìûå ÿâëåíèÿ âî Âñåëåííîé. Ãåðøåëü îòêðûë äâîéíûå çâåçäû, ñîñòàâèë êàòàëîã äâîéíûõ è êðàòíûõ çâåçä (1784).
102

Êðîìå òîãî, Ãåðøåëü óñòàíîâèë, ÷òî çâåçäû â íåêîòîðûõ ïàðàõ èìåþò ðàçíóþ ñâåòèìîñòü, à òàêèõ ïàð ñ îòëè÷àþùèìèñÿ ÿðêîñòÿìè â ñîòíè ðàç îêàçàëîñü ìíîæåñòâî. Ýòî íå îáúÿñíÿåòñÿ ðàçíîé óäàëåííîñòüþ çâåçä â ïàðå. Âñå íàáëþäàåìûå â òåëåñêîï çâåçäû îáðàçóþò âìåñòå ñ Ìëå÷íûì Ïóòåì òîò «îñòðîâ», ê êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò è íàøå Ñîëíöå, à äàëåêèå «ìèðîâûå îñòðîâà» ïðåäñòàâëÿþòñÿ íàì òóìàííîñòÿìè, êàê ñ÷èòàë è Êàíò. Ãåðøåëü ðåøèë, ÷òî ïëàíåòàðíûå òóìàííîñòè — çâåçäíûå ñèñòåìû â ïîñëåäíåé ñòàäèè ãðàâèòàöèîííîãî êîëëàïñà, à «çâåçäû, èõ îáðàçóþùèå â ðåçóëüòàòå íåêîòîðûõ íàðóøåíèé èëè óòðàòû ýíåðãèè, óæå íå ìîãóò áîëüøå ïîääåðæèâàòü ñâîåãî ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ... è, íàêîíåö, ñîáèðàþòñÿ âìåñòå è âñëåäñòâèå ñîóäàðåíèé îáúåäèíÿþòñÿ â íîâîå òåëî». Ýòî îáúÿñíÿëî ïðèðîäó «íîâîé» çâåçäû, êîòîðóþ âèäåë Òèõî Áðàãå â 1572 ã. â ñîçâåçäèè Êàññèîïåè, à È. Êåïëåð â ñîçâåçäèè Çìååíîñöà. Ãåðøåëü îáíàðóæèë â 1790 ã. íîâîå ÿâëåíèå — «çâåçäó ïðèìåðíî 8-é âåëè÷èíû ñî ñëàáîñâåòÿùåéñÿ àòìîñôåðîé!» Ýòî áûëà ïëàíåòàðíàÿ òóìàííîñòü NGC 1514. È îí íàøåë îáúÿñíåíèå — ýòî çâåçäà, êîíäåíñèðóþùàÿñÿ èç îáëàêà ñâåòÿùåãîñÿ âåùåñòâà ïîä äåéñòâèåì ãðàâèòàöèè. Òàê Ó. Ãåðøåëü åùå ðàç ïîä÷åðêíóë åäèíñòâî Âñåëåííîé è ðîëü â ýòîì çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ.
Èòàê, ïîäòâåðæäåíèåì çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ ÿâëÿþòñÿ: â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå — ïðåäñêàçàíèå âîçâðàùåíèÿ êîìåòû Ãàëëåÿ, îáúÿñíåíèå äâèæåíèé Ëóíû, îöåíêè ïëàíåòíûõ âîçìóùåíèé, îáíàðóæåíèå ïëàíåòû Íåïòóí ïî âîçìóùåíèÿì ïëàíåòû Óðàí, à çàòåì ïëàíåòû Ïëóòîí, ñïëþñíóòîñòü Çåìëè ó ïîëþñîâ, òðàåêòîðèè àñòåðîèäîâ, ïîëåòû êîñìè÷åñêèõ àïïàðàòîâ è ò. ï.; âíå Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû — äâèæåíèå çâåçä â ñèñòåìå äâîéíûõ çâåçä è çâåçäíûõ ñèñòåì. Íî è âíå Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû èñïîëüçîâàíèå çàêîíà òÿãîòåíèÿ ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ ðÿäà ïàðàäîêñîâ (ôîòîìåòðè÷åñêîìó, êîñìîëîãè÷åñêîìó è äð.), êîòîðûå áûëè ðàçðåøåíû òîëüêî â ÎÒÎ.
 çàêîí Íüþòîíà âõîäèò óíèâåðñàëüíàÿ ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ G, îïðåäåëåííàÿ â îïûòàõ Êàâåíäèøà. Çíàíèå Gïîçâîëèëî «âçâåñèòü» Çåìëþ, îïðåäåëèòü åå ñðåäíþþ ïëîòíîñòü, êîòîðàÿ îêàçàëàñü áîëüøå, ÷åì âáëèçè ïîâåðõíîñòè. Çíà÷èò, ïëîòíîñòü ðàñòåò ñ ãëóáèíîé, Çåìëÿ íåîäíîðîäíà. Ýòî ïîäòâåðæäàþò è äðóãèå èññëåäîâàíèÿ, â ÷àñòíîñòè ñåéñìè÷åñêèå. Íà çåìíîé ïîâåðõíîñòè óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïî÷òè ïîñòîÿííî, îòëè÷àÿñü èç-çà ñïëþñíóòîñòè ó ïîëþñîâ íà 0,18 % è èç-çà öåíòðîáåæíûõ ñèë ïðè ïåðåìåùåíèè îò ýêâàòîðà ê ïîëþñó — íà 0,34 %.
Óðîâåíü çåìíûõ ìîðåé è îêåàíîâ, èñïûòûâàþùèé ïåðèîäè÷åñêèå èçìåíåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ëóííûìè ñóòêàìè, çàâèñèò îò ïðèëèâíîãî (èëè äèôôåðåíöèàëüíîãî) ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ. Ñ íèì æå ñâÿçàíû è äðóãèå ýôôåêòû. Íàïðèìåð, ëóííûå ñóòêè ïðèìåðíî íà ÷àñ äëèííåå, îñü âðàùåíèÿ Çåìëè èñïûòûâàåò ïðåöåññèþ ñ ïåðèîäîì ïðèìåðíî 26 000 ëåò, áîëüøàÿ îñü ëóííîé îðáèòû âðàùàåòñÿ â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè (â íàïðàâëåíèè åå îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ) ñ ïåðèîäîì ïî÷òè 9 ëåò, òî÷êè ïåðåñå-
103

÷åíèÿ ëóííîé îðáèòû ñ çåìíîé (óçëû ëóííîé îðáèòû) äâèæóòñÿ íåñêîëüêî íàçàä âäîëü îðáèòû ñ ïåðèîäîì 18,6 ëåò è ò.ä. Ïðè ýòîì ïðèëèâîîáðàçóþùàÿ ñèëà Ëóíû áîëåå ÷åì â 2 ðàçà ïðåâûøàåò ñèëó Ñîëíöà, ïîñêîëüêó ýòà ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà êóáó ðàññòîÿíèé (÷òî ñëåäóåò èç ðàñ÷åòà ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíà òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà).
Òî÷íîå è óñòîé÷èâîå ðåøåíèå çàäà÷è òðåõ òåë, êàê áûëî ïîêàçàíî ïîçäíåå Ëàãðàíæåì, âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà òðè òåëà ëåæàò â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã öåíòðà ìàññ äàííîé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ 2π/Ò. Ýòè òî÷êè óñòîé÷èâîñòè îïðåäåëÿþò îïòèìàëüíûå óñëîâèÿ ðàáîòû êîñìè÷åñêèõ ñòàíöèé.

3.5. Ñâÿçü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñî ñâîéñòâàìè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè

Çàêîí òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà îïðåäåëÿåò ïðèòÿæåíèå äâóõ òî÷å÷íûõ ìàññ. Äëÿ äâóõ òî÷å÷íûõ íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ ñèëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (çàêîí Êóëîíà) èìååò òàêîé æå âèä, êàê è â ïîëå ãðàâèòàöèè, òîëüêî âìåñòî ìàññ áóäóò ñòîÿòü çàðÿäû qè Q. Çíàê çàðÿäîâ ìîæåò áûòü ðàçíûì â îòëè÷èå îò ìàññ, êîòîðûå âñåãäà ïîëîæèòåëüíû, è ñèëà ìîæåò áûòü ïðèòÿãèâàþùåé (-) èëè îòòàëêèâàþùåé (+). Åñëè òåëî íå ïîäâåðãàåòñÿ âíåøíåìó âîçäåéñòâèþ, åãî ñîñòîÿíèå äâèæåíèÿ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Ïðè âçàèìîäåéñòâèè äâóõ òåë, èçîëèðîâàííûõ îò äðóãèõ òåë, ñîõðàíÿåòñÿ èìïóëüñ Ð = Ìv. Èíåðòíàÿ ìàññà Ì îïðåäåëÿåòñÿ òàê, ÷òîáû èìïóëüñ ïðè ñòîëêíîâåíèè äâóõ òåë îñòàâàëñÿ íåèçìåííûì.  òàêîé ñèñòåìå ñîõðàíÿåòñÿ ñóììà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé, èëè ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû Å.  èçîëèðîâàííîé ñèñòåìå ñîõðàíÿåòñÿ è ìîìåíò èìïóëüñà L, êîòîðûé ÷àñòî íàçûâàþò êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì (ñì. ñòð. 93).
Ðåàêöèÿ âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìû íà âíåøíåå âîçäåéñòâèå ïðîÿâëÿåòñÿ â ãèðîñêîïè÷åñêèõ ýôôåêòàõ. Çåìëÿ — áîëüøîé âîë÷îê, è îñü åå âðàùåíèÿ ñîõðàíÿåò ñâîé íàêëîí ïî îòíîøåíèþ ê ãîðèçîíòàëè (ïëîñêîñòè ýêëèïòèêè) ïðàêòè÷åñêè íåèçìåííûì, íî èñïûòûâàåò ïðåöåññèþ îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè.
Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñ÷èòàëè ðàâíîé «óøåäøåé íà âðåìÿ» êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàäè ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðè âçàèìîäåéñòâèÿõ. Âûäåëèì òðè ñëó÷àÿ:
à) â ïîëå ãðàâèòàöèè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà âåðòèêàëüíîìó ñìåùåíèþ òåëà è åãî èíåðòíîé ìàññå Eï.ãð= Mgh. Áîëåå òî÷íûì ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå GmM/r, â êîòîðîå âõîäÿò ðàññòîÿíèå äî öåíòðà Çåìëè r è óíèâåðñàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ G. Ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò öåíòðà Çåìëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íà÷èíàåò óáûâàòü ñêîðåå, è â çíàìåíàòåëå ýòîé ôîðìóëû áóäåò ñòîÿòü r2. Ïðè ìàëûõ ïåðåìåùåíèÿõ âáëèçè ïîâåðõíîñòè ñîõðàíÿåòñÿ Mgh;
104

á)  ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðóæèíû ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó åå äå
ôîðìàöèè
â)  ìàãíèòíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â ãðóáîì ïðèáëèæåíèè îá
ðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîé ñòåïåíè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìàãíèòà
ìè:
Íàêëîí ãðàôèêà çàâèñèìîñòè ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé îò ðàññòîÿíèÿ äÅ/äõ îòðàæàåò òåíäåíöèè èçìåíåíèÿ.
Ñèëà, êîòîðóþ ðàçâèâàåò ñèñòåìà ïðè óáûâàíèè åå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, ðàâíà: Ñèëà èçìåðÿåòñÿ â íüþòîíàõ: 1 Äæ/ì = 1 Í.
Äëÿ óêàçàííûõ âûøå çíà÷åíèé ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ ñèëû ïî çàïèñàííîé âûøå ôîðìóëå. Ïîñêîëüêó äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãðàâèòàöèè, ðàâíîé Mgh, ãðàôèê — ïðÿìàÿ ñ ïîñòîÿííûì íàêëîíîì, ñèëà ãðàâèòàöèè ðàâíà Mg, ò. å. ñèëå òÿæåñòè òåëà, è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç. Äëÿ ñæàòîé ïðóæèíû ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà õ2, ïîýòîìó ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà óïðóãîñòè ïðóæèíû è âåëè÷èíå ñæàòèÿ è íàïðàâëåíà â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó: F= -kx. Äëÿ îòòàëêèâàíèÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ìàãíèòîâ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà îáðàòíîé âåëè÷èíå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïîëþñàìè ìàãíèòîâ, ïîýòîìó ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà îáðàòíîé âåëè÷èíå êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ, ò. å. 1/õ2.
Ðàáîòà — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñèëû íà ïåðåìåùåíèå, íà ïðîòÿæåíèè êîòîðîãî îíà äåéñòâóåò; ìîæíî çàïèñàòü: À = Fx. Íî ðàáîòà ðàâíà èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òîé ñèñòåìû, íà êîòîðóþ ñèëà âîçäåéñòâóåò. À ñèëà ìîæåò óâåëè÷èòü è ñêîðîñòü òåëà (êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ), è åãî ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ, ñâÿçàííóþ ñ åãî ïîëîæåíèåì.
Îòñþäà èíîå îïðåäåëåíèå ñèëû: ýòî èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû, îòíåñåííîå ê òîìó ðàññòîÿíèþ, íà êîòîðîì îíî ïðîèçîøëî, è ðàâíîå èçìåíåíèþ èìïóëüñà ñèñòåìû, îòíåñåííîìó ê òîìó âðåìåíè, çà êîòîðîå îíî ïðîèçîøëî. Ýòî ïîíÿòèå íàãëÿäíî, îíî ñîõðàíèëîñü ñ äðåâíèõ âðåìåí, à â ñîâðåìåííîé íàóêå ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíûì îò ýíåðãèè, ñîõðàíÿþùåéñÿ â çàìêíóòûõ ñèñòåìàõ.
Èòàê, â èçîëèðîâàííûõ ñèñòåìàõ ïðè äâèæåíèè ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû. Êðîìå òîãî, äëÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñîõðàíÿåòñÿ èìïóëüñ, à äëÿ âðàùàòåëüíîãî — ìîìåíò èìïóëüñà. Ïîñêîëüêó ïîñëåäíèå äâå âåëè÷èíû — âåêòîðíûå, êàæäîé èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò ïî òðè ñîõðàíÿþùèõñÿ êîìïîíåíòû èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà. Òàêèì îáðàçîì, ïðè âçàèìîäåéñòâèÿõ â èçîëèðîâàííûõ ñèñòåìàõ èìåþò ìåñòî ñåìü ñîõðàíÿþùèõñÿ âåëè÷èí.
Óñòàíîâëåííûå ñâÿçè ìåæäó ñâîéñòâàìè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè è çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ ñîäåðæàëèñü â ñêðûòîé ôîðìå â ïðèíöèïàõ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè Ãàëèëåÿ— Íüþòîíà. Ãàëèëåé ðàññìàòðèâàë ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ êàê ðåàëüíîñòè, ñóùåñòâóþùèå âíå íàøåãî ñîçíàíèÿ. Åãî
105

ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè îòðàæàë îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà. Ó Íüþòîíà ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ àáñîëþòíû â òîì ñìûñëå, ÷òî ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà íå çàâèñÿò îò äâèæóùèõñÿ â íåì òåë è ïðîòåêàþùèõ ìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé, à ñâîéñòâà âðåìåíè — îò äâèæóùåéñÿ ìàòåðèè. Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ íå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, îíè êàê áû àðåíà, ãäå ïðîèñõîäÿò ñîáûòèÿ. Îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè íåîáõîäèìî ñëåäóþò èç çàêîíîâ Íüþòîíà.
Âïîñëåäñòâèè îêàçàëîñü, ÷òî çàêîíû Íüþòîíà ìîæíî çàìåíèòü åäèíûì ïîñòóëàòîì — âàðèàöèîííûì ïðèíöèïîì, êîòîðûé áûë óäîáíåå âî ìíîãèõ îòíîøåíèÿõ, åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ôîðìóëèðîâêå ñëîæíûõ çàäà÷.  ìåõàíèêå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ýòîò ïîñòóëàò ðàâíîöåíåí çàêîíàì Íüþòîíà. Ñõåìó, îñíîâàííóþ íà çàêîíàõ Íüþòîíà, èíîãäà íàçûâàþò âåêòîðíîé ìåõàíèêîé, ïîñêîëüêó îíà èìååò äåëî ñ âåêòîðíûìè âåëè÷èíàìè, íàïðèìåð ñêîðîñòüþ, ñèëîé, óñêîðåíèåì.
Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ïîñòðîåíà ïî ñõåìå, ââåäåííîé Ëåéáíèöåì è ðàçâèòîé Ýéëåðîì, Ëàãðàíæåì, Ãàìèëüòîíîì. Åå âåëè÷èíû — ñêàëÿðû, è äèíàìè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ ÷åðåç îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ìåòîäû àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè ïîçâîëèëè ðåøàòü áîëåå ñëîæíûå çàäà÷è. Îêàçàëîñü, ÷òî èõ ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà òåîðèþ ïîëÿ èëè êâàíòîâóþ ìåõàíèêó, ãäå ìåõàíèêà Íüþòîíà òåðÿåò ñâîþ ïðèìåíèìîñòü. Âìåñòî ïîíÿòèÿ ìàññû â àêñîìàòè÷åñêîé ðîëè ïîÿâëÿåòñÿ èìïóëüñ ð, îïðåäåëÿåìûé êàê ïðîèçâåäåíèå ìàññû íà ñêîðîñòü — ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò êîîðäèíàòû. Êàê è â îáû÷íîé ìåõàíèêå, ÷àñòèöó îïèñûâàþò ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàò qâ ïðîñòðàíñòâå, ïðè÷åì äëÿ ñèñòåìû èç N ÷àñòèö ïðîñòðàíñòâî èìååò 3Nèçìåðåíèé. Ê ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì qjäîáàâëÿþòñÿ èìïóëüñíûå êîîðäèíàòû qj- 3N, à ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà îïèñûâàåòñÿ øåñòüþ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè â òàê íàçûâàåìîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.
 àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ çàìêíóòûõ ñèñòåì ñóùåñòâóþò òàêèå ôóíêöèè êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, êîòîðûå ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû íå ìåíÿþòñÿ. Èõ íàçûâàþò èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ. Åñëè â ñèñòåìå N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî ñîõðàíÿþùèõñÿ âåëè÷èí áóäåò N- 1. Ñðåäè íèõ åñòü òàêèå, êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè, ò.å. çíà÷åíèå èíòåãðàëà äâèæåíèÿ äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòåé, ðàâíî ñóììå çíà÷åíèé äëÿ êàæäîé èç ÷àñòåé â îòäåëüíîñòè. Âñå ýòè òðè ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû (èëè ñåìü ñêàëÿðíûõ) — èíòåãðàëû äâèæåíèÿ.
Ýñòåòè÷åñêè âåðíåå áûëî áû ïîñòóëèðîâàòü çàêîíû ìåõàíèêè â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå, à ïîòîì ïîêàçàòü, ÷òî â íåêîòîðûõ îãðàíè÷åííûõ ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ïîëó÷èòü çàêîíû Íüþòîíà. Íî âåêòîðíàÿ ôîðìà ïðîùå è íàãëÿäíåå, ïîýòîìó ðåøåíèå — êàêîé ïóòü èçáðàòü ïðè îáó÷åíèè — íåîäíîçíà÷íî.  àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñî-
106

ñòîÿíèå ëþáîé ñèñòåìû ìîæíî îïèñàòü ââåäåíèåì ôóíêöèè Ëàãðàíæà, çàâèñÿùåé îò êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé. È, åñëè èçâåñòíî, ÷òî â ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t2ñèñòåìà çàíèìàåò îïðåäåëåííûå ïîëîæåíèÿ, õàðàêòåðèçóåìûå íàáîðàìè êîîðäèíàò, òî ñðåäè âîçìîæíûõ äâèæåíèé ìåæäó ýòèìè ïîëîæåíèÿìè ðåàëüíûì áóäåò òî, âäîëü êîòîðîãî äåéñòâèå áóäåò èìåòü ìèíèìóì (âåðíåå, ýêñòðåìóì).
Äåéñòâèåì íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà—
ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò qi(i — èíäåêñ êîîðäèíàòû), ñêîðîñòåé è âðåìåíè t. Ñèñòåìû ñ N ñòåïåíÿìè ñâîáîäû èìåþò N ñîõðàíÿþùèõñÿ âåëè÷èí. Íî íå âñå îíè îäèíàêîâî âàæíû, íåêîòîðûå èìåþò îáùåå çíà÷åíèå, ñâÿçàííîå ñî ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.  1918 ã. íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ý.Íåòåð äîêàçàëà òåîðåìó î òîì, ÷òî ñ ñèììåòðè-ÿìè ñâÿçàíû çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Ñ îäíîðîäíîñòüþ âðåìåíè îêàçàëñÿ ñâÿçàí çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ñ îäíîðîäíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà — çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ñ èçîòðîïèåé — çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. È ýòè çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ïîòîìó è ñòàëè âåëèêèìè, ÷òî ñâÿçàíû è îïðåäåëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Íà ôóíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð ñâîéñòâ ñèììåòðèè îáðàòèë âíèìàíèå åùå È. Êåïëåð â ñâîåì òðóäå «Î ãàðìîíèè ìèðà», îïóáëèêîâàííîì â 1619 ã.
«Ñèììåòðè÷íîå îáîçíà÷àåò íå÷òî, îáëàäàþùåå õîðîøèì ñîîòíîøåíèåì ïðîïîðöèé, à ñèììåòðèÿ — òîò âèä ñîãëàñîâàííîñòè îòäåëüíûõ ÷àñòåé, êîòîðûé îáúåäèíÿåò èõ â öåëîå. Êðàñîòà òåñíî ñâÿçàíà ñ ñèììåòðèåé», — ïèñàë Ã. Âåéëü. Ïðè ýòîì îí ññûëàëñÿ íå òîëüêî íà ïðîñòðàíñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ, íî òàêæå ñèíîíèìîì ñèììåòðèè ñ÷èòàë ãàðìîíèþ, óêàçûâàþùóþ íà àêóñòè÷åñêèå è ìóçûêàëüíûå ïðèëîæåíèÿ èäåè ñèììåòðèè. Ìíîãèì òâîðåíèÿì ÷åëîâå÷åñêèõ ðóê ñèììåòðè÷íàÿ ôîðìà ïðèäàåòñÿ êàê èç ýñòåòè÷åñêèõ, òàê è ïðàêòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè çàíèìàëèñü ìíîãèå êðèñòàëëîãðàôû — Å. Ñ. Ôåäîðîâ, Ã. Â. Âóëüô, À. Â. Øóáíèêîâ è äð. È êàæäûé èç íèõ îòìå÷àë â ðàçëè÷íûõ ïðîÿâëåíèÿõ ñèììåòðèè â êðèñòàëëàõ îñíîâîïîëàãàþùóþ ðîëü ñòðîåíèÿ ìàòåðèè è âñåîáùèé õàðàêòåð âëèÿíèÿ ñèììåòðèè íà îêðóæàþùèé ìèð.
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ (ïîâîðîòíàÿ) øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíà â ïðèðîäå (âñïîìíèì ïðè÷óäëèâóþ ñèììåòðèþ ñíåæèíîê).
Òðàíñëÿöèîííàÿ ñèììåòðèÿ (ïðîñòðàíñòâåííàÿ) ïðåäñòàâëåíà â ìíîãî÷èñëåííûõ îðíàìåíòàõ, äîøåäøèõ äî íàñ èç äðåâíîñòè. Âðåìåííàÿ òðàíñëÿöèîííàÿ ñèììåòðèÿ ïðîñëåæèâàåòñÿ âî âñåõ ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ ïðîöåññàõ. Ïðèìåðàìè èõ ìîãóò áûòü è ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, è ïåñíè, è ñòèõè, è êîëåáàòåëüíûå õèìè÷åñêèå ðåàêöèè, è õóäîæåñòâåííûå ïðîèçâåäåíèÿ.
Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ â ãåîìåòðèè îòíîñèòñÿ ê îïåðàöèÿì îòðàæåíèÿ èëè âðàùåíèÿ. Îíà áûëà îñîáî ïî÷èòàåìà â Äðåâíåì Âî-
107

ñòîêå, ÷òî îòðàæåíî â îðíàìåíòàõ è ñêóëüïòóðàõ òîé ýïîõè. Çàïàäíîå èñêóññòâî, íàïðîòèâ, ñìÿã÷àëî è äàæå ñëåãêà íàðóøàëî ñòðîãóþ ñèììåòðèþ. Çåðêàëüíà ñèììåòðèÿ óãëîâ ïàäåíèÿ è îòðàæåíèÿ ñâåòîâîãî ëó÷à îò ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè. Çåðêàëüíî ñèììåòðè÷åí óçîð êðûëüåâ áàáî÷åê èëè ïòèö îòíîñèòåëüíî ñâîåé ïðîäîëüíîé îñè. Ìåëêèå îðãàíèçìû, âçâåøåííûå â âîäå, èìåþò ïî÷òè øàðîîáðàçíóþ ôîðìó. Ó îðãàíèçìîâ, æèâóùèõ â ìîðñêèõ ãëóáèíàõ è ïîäâåðæåííûõ äàâëåíèþ ñèëû òÿæåñòè, ìíîæåñòâî ïîâîðîòîâ âîêðóã öåíòðà (ò.å. âðàùàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü) ñâåëîñü ê îòäåëüíûì ïîâîðîòàì âîêðóã íåêîòîðîé îñè. Äåéñòâèå ôàêòîðîâ ôèëîãåíåòè÷åñêîé ýâîëþöèè, ñòðåìèâøåéñÿ âûçâàòü íàñëåäñòâåííîå ðàçëè÷èå ìåæäó ïðàâûì è ëåâûì, òîðìîçèëîñü òåìè ïðåèìóùåñòâàìè, êîòîðûå æèâîòíîå èçâëåêàëî èç çåðêàëüíî-ñèììåòðè÷íîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñâîèõ îðãàíîâ. Ýòèì ìîæíî îáúÿñíèòü, ïî÷åìó íàøè êîíå÷íîñòè áîëåå ïîä÷èíÿþòñÿ ñèììåòðèè, ÷åì âíóòðåííèå îðãàíû. Âîçìîæíî, ýòî ñâÿçàíî è ñ îíòîãåíåçîì ëåâîãî è ïðàâîãî, ñ ïëîñêîñòüþ ïåðâîãî äåëåíèÿ êëåòêè.
Íàèáîëüøåé ñèììåòðèåé îáëàäàþò êðèñòàëëû, íî íå ó âñåõ èç íèõ íàáëþäàåòñÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ. Ñóùåñòâîâàíèå îïòè÷åñêè àêòèâíûõ êðèñòàëëîâ, ò.å. ïîâîðà÷èâàþùèõ ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî íà íèõ ñâåòà, äîëãîå âðåìÿ êàçàëîñü óäèâèòåëüíûì. Ðàñïîëîæåíèå ñåðäöà è çàêðó÷èâàíèå êèøå÷íèêà ó ÷åëîâåêà ïî÷òè âñåãäà (99,98 %) ëåâîñòîðîííåå.  íàøåì òåëå ó ãëþêîçû ïðàâîâðàùàþùàÿ ôîðìà, ó ôðóêòîçû — ëåâîâðàùàþùàÿ. Áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî áîëüøèíñòâî ñîåäèíåíèé óãëåðîäà â ïðèðîäå âñòðå÷àåòñÿ è â òîé, è â äðóãîé ôîðìå.  ïðîñòðàíñòâå ðàçëè÷èå ìåæäó ïðàâûì è ëåâûì ñâÿçàíî ñ îðèåíòàöèåé âèíòà, ò. å. ñòðóêòóðà ïðîñòðàíñòâà íå ïîçâîëÿåò îòëè÷èòü èõ èíà÷å êàê ñ ïîìîùüþ äîãîâîðåííîñòè èëè ïðîèçâîëüíîãî âûáîðà, íà ÷òî óêàçûâàë åùå Ëåéáíèö.  ôèçèêå ïðàâîå è ëåâîå — ýêâèâàëåíòíû, à â ìèôîëîãè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ñèìâîëèçèðóþò ñîîòâåòñòâåííî äîáðî è çëî. Ëþäè ïðè âñòðå÷å ïîæèìàþò äðóã äðóãó ïðàâóþ ðóêó, â æèâîïèñè ïðàâîå ñîçäàåò èíîå íàñòðîåíèå, ÷åì ëåâîå.

Ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè èãðàþò â æèçíè ÷åëîâåêà âàæíóþ ðîëü. Ïðèðîäà êðàñèâà è òðåáóåò äëÿ ñâîåãî îïèñàíèÿ êðàñèâûõ óðàâíåíèé. Âîçìîæíîñòü çàïèñàòü çàêîíû ïðèðîäû ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìóë — âåëè÷àéøåå îòêðûòèå ÷åëîâå÷åñòâà.

3.6. Êîëåáàíèÿ è âîëíû â ïðèðîäå è èõ îïèñàíèå. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð

Ñîâðåìåííûé ìèð ïîëîí âîëí: âîëíû çâóêà, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â âîçäóõå è äðóãèõ ñðåäàõ; ïåðåìåííûé òîê, èñïîëüçóåìûé â áûòó è òåõíèêå; âîëíû ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé â ñòðóíàõ, êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëàõ êâàðöà, èñïîëüçóåìûå äëÿ ñòàáèëèçàöèè ÷àñòîò
108

ðàäèîïåðåäàò÷èêà èëè â ÷àñàõ; âîëíåíèå è çûáü â îçåðàõ, ïðóäàõ è îêåàíàõ; âîëíû çåìëåòðÿñåíèé, èçó÷àåìûå â ñåéñìîëîãèè; ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, êîòîðûå â îïòè÷åñêîì è ðàäèîäèàïàçîíàõ èñïîëüçóþò äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè; âîëíû âåðîÿòíîñòè, êîòîðûå â ìèðå êâàíòîâ îïèñûâàþò ïîâåäåíèå ìèêðî÷àñòèö è áîëåå ñëîæíûõ ôîðì âåùåñòâà.
Ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ýòî ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ. ×àùå âñåãî îíè âîçíèêàþò ïðè íàðóøåíèè óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, ïðè ýòîì ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë íå ðàâíà íóëþ. Îäíà èç ñèë äîëæíà çàâèñåòü îò âðåìåíè, è ñèñòåìà äîëæíà îáëàäàòü èçáûòî÷íîé ýíåðãèåé. Çà ïåðèîä êîëåáàíèé âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè. Êîëåáàíèÿ ìîãóò ïðîèñõîäèòü ïðè íàëè÷èè óïðóãèõ ñèë, ñèëû òÿæåñòè; ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (íàïðÿæåíèé è ñèë òîêîâ) ïðîèñõîäÿò â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. Íåñìîòðÿ íà ðàçíóþ ïðèðîäó êîëåáàíèé, â íèõ îáíàðóæèâàþòñÿ îáùèå çàêîíîìåðíîñòè. Ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ñîâåðøàþùàÿ êîëåáàíèÿ, íàçûâàåòñÿ îñöèëëÿòîðîì.
Êîëåáàíèÿ ìàññû, ïðèêðåïëåííîé îäíèì êîíöîì ê ïðóæèíå, ïðîñòîé ïðèìåð ãàðìîíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ñîñòîèò èç òî÷å÷íîé ìàññû, ïîäâåøåííîé íà íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé íèòè. Ïðè ìàëîé àìïëèòóäå ïî÷òè êàæäûé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíûì (ðèñ. 3.3).

Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ, êàê óñòàíîâèë åùå Ãàëèëåé, îïðåäåëÿåòñÿ åãî äëèíîé è íå çàâèñèò îò ìàññû ìàÿòíèêà. Ïåðèîä êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêîâ ðàçíîé äëèíû l ïðîïîðöèîíàëåí êâàäðàòíîìó êîðíþ èç èõ äëèí ïðóæèíû — îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå êîëåáàíèé  (k— æåñòêîñòü ïðóæèíû). Ýòî ñâîéñòâî èçîõðîííîñòè êîëåáàíèé ìàÿòíèêà èñïîëüçîâàëîñü â XVII â. äëÿ îòñ÷åòà ðàâíûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, íî êîëåáàíèÿ çàòóõàëè, ïðèõîäèëîñü ìàÿòíèê ïîäòàëêèâàòü, è íå áûëî àâòîìàòè÷åñêîãî ñ÷åòà ÷èñëà êîëåáàíèé. Ãþéãåíñ ïðèìåíèë ìàÿòíèê â ñâîèõ ÷àñàõ â êà÷åñòâå ðåãóëÿòîðà è äîâåë èõ äî ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ è êîììåð÷åñêîãî óñïåõà. Âîñåìíàäöàòîå ñòîëåòèå äàæå ïîëó÷èëî íàèìåíîâàíèå âåêà ÷àñîâ, õîòÿ òîãäà îíè èñïîëüçîâàëèñü, â îñíîâíîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ äîëãîòû ìåñòà.
Åñëè ñìåñòèòü òåëî ìàññîé ò, ïðèêðåïëåííîå ê ïðóæèíå, òî ñî ñòîðîíû ïðóæèíû íà íåãî áóäåò äåéñòâîâàòü âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, íàïðàâëåííàÿ â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ ñèëå, âûçâàâøåé ñìåùåíèå (áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òðåíèå îòñóòñòâóåò). Äëÿ íåáîëüøèõ ñìåùåíèé õ âîçâðàùàþùàÿ ñèëà F= -kx. Èñïîëüçóÿ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, ìîæíî çàïèñàòü: F=mW= -kx, îòêóäà óñêîðåíèå

109

Ýòî âûðàæåíèå — îñíîâíîé çàêîí ïðîñòîãî ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ: óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïðîïîðöèîíàëüíî ñìåùåíèþ.
Íà ÿçûêå êîëåáàíèé è âîëí íàèáîëåå ÿñíî ïðåäñòàåò åäèíñòâî ïðèðîäû. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèåé, èçìåíÿþùåéñÿ ïî çàêîíó ñèíóñà èëè êîñèíóñà:  ãäå - ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû; À — àìïëèòóäà êîëåáàíèé,
 — êðóãîâàÿ ÷àñòîòà — ïåðèîä êîëåáà-
íèé; 1/Ò = v — ÷àñòîòà). Åñëè àìïëèòóäà ñî âðåìåíåì óáûâàåò, òî êîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ çàòóõàþùèìè; åñëè êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé, ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùåéñÿ ñèëû, èõ íàçûâàþò âûíóæäåííûìè; åñëè æå êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ïîñëå âûâåäåíèÿ ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî ýòî — ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ. Êîëåáàíèÿ ìîãóò èìåòü ðàçíóþ ïðèðîäó, íî îíè îáëàäàþò îáùèìè ÷åðòàìè è ïîä÷èíÿþòñÿ îáùèì çàêîíîìåðíîñòÿì, ÷òî ïîçâîëÿåò åäèíûì îáðàçîì ðàññìàòðèâàòü ìåõàíè÷åñêèå, ýëåêòðè÷åñêèå è äðóãèå êîëåáàíèÿ. Êîëåáàíèÿ êëàññèôèöèðóþò ïî ñïîñîáó âîçáóæäåíèÿ (ñîáñòâåííûå, âûíóæäåííûå, ïàðàìåòðè÷åñêèå è àâòîêîëåáàíèÿ), ïî çàâèñèìîñòè èçìåíÿþùåéñÿ âåëè÷èíû îò âðåìåíè è ïð. Ñ òî÷êè çðåíèÿ êèíåìàòèêè ðàçëè÷àþò ïåðèîäè÷åñêèå è íåïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.
Âñÿêàÿ ñèñòåìà, ñîâåðøàþùàÿ êîëåáàíèÿ, îáëàäàåò ñâîèìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ, à èì — ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû. Åñëè íà ñèñòåìó ïîäåéñòâîâàòü ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ ñèëîé, òî ñèñòåìà îòêëèêíåòñÿ ìàëûìè êîëåáàíèÿìè, ÷àñòîòà êîòîðûõ áóäåò ñîâïàäàòü ñ ÷àñòîòîé âûíóæäàþùåé ñèëû. Åñëè ÷àñòîòà ýòîé ñèëû ñîâïàäåò ñ îäíîé èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ñèñòåìû, òî àìïëèòóäû êîëåáàíèé ðåçêî âîçðàñòóò. Òàêîå ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñîì. Ðåçîíàíñ èìååò ìåñòî ïðè íàñòðîéêå ðàäèîïðèåìíèêà íà ÷àñòîòó ïåðåäàþùåé ñòàíöèè.  íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ, ñîäåðæàùèõ èñòî÷íèê ýíåðãèè, ìîãóò âîçíèêàòü íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ è áåç âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ — ýòî àâòîêîëåáàíèÿ.
Ëþáîå ïîâòîðÿþùååñÿ äâèæåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ ïðîñòûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, à ëþáîå âîëíîâîå äâèæåíèå — êàê ñóììó ïðîñòûõ ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí. Ýòîò òåçèñ, äîêàçàííûé (1822) ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì è ôèçèêîì Æ. Á. Ôóðüå, ñëóæèò îñíîâîé äëÿ èçó÷åíèÿ ïîâòîðÿþùèõñÿ ÿâëåíèé â ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòÿõ. Âîëíîâûå ñâîéñòâà ñâåòà è ìèêðî÷àñòèö ëåæàò â îñíîâå ñîâðåìåííîé êàðòèíû ìèðà. Ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå èãðàåò çíà÷èòåëüíóþ ðîëü ïðè èçó÷åíèè ëþáûõ êîëåáàíèé (îñîáåííî â àêóñòèêå è îïòèêå).
Âîëíû — ýòî èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ñðåäû, ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ â íåé áåç ïåðåíîñà âåùåñòâà è íåñóùåå ñ ñîáîé ýíåðãèþ è èìïóëüñ. Ýíåðãèÿ, èìïóëüñ è ñêîðîñòü — âàæíåéøèå õàðàêòåðèñòèêè âîëí. Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé (âîëíà) ìîæåò
110

áûòü îïèñàí â îáùåì âèäå ìàòåìàòè÷åñêè. Îñíîâíûå ñâîéñòâà âîëí ìîæíî èçó÷èòü íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ è ñôîðìóëèðîâàòü îáùèå ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå áóäóò ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáîãî òèïà âîëí.
Ìîðñêèå âîëíû áüþòñÿ î áåðåãà, ïðè øòîðìàõ âîðî÷àþò îãðîìíûå êàìíè è ïåðåâîðà÷èâàþò êîðàáëè. Òåëåöåíòð èçëó÷àåò âîëíû ìîùíîñòüþ â äåñÿòêè òûñÿ÷ âàòò, ìàëóþ äîëþ êîòîðûõ óëàâëèâàþò òåëåâèçîðû. Âîëíû ïåðåíîñÿò ýíåðãèþ ëþáîé âåëè÷èíû îò îäíîé òî÷êè ê äðóãîé, ðàñïðîñòðàíÿÿñü ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, çàâèñÿùåé îò ñðåäû èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ: òàê, ñâåòîâûå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 300 000 êì/ñ, çâóêîâûå (â âîçäóõå) — 344 ì/ñ. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, ïðèõîäÿùèå íà Çåìëþ îò Ñîëíöà, èìåþò ïëîòíîñòü ìîùíîñòè ïîðÿäêà 1 êÂò/ì2 â øèðîêîì äèàïàçîíå äëèí âîëí; ýòà ýíåðãèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ çåëåíûìè ðàñòåíèÿìè â õèìè÷åñêóþ. Ïðè ñæèãàíèè äåðåâà èëè óãëÿ ýòà ýíåðãèÿ âíîâü âûñâîáîæäàåòñÿ. Íàëè÷èå èìïóëüñà ó ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ìåíåå çàìåòíî, íî îíî áûëî äàæå èçìåðåíî Ï.Í.Ëåáåäåâûì (1912). Ñóùåñòâóþò ïðîåêòû èñïîëüçîâàíèÿ ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ íà îãðîìíûå ïàðóñà äëÿ ïåðåäâèæåíèÿ â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå.
Ìîíîõðîìàòè÷åñêîé íàçûâàþò âîëíó îò ãàðìîíè÷åñêîãî èñòî÷íèêà. Åñëè êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó, ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè îò èñòî÷íèêà äî òî÷êè íà ðàññòîÿíèè zâîëíà ïðèõîäèò ñ íåêîòîðûì çàïàçäûâàíèåì, ñâÿçàííûì ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû:  Âîëíîâîé ôðîíò — ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, êîëåáëþùèõñÿ â îäíîé ôàçå. Îí îòäåëÿåò îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, âîâëå÷åííóþ â âîëíîâîé ïðîöåññ, îò òîé, ãäå êîëåáàíèÿ åùå íå âîçíèêëè.  çàâèñèìîñòè îò âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè âîëíû ìîãóò áûòü ïëîñêèìè èëè ñôåðè÷åñêèìè.  ïëîñêîé âîëíå àìïëèòóäà ïîñòîÿííà, à â ñôåðè÷åñêîé — óáûâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ îò èñòî÷íèêà.
Åñëè òåëî ó÷àñòâóåò â íåñêîëüêèõ âîëíîâûõ äâèæåíèÿõ, òî ýòè äâèæåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ â îäíî. Âîëíîâîå äâèæåíèå îáðàçóåòñÿ, åñëè êîëåáëþùèõñÿ ÷àñòèö ìíîãî è îíè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Êàæäàÿ èñïûòûâàåò âëèÿíèå âîçâðàùàþùèõ ñèë, ïîýòîìó ñàìè ÷àñòèöû èëè ÷àñòè ïðóæèíû áîëüøèõ ïåðåìåùåíèé íå ñîâåðøàþò, íî âäîëü ïðóæèíû ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ èìïóëüñ. Ñëåäÿ çà ïåðåìåùåíèåì èìïóëüñà, ïðîõîäÿùåãî ðàññòîÿíèå dxçà âðåìÿ dt, ìîæíî ââåñòè åãî ñêîðîñòü êàê v= dx/dt. Ïðè íå î÷åíü áîëüøèõ âîçìóùåíèÿõ ñðåäû âîëíîâîå äâèæåíèå ïîä÷èíÿåòñÿ ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè — äâà èìïóëüñà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íåçàâèñèìî. Åñëè äâà èìïóëüñà ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðóæèíó è äðóã ÷åðåç äðóãà, ñìåùåíèå ïðóæèíû îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå îòäåëüíûõ ñìåùåíèé. Èìïóëüñû ãàñÿò äðóã äðóãà â ìîìåíò âñòðå÷è (åñëè èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè) èëè ñêëàäûâàþòñÿ (ïðè îäèíàêîâîì íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ).
Áåãóùàÿ âîëíà îáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü îäèí êîíåö ïðóæèíû èëè ñòðóíû çàêðåïëåí è íè îäíà òî÷êà íå èñïûòûâàåò ñìåùåíèé, à êî âòîðîìó êîíöó ïðèëîæåíà ñèëà, êîòîðàÿ
111

íà÷èíàåò â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïîäíèìàòü è îïóñêàòü åãî. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ýòîãî âîçäåéñòâèÿ íà ñîñåäíèå ó÷àñòêè ïî ñòðóíå èëè ïðóæèíå ïîáåæèò âîëíà ñî ñêîðîñòüþ Ðàññòîÿíèå õ,
êîòîðîå äàííûé ó÷àñòîê âîëíû ïðîõîäèò çà âðåìÿ t, ðàâíî vt. Ïåðèîä T âîçáóæäàþùåãî êîëåáàíèÿ è áóäåò ïåðèîäîì âîëíû, çà âðåìÿ T âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ðàññòîÿíèå, íàçûâàåìîå äëèíîé âîëíû  Òîãäà ñêîðîñòü âîëíû Îòñþäà
Àìïëèòóäà âîëíû ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó: Èç
âûðàæåíèÿ äëÿ ñêîðîñòè âîëíû ïîëó÷àåì: Çàâèñèìîñòü
àìïëèòóäû âîëíû îò êîîðäèíàòû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè èìååò âèä:
 ïîïåðå÷íûõ âîëíàõ ÷àñòèöû ïåðåìåùàþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Ñìåùåíèå ñðåäû ìîæåò òàêæå âûçâàòü èìïóëüñ, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåìó. Òàêîé ýôôåêò íàáëþäàþò, êîãäà ðåçêèì áîêîâûì äâèæåíèåì ïîñûëàëè èìïóëüñ âäîëü âåðåâêè.  ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíàõ íàïðàâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ïåðïåíäèêóëÿðíû íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.
 ïðîäîëüíûõ âîëíàõ ÷àñòèöû ïåðåìåùàþòñÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, íàïðèìåð, ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà â âîçäóõå èëè âîëí ñæàòèÿ—ðàñòÿæåíèÿ â ñàìîé ïðóæèíå.  çâóêîâûõ âîëíàõ ïëîòíîñòü ãàçà, ãäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ çâóêîâàÿ âîëíà, ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó ñèíóñà.
 òâåðäûõ òåëàõ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïðîäîëüíûå âîëíû, â ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé ïëîòíîñòè ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ è ïîïåðå÷íûå. Ñòîÿ÷àÿ âîëíà (ðèñ. 3.4) âîçíèêàåò, åñëè ó ñòðóíû çàêðåïèòü îáà êîíöà. Èìïóëüñ áóäåò îòðàæàòüñÿ îò îáîèõ êîíöîâ, ðàñïðîñòðàíÿÿñü ïî ñòðóíå. Òàê êàê ðàññòîÿíèÿ ìåæäó èìïóëüñàìè

îäèíàêîâû, ïðîöåññ áóäåò ïîâòîðÿòüñÿ. Åñëè ïåðâîíà÷àëüíûé èìïóëüñ — ñèíóñîèäàëüíûé è îáà èìïóëüñà ðàâíû ïî àìïëèòóäå, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû, ñìåùåíèå â òî÷êå ïîâîðîòà ìåíÿåò çíàê, ìîæíî ïîëó÷èòü òàêæå ñèíóñîèäàëüíóþ âîëíó, ôîðìà êîòîðîé ìåæäó äâóìÿ çàêðåïëåííûìè òî÷êàìè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, à àìïëèòóäà ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Òî÷êè, â êîòîðûõ ñìåùåíèé íåò, íàçûâàþò óçëàìè, à òî÷êè ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ âíèç èëè ââåðõ — ïó÷íîñòÿìè ñòîÿ÷åé âîëíû. Íà ñòðóíå äëèíîé Lìîæíî âîçáó-
112

äèòü ñòîÿ÷èå âîëíû, äàæå åñëè åå óçëû ïðèõîäÿòñÿ íà òî÷êè çàêðåïëåíèÿ ñòðóíû: .... Íà ñîñåäíèõ ó÷àñòêàõ êîëåáàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíû ïî ôàçå. Ñòîÿ÷èå âîëíû íà ñòðóíå ìîæíî ïðåäñòàâèòü è êàê ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ áåãóùèõ âîëí. Ïðè íàëîæåíèè äðóã íà äðóãà îíè ñîçäàäóò âåñüìà óñòîé÷èâóþ êàðòèíó.
Ïîíÿòèå ñòîÿ÷èõ âîëí, çàðîäèâøååñÿ â íàóêå î çâóêîâûõ êîëåáàíèÿõ, ðàñïðîñòðàíèëîñü è íà äðóãèå êîëåáàòåëüíûå ñèñòåìû, áëàãîäàðÿ ÷åìó áûëà ðåøåíà çàäà÷à òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ, ïðèâåäøàÿ ê ñîçäàíèþ êâàíòîâîé ãèïîòåçû. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîé ìîäåëè è âîëíîâîé ìåõàíèêè ñóìåëè îïèñàòü ñòðîåíèå àòîìà.  ñîâðåìåííîé òåîðèè àòîì ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñèñòåìà, îáëàäàþùàÿ îïðåäåëåííûìè ôîðìàìè ñòîÿ÷èõ âîëí ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ÷àñòîòàìè. Âìåñòî îðáèò â ìîäåëè àòîìà Áîðà òåïåðü ââîäÿò çàìêíóòûå êîëüöà ñòîÿ÷èõ âîëí. ×åì äàëüøå îðáèòà, òåì áîëüøåå ÷èñëî ïó÷íîñòåé äîëæíî âîéòè â ýòî êîëüöî. Ïî òîìó æå ïðèíöèïó ñòðîÿòñÿ ìîäåëè äëÿ àòîìíîãî ÿäðà. Âîëíû — ýòî íå ïðîñòî ó÷àñòêè ñòðóíû, îòêëîíÿþùèåñÿ ââåðõ è âíèç, è äàæå íå êîëåáëþùèåñÿ ýëåêòðîíû, à ìåðà âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â äàííîì ìåñòå.
Ïîâåðõíîñòíûå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä. Âîëíû íà ïîâåðõíîñòè âîäû ñîïðîâîæäàþò ïåðåìåùåíèå ñóäîâ. Åñëè ñîçäàòü âîçìóùåíèå íà ïîâåðõíîñòè âîäû, òî âîçíèêíóò âîëíû. ×àñòèöû æèäêîñòè, íàõîäÿùèåñÿ âáëèçè âïàäèíû, ïðè ñîçäàíèè âîçìóùåíèÿ áóäóò ñòðåìèòüñÿ çàïîëíèòü åå ïîä äåéñòâèåì òÿæåñòè, ñîçäàâàÿ âîëíû â âîäå. ×àñòèöû âîëíû áóäóò äâèãàòüñÿ ïî÷òè ïî îêðóæíîñòÿì, ò. å. êàê áû ñîâìåùàÿ ñâîéñòâà ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ âîëí, íî îòëè÷àÿñü îò íèõ îáåèõ. Ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ñ ãëóáèíîé óìåíüøàþòñÿ äî íóëÿ. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ñ çàâèñèò îò X: äëÿ äëèííûõ âîëí — ïðîïîðöèîíàëüíà äëÿ êîðîòêèõ à äëÿ ñðåäíåé äëèíû — îò âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ (çäåñü ð — ïëîòíîñòü æèäêîñòè,  — êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ). Çíà÷èò, äëèííûå âîëíû âûçâàíû ñèëîé òÿæåñòè, à êîðîòêèå — ñèëîé ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Åñëè äëèíà âîëíû ìåíüøå ãëóáèíû âîäîåìà, òî âáëèçè äíà íàáëþäàåòñÿ ÷èñòî ïðîäîëüíîå äâèæåíèå, à íà ïîâåðõíîñòè è âáëèçè íåå êàæäàÿ ÷àñòèöà âîäû äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó (êîìáèíàöèè êîëåáàíèé â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ).
Íåîáû÷íóþ âîëíó — óåäèíåííóþ — íàáëþäàë â 1834 ã. øîòëàíäñêèé ó÷åíûé Äæ. Ðàññåë. Áàðæó òÿíóëè ïî êàíàëó; ïîñëå íåîæèäàííîé îñòàíîâêè ïðèâåäåííàÿ åþ â äâèæåíèå ìàññà âîäû îñòàíîâèëàñü îêîëî íîñà áàðæè, à çàòåì îòîðâàëàñü îò íåãî. È ýòî óåäèíåííîå âîçìóùåíèå ïîêàòèëîñü ïî êàíàëó ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ, íå ìåíÿÿ ôîðìû. Ðàññåë çàìåòèë, ÷òî íå ìåíÿåòñÿ è ñêîðîñòü Ñ ýòîé óåäèíåííîé âîëíû, îíà çàâèñèò îò ãëóáèíû êàíàëà hè âûñîòû âîëíû Êðîìå òîãî, îäíà áîëüøàÿ
âîëíà ìîæåò ðàñïàäàòüñÿ íà íåñêîëüêî âîëí, êîòîðûå ïðîõîäÿò
113

îäíà ÷åðåç äðóãóþ, ïîäîáíî ìàëûì âîëíàì íà ïîâåðõíîñòè. Ìíîãèå îòíåñëèñü êðèòè÷åñêè ê îòêðûòûì Ðàññåëîì ñâîéñòâàì óåäèíåííîé âîëíû.
Óðàâíåíèå äëÿ îïèñàíèÿ äëèííûõ âîëí íà âîäå âûâåëè äàòñêèå ó÷åíûå Ä.Ä. Êîðòåâåã è Ã. äå Ôðèñ (1895). Èõ óðàâíåíèå, èçâåñòíîå ïî èìåíè àâòîðîâ êàê óðàâíåíèå ÊäÔ, ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è ãîäèòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ ñàìûõ ðàçíûõ íåëèíåéíûõ âîëí. Åñëè ñêîðîñòü ëèíåéíûõ âîëí çàâèñèò îò äëèíû âîëíû è íå çàâèñèò îò àìïëèòóäû, òî äëÿ íåëèíåéíûõ âîëí ñóùåñòâåííû îáå çàâèñèìîñòè. Òî÷íîå ðåøåíèå èìååòñÿ ëèøü äëÿ âîëí â ðÿäå ñëó÷àåâ. Íåëèíåéíûå âîëíû íà÷àë èçó÷àòü åùå âåëèêèé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ãåîðã Ðèìàí. Íåëèíåéíîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè «îïðîêèäûâàíèè» íàáåãàþùèõ âîëí, êîòîðóþ ìîæíî íàáëþäàòü íà ðå÷íîé îòìåëè èëè â ïðèáîå íà áåðåãó ìîðÿ. Ïðè íàðàñòàíèè êðóòèçíû âîëíû ìîæåò îáðàçîâàòüñÿ âîëíà â âèäå ñòóïåíüêè, êîòîðóþ íàçûâàþò áîðîì. Áîð — îäèí èç ïðèìåðîâ óäàðíîé âîëíû. Äðóãèå ïðèìåðû óäàðíûõ âîëí — âçðûâíîé çâóê, ñëûøèìûé, êîãäà ðåàêòèâíûé ñàìîëåò ïðîõîäèò çâóêîâîé áàðüåð èëè êîãäà ïàñòóõ ùåëêàåò áè÷îì. Óäàðíûå âîëíû â âîçäóõå — ÿâëåíèå ñëîæíîå; íà ôðîíòå óäàðíîé âîëíû ñêà÷êîì ðàñòóò äàâëåíèå, ïëîòíîñòü, òåìïåðàòóðà, è çíà÷åíèÿ ýòèõ ñêà÷êîâ ñòîëü âåëèêè, ÷òî ïðîèñõîäèò ÿðêîå ñâå÷åíèå (íàïðèìåð, ïðè ÿäåðíîì âçðûâå, ïðè ïàäåíèè ìåòåîðîâ-áîëèäîâ).
Óðàâíåíèå ÊäÔ, ïîñëå òîãî êàê ñòàëè ðàçðàáàòûâàòü ìåòîäû åãî ðåøåíèÿ íà ÝÂÌ, èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ èîííî-çâóêîâûõ âîëí â ïëàçìå, âîëí âîçáóæäåíèÿ â æèâîé ìàòåðèè, äèñëîêàöèé â êðèñòàëëå, ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåðõêîðîòêèõ ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ â îïòè÷åñêèõ ñðåäàõ è äð. Íà åãî îñíîâå ðàçðàáîòàíû ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (òàê íàçûâàåìûé ìåòîä îáðàòíîé çàäà÷è ðàññåÿíèÿ).
Ïðè èññëåäîâàíèè ñëîæåíèÿ äâóõ óåäèíåííûõ âîëí îêàçàëîñü, ÷òî âûñîêèå óåäèíåííûå âîëíû äâèæóòñÿ ñêîðåå, òàê êàê ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ âîëí ñîõðàíÿþòñÿ èõ ôîðìà è ñêîðîñòü, ïðîöåññ ïîõîæ íà óïðóãîå ñòîëêíîâåíèå äâóõ ÷àñòèö. Òàêóþ âîëíó íàçâàëè ñîëèòîíîì (îò àíãë. solitary — óåäèíåííûé). È ñîëèòîíû â ñàìîì äåëå âåäóò ñåáÿ êàê ÷àñòèöû. Ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè òàêèõ âîëí áîëüøàÿ çàìåäëÿåòñÿ è óìåíüøàåòñÿ, à ìàëàÿ óñêîðÿåòñÿ è óâåëè÷èâàåòñÿ. È äàëåå — ïî öèêëó, ïîäîáíî óïðóãèì ìÿ÷àì. Ðåçóëüòàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ñîëèòîíîâ ìîæåò áûòü ëèøü ñäâèã ôàç. Îêåàíè÷åñêèå ñîëèòîíû (öóíàìè, «äåâÿòûé âàë») ìîãóò âîçíèêàòü íå òîëüêî íà ïîâåðõíîñòè, íî è â ãëóáèíàõ, òîãäà èç-çà íåîäíîðîäíîñòåé ñðåäû îíè îáðàçóþò «ãðóïïîâûå ñîëèòîíû» (ñìåð÷è èëè òîðíàäî).  íåëèíåéíîé îïòèêå íàáëþäàåòñÿ ýôôåêò ñàìîèíäóöèðîâàííîé ïðîçðà÷íîñòè, ýòè ñîëèòîíû åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ïî îïòè÷åñêèì âîëîêíàì. Ìåõàíèçì óñèëåíèÿ ñîëèòîíîâ ïîõîæ íà ÿâëåíèå êîìáèíàöèîííîãî ðàññåÿíèÿ ñâåòà.
Àíàëîãè÷íûé ìåõàíèçì ðàñïðîñòðàíåíèÿ èìååò è «ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà ìûñëè» — íåðâíûé èìïóëüñ. Áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ïî íåðâó ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íå ýëåêòðè÷åñêèé òîê, à íåêîòîðàÿ ýëåêòðîõèìè÷åñêàÿ ðåàêöèÿ, ïîðîæäàþùàÿ áåãóùèé èìïóëüñ íàïðÿæåíèÿ. Ïðè ýòîì ïåðåäíèé ôðîíò èìïóëüñà íå ðàñïëûâàåòñÿ, ò. ê. äèôôóçèÿ èîíîâ ÷åðåç ìåì-
114

áðàíó íîñèò íåëèíåéíûé õàðàêòåð — ïîäàâëÿåò ìàëûå îòêëîíåíèÿ îò íîðìàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ è óñèëèâàåò áîëüøèå. Îãðîìíîå êîëè÷åñòâî âèõðåé — ýòî òîæå ñîëèòîíîïîäîáíûå îáðàçîâàíèÿ.

3.7. Ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà â ñðåäàõ è ðåàêöèÿ îðãàíèçìà íà çâóêîâûå âîëíû

Çâóêîâûìè íàçûâàþò óïðóãèå âîëíû, âûçûâàþùèå ó ÷åëîâåêà îùóùåíèå çâóêà. Ñðåäè íèõ ðàçëè÷àþò: òîíû èëè ìóçûêàëüíûå çâóêè; øóìû; çâóêîâûå óäàðû. Ãàðìîíè÷åñêèé ïðîöåññ — ýòî ÷èñòûé èëè ïðîñòîé òîí, à àíãàðìîíè÷åñêèé — ñëîæíûé òîí. Ñëîæíûé òîí ðàñêëàäûâàþò íà ïðîñòûå, ïðè ýòîì íàèìåíüøàÿ ÷àñòîòà — îñíîâíîé òîí, à îáåðòîíû èëè ãàðìîíèêè èìåþò ÷àñòîòû, êðàòíûå îñíîâíîìó. Íàáîð ÷àñòîò ñ óêàçàíèåì èíòåíñèâíî-ñòåé êîìïîíåíò íàçûâàþò àêóñòè÷åñêèì ñïåêòðîì. Øóì — ýòî çâóê ñî ñëîæíîé íåïîâòîðÿþùåéñÿ âðåìåííîé çàâèñèìîñòüþ: ñîãëàñíûå çâóêè ðå÷è, ñêðèï, øîðîõ, âèáðàöèè ìàøèí. Çâóêîâîé óäàð — ýòî êðàòêîâðåìåííîå çâóêîâîå âîçäåéñòâèå: âçðûâ, õëîïîê è äð.
Êîëåáëþùàÿñÿ ïëîñêàÿ ïëàñòèíêà âîçáóæäàåò â ñðåäå áåãóùóþ âîëíó ñ àìïëèòóäîé è ÷àñòîòîé ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ îò èñòî÷íèêà,
è ïåðåäàåò ñëîþ âîçäóõà ìàññîé íåêîòîðóþ ýíåðãèþ.
Ìàêñèìàëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýòîãî ñëîÿ
 — ïëîòíîñòü ñëîÿ âîçäóõà. Íî ïðè ïðîñòîì ãàðìîíè÷åñêîì äâèæåíèè ñðåäíÿÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé, è ýòî âûðàæåíèå îïèñûâàåò çàïàñ ýíåðãèè â ñëîå ïëîùàäüþ À è òîëùèíîé Ïóñòü êîëåáàíèÿ íà÷èíàþòñÿ ïðè t= 0 è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â âîçäóõå ñî ñêîðîñòüþ — ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ðàñïðîñòðàíèòñÿ âîçìóùåíèå çà âðåìÿ At. Ðàçäåëèâ âûðàæåíèå
äëÿ ýíåðãèè íà ïîëó÷èì: ãäå Ð
ìîùíîñòü, èçëó÷àåìàÿ êîëåáëþùåéñÿ ïëàñòèíêîé â íàïðàâëåíèè õ. Çíàÿ ìîùíîñòü, ïðèõîäÿùóþñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè, âû÷èñëÿþò èíòåíñèâíîñòü ëþáîé áåãóùåé âîëíû, ò. å. è çâóêà. Âûðàæåíèå äëÿ èíòåíñèâíîñòè çâóêà ïîëó÷èì, ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ìîùíîñòè íà À:
Èòàê, èíòåíñèâíîñòü çâóêîâîé âîëíû ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó àìïëèòóäû è îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñêîðîñòü ïîòîêà ýíåðãèè ÷åðåç åäèíè÷íîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå. Íàèìåíüøàÿ èíòåíñèâíîñòü çâóêà, êîòîðóþ ñëûøèò ÷åëîâå÷åñêîå óõî, ïîðÿäêà I0 = 10-12Âò/ì2, åå íàçûâàþò ïîðîãîì ñëûøèìîñòè.
Ðåàêòèâíûé ñàìîëåò, íàáèðàþùèé âûñîòó íåäàëåêî îò ÷åëîâåêà, ñîçäàåò èíòåíñèâíîñòü çâóêà â 1015 ðàç, à ïîåçä ìåòðî - â 1010 ðàç áîëüøóþ. Áîëåâîé ïîðîã èíòåíñèâíîñòè — 1012I0, ýòî çíà÷å-
115

íèå ìîæåò äîñòèãàòüñÿ íà êîíöåðòàõ ðîê-ìóçûêè. Ïðèâåäåííûå ïîêàçàòåëè ñòåïåíè, óìíîæåííûå íà 10, îïðåäåëÿþò äåöèáåëü-íóþ øêàëó èíòåíñèâíîñòè çâóêà, íàçâàííóþ â ÷åñòü Ãåíðèõà Áåëëà. Èíòåíñèâíîñòü çâóêà â äåöèáåëàõ è îáîçíà÷àåòñÿ äÁ. Òîãäà ïîðîã ñëûøèìîñòè ñîñòàâëÿåò 0 äÁ, à êîíöåðò ðîê-ìóçûêè — 120 äÁ. Ñàíèòàðíàÿ íîðìà ñîîòâåòñòâóåò 30 — 40 äÁ.
Øóìîâàÿ áîëåçíü ïðîÿâëÿåòñÿ â ïîâûøåííîì àðòåðèàëüíîì äàâëåíèè, áûñòðîé óòîìëÿåìîñòè, ïëîõîì ñíå è îñëàáåâàíèè ñëóõà. Òåìáð çâóêà ïðè îäèíàêîâûõ ãðîìêîñòè è âûñîòå òîíà îïðåäåëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ñîñòàâîì çâóêà, èñïóñêàåìîãî ðàçíûìè èñòî÷íèêàìè. Çâóêîâûå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â âîçäóõå ñî ñêîðîñòüþ îêîëî 330 ì/ñ ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ, ïðè÷åì èõ ñêîðîñòü íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû.
×åëîâå÷åñêîå óõî ñïîñîáíî âîñïðèíèìàòü òîëüêî ÷àñòü çâóêîâûõ êîëåáàíèé, êîòîðûå, ïîïàäàÿ íà áàðàáàííóþ ïåðåïîíêó, âîçáóæäàþò íåðâíóþ ðåàêöèþ. Äëÿ îöåíêè èíòåíñèâíîñòè çâóêà óäîáíåå èñïîëüçîâàòü çâóêîâîå äàâëåíèå, âîçíèêàþùåå â ñðåäå ïðè ïðîõîæäåíèè çâóêà.
Èíòåíñèâíîñòü çâóêà I ñâÿçàíà ñ äàâëåíèåì p, ïëîòíîñòüþ ñðåäû è ñêîðîñòüþ çâóêà ñ ñîîòíîøåíèåì: Âûñîòà çâóêà îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòîòîé êîëåáàíèé: îíà òåì âûøå, ÷åì áîëüøå ÷àñòîòà. Èíòåðâàëó âîëí äëèíîé îò 20 ì äî 1,6 ñì, âîñïðèíèìàåìûõ óõîì, ñîîòâåòñòâóåò äèàïàçîí ÷àñòîò ìåæäó 16 è 20 000 Ãö ñîîòâåòñòâåííî. Çâóêîâûå ÷àñòîòû è ñîîòâåòñòâóþùèå èì äëèíû âîëí (Ãö/ì) ïðèâåäåíû íèæå:

Óêàçàííûå ïðåäåëû ñëûøèìîñòè îòíîñÿòñÿ ê ìîëîäûì ëþäÿì. Ñ âîçðàñòîì äèàïàçîí ñîêðàùàåòñÿ, ìóæ÷èíû íà÷èíàþò óòðà÷èâàòü ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê âûñîêèì íîòàì ðàíüøå, ÷åì æåíùèíû.  ñðåäíåì âîçðàñòå îíè óæå íå âîñïðèíèìàþò çâóêè âûøå 12 000 Ãö, à ïîñëå 50 ëåò âåðõíÿÿ ÷àñòü ñïåêòðà çâóêîâ îêàçûâàåòñÿ íåäîñòóïíà. Èíòåðåñíî, ÷òî âîñïðèíèìàåìûé íàìè äèàïàçîí çâóêîâ øèðå òîãî, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðå÷è èëè ïåíèÿ (100—1000 Ãö). Íî êîãäà âûñîêèå ÷àñòîòû ãàñíóò (êàê ïðàâèëî, â íåäîðîãèõ àêóñòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ), òî òåðÿþòñÿ ÿðêîñòü è êðàñîòà çâó÷àíèÿ, à åñëè íèçêèå ÷àñòîòû, çâóê êàæåòñÿ ìîíîòîííûì, õîòÿ âûñîòà òîíà âîñïðèíèìàåòñÿ âåðíî.
Óæå ó àíòè÷íûõ àâòîðîâ ìîæíî íàéòè óêàçàíèÿ íà òî, ÷òî çâóê îáóñëîâëåí êîëåáàòåëüíûì äâèæåíèåì (Ïòîëåìåé, Åâêëèä). Àðèñòîòåëü îòìåòèë, ÷òî ñêîðîñòü çâóêà èìååò êîíå÷íóþ âåëè÷èíó, ïðè÷åì íå îäèíàêîâóþ äëÿ íèçêèõ è âûñîêèõ òîíîâ. Îí ïðåäñòàâëÿë ýòîò ïðîöåññ òàê: «Çâóê ïðîèñõîäèò îòòîãî, ÷òî çâó÷àùåå òåëî îïðåäåëåííûì îáðàçîì ïðèâîäèò âîçäóõ â äâèæåíèå, êîòîðûé ïðè ýòîì ñæèìàåòñÿ è ðàñòÿãèâàåòñÿ
116

è óäàðàìè çâó÷àùåãî òåëà ïðîòàëêèâàåòñÿ âñå äàëüøå è äàëüøå, îò÷åãî çâóê è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âî âñå ñòîðîíû».
Ñ XVII â. íà÷àëèñü ïîïûòêè îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè çâóêà. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ ïðîäîëüíûõ âîëí ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ èìïóëüñà, ñîîáùåííîãî îäíîìó êîíöó óïðóãîãî ñòåðæíÿ. Ïðîäîëüíûå âîëíû â ñòàëüíîé ïðîâîëîêå ïëîòíîñòüþ 8 ã/ñì3 è ñ ìîäóëåì óïðóãîñòè 2,06 107 Í/ì2 äîëæíû èìåòü ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ 5 • 1000 ì/ñ. Ïðè ýòîì îíà íå çàâèñèò íè îò àìïëèòóäû, íè îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé, ïîêà óïðóãèå äåôîðìàöèè ïîä÷èíÿþòñÿ çàêîíó Ãóêà.
Ãðîìêèì ïåíèåì êàêîé-ëèáî íîòû íàä îòêðûòûì ìóçûêàëüíûì èíñòðóìåíòîì ìîæíî âîçáóäèòü ñòîÿ÷óþ âîëíó îñíîâíîé ìîäû â ñòðóíå, ÷àñòîòà êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò âçÿòîé âûñîòå òîíà, è çàòåì óñëûøàòü, êàê ñòðóíà çâó÷àíèåì îòçûâàåòñÿ íà ãîëîñ, ïîêà â íåé íå çàòóõëà ñòîÿ÷àÿ âîëíà.
Çàìå÷àòåëüíóþ ñâÿçü ìåæäó ÷èñëàìè è çàêîíàìè ìóçûêàëüíîé ãàðìîíèè îòêðûë åùå Ïèôàãîð. Îí èñïîëüçîâàë ìîíîõîðä — ñòðóíó, çàêðåïëåííóþ íà îäíîì êîíöå è ïåðåêèíóòóþ ÷åðåç îñòðèå íîæà, òàê ÷òî ê íåé ìîæíî áûëî ïîäâåøèâàòü ãèðè, ñîçäàâàÿ ðàçëè÷íûå íàòÿæåíèÿ. Òîãäà áûëî èçâåñòíî è îá îùóùåíèÿõ, âûçûâàåìûõ ðàçíûìè êîìáèíàöèÿìè òîíîâ: îäíè áûëè ïðèÿòíûìè, äðóãèå — äèññîíèðóþùèìè. Ïèôàãîð äîêàçàë, ÷òî ïðèÿòíûå ñî÷åòàíèÿ ñîçäàþò ñòðóíû ñ îäèíàêîâûì íàòÿæåíèåì, äëèíû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè 2:1, äâà òàêèõ òîíà îòëè÷àþòñÿ íà èíòåðâàë â îäíó îêòàâó. Èíòåðâàë 3 :2 ïîëó÷èë íàçâàíèå êâèíòû. Îí îòìåòèë, ÷òî ïðèÿòíûå ñî÷åòàíèÿ ñâÿçàíû ñ ïðîñòûìè ÷èñëàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè îòíîøåíèå äëèí.
Òàêèì îáðàçîì, âûñîòà òîíà çàêðåïëåííîé ñòðóíû ñâÿçàíà ñ åå äëèíîé. Äëÿ îäíîé è òîé æå ñòðóíû, êîëåáëþùåéñÿ ñ îäíîé, äâóìÿ, òðåìÿ è áîëåå ïó÷íîñòÿìè, ÷àñòîòû êîëåáàíèé íàõîäÿòñÿ â ïðîïîðöèè 1: 2: 3 è ò.ä. Óìåíüøåíèå äëèíû ñòðóíû â 2 ðàçà ïðèâîäèò ê ïîâûøåíèþ òîíà ðîæäàåìîãî åþ çâóêà íà îêòàâó. Íà îñíîâàíèè ïîäîáíûõ çàêîíîìåðíîñòåé Ïèôàãîð ðàçðàáîòàë òåîðèþ ìóçûêàëüíîé ãàììû è ãàðìîíèè. Ïèôàãîð è åãî ïîñëåäîâàòåëè — ïèôàãîðåéöû — âåðèëè, ÷òî â îñíîâå ïðèðîäû ëåæàò ìàòåìàòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè. Ïî çàêîíàì ãàðìîíèè ñòðîèëàñü è èõ êîñìîëîãè÷åñêàÿ ñèñòåìà.
Èäåþ î âûäåëåíèè â ëþáîì ñëîæíîì êîëåáàíèè îñíîâíîãî òîíà è ãàðìîíèê âûäâèíóë Ã. Ãåëüìãîëüö (1862). Çâó÷àíèå ëþáîãî èíñòðóìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ïðîïîðöèÿìè ãàðìîíèê. Èç-çà ãàðìîíèê çâóê ôëåéòû îòëè÷åí îò çâóêà ñêðèïêè, õîòÿ êîëåáàíèÿ âîçäóõà â òðóáå, ôëåéòå èëè îðãàíå îäíè è òå æå. Ïðàâäà, êîëîêîëü÷èêè íå îáðàçóþò ïðîñòîé ðÿä öåëûõ ÷èñåë, ïîýòîìó èõ çâó÷àíèå íå ñòîëü ìåëîäè÷íî. Åùå èç îïûòîâ ñ ìàÿòíèêàìè ïîíÿëè, ÷òî ñóùíîñòü ìóçûêàëüíîãî çâóêà â åãî ïåðèîäè÷íîñòè. Ãàëèëåé çàìåòèë, ÷òî îñöèëëÿòîð ðåçîíèðóåò íà äåéñòâèå ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû, êîãäà åå ÷àñòîòà ñîâïàäåò ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ìàÿò-
117

íèêà, îïðåäåëÿåìîé åãî äëèíîé. Îí ñîîðóäèë ïðîñòóþ ñèñòåìó — ïîãðóçèë áîêàë ïî÷òè ïî ñàìûé êðàé â ñîñóä ñ âîäîé è, ñëåãêà óäàðÿÿ ïî êðàþ, èçâëåêàë èç áîêàëà çâóêè ðàçëè÷íîé òîíàëüíîñòè. Âîêðóã áîêàëà ïîÿâëÿëàñü ðàäèàëüíàÿ ðÿáü. Ãàëèëåé îòìåòèë, ÷òî ïðè èçìåíåíèè âûñîòû òîíà íà îêòàâó ðÿáü óñèëèâàåòñÿ. ×òîáû ñäåëàòü êîëè÷åñòâåííóþ îöåíêó, îí ñîïîñòàâèë ìàññó åäèíèöå äëèíû è ïîäñ÷èòàë, ÷òî ÷àñòîòà òîíà çàâèñèò îò êîðíÿ êâàäðàòíîãî èç «ðàçìåðà» ñòðóíû. Âïîñëåäñòâèè Ãàëèëåé äàë ïðàâèëî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò êîëåáàíèé ñòðóí, ñäåëàííûõ èç ðàçíûõ ìàòåðèàëîâ.

3.8. Îïèñàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. Òèïû è ñâîéñòâà âîëí. Ñïåêòð è åãî àíàëèç

Âîëíû ìîãóò îòðàæàòüñÿ (çâóê îò ñòåíû, ñâåò îò çåðêàëà, âîäÿíûå âîëíû îò ïðåãðàäû) è ïðåëîìëÿòüñÿ (êîãäà õîä ëó÷à èçãèáàåòñÿ èç-çà ïîïàäàíèÿ â ñðåäó ñ äðóãîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ). Äëÿ ïîíèìàíèÿ âîëíîâûõ ñâîéñòâ íåîáõîäèìî ïåðåéòè ê âîëíàì — ïëîñêèì è òðåõìåðíûì, âñòðå÷àåìûì â ïðèðîäå. Çâóê â âîçäóõå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âî âñå ñòîðîíû îò ñôåðè÷åñêîãî èñòî÷íèêà. Ïðè îïóñêàíèè â âîäó ïëîñêîé äîñêè, êîãäà îäèí åå êîíåö ïîãðóæåí è ïðèâîäèòñÿ â äâèæåíèå â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè, ïîëó÷àþòñÿ áåãóùèå ïî ïîâåðõíîñòè äâóõìåðíûå ïëîñêèå âîëíû. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, ñîõðàíÿþùèå äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé êîìïîíåíò â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, òîæå ÿâëÿþòñÿ ïëîñêèìè.
Äèñïåðñèåé íàçûâàåòñÿ çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ï ñâåòà îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé v (èëè äëèíû âîëíû X). Íüþòîí îòìåòèë, ÷òî ðàçëîæåíèå áåëîãî ñâåòà â ñïåêòð — ïðîÿâëåíèå äèñïåðñèè. Íàïðàâèâ ðàçëîæåííûé íà ñîñòàâëÿþùèå ñâåò íà âòîðóþ ïðèçìó, îí ïîëó÷èë âíîâü áåëûé ñâåò, çíà÷èò, áåëûé ñâåò åñòü íàáîð öâåòîâ ñ ðàçíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï, êîòîðûé ñâÿçàí ñî ñêîðîñòüþ vðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â ýòîé ñðåäå:
Ñðàâíèì èõ äëÿ ôèîëåòîâîãî è êðàñíîãî öâåòîâ:
Ïîñêîëüêó ÷àñòîòû äëÿ òîé æå ñðåäû, òî è
ñêîðîñòè Òàêèì îáðàçîì, â îäíîì è òîì æå âåùåñòâå ñêî-
ðîñòè ñâåòà äëÿ ðàçíûõ ÷àñòîò ðàçëè÷íû, ðàçëè÷íû è ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ï, ïðè÷åì ï çàâèñèò îò v.
ßâëåíèå äèôðàêöèè (îò ëàò. diffractus— ðàçëîìàííûé) âîçíèêàåò, åñëè ïëîñêàÿ âîëíà äëèíîé ïîïàäàåò íà ïðåãðàäó ñ ùåëüþ øèðèíîé s. Îíî áûëî âïåðâûå îïèñàíî êàê íîâûé òèï îòêëîíåíèÿ ñâåòà çà îòâåðñòèåì â ïîñìåðòíîé ïóáëèêàöèè Ô. Ãðèìàëüäè â 1665 ã. Ðåçóëüòàòû ñâîèõ îïûòîâ îí îáúÿñíÿë ïî àíàëîãèè ñ âîëíàìè âîêðóã áðîøåííîãî â âîäó êàìíÿ.
118

ßâëåíèå èíòåðôåðåíöèè (èëè ñëîæåíèå êîãåðåíòíûõ âîëí) íàáëþäàåòñÿ è äëÿ ïîïåðå÷íûõ, è äëÿ ïðîäîëüíûõ âîëí. Îíî ïðîèñõîäèò, åñëè ùåëåé íà ïóòè âîëíû íåñêîëüêî èëè âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò íåñêîëüêèõ èñòî÷íèêîâ. Ðàññìîòðèì äâà èñòî÷íèêà. Ïðè ðàçìåðå ùåëè íèêàêèõ èñêàæåíèé ïðàêòè÷åñêè íå íà-
áëþäàåòñÿ. Åñëè íàáëþäàåòñÿ êàðòèíà, ñóùåñòâåííî çàâè-
ñÿùàÿ îò òîãî, â êàêîé ôàçå êàæäàÿ èç âîëí ïîäîøëà ê ùåëè. Âîëíû íàçûâàþòñÿ êîãåðåíòíûìè, åñëè ðàçíîñòü ôàç ìåæäó íèìè ïîä÷èíåíà îïðåäåëåííîìó çàêîíó.
Ïðèíöèï Ãþéãåíñà, îáúÿñíÿþùèé ÿâëåíèå îòðàæåíèÿ, ïðåëîìëåíèÿ è äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ ñâåòà ñ ïîçèöèé âîëíîâîé òåîðèè, ñôîðìóëèðîâàí â «Òðàêòàòå î ñâåòå» (Õ.Ãþéãåíñ, 1678). Ñóòü ïðèíöèïà â ñëåäóþùåì (ðèñ. 3.5): êîãäà âîëíîâîé ôðîíò ïðîõîäèò ÷åðåç îòâåðñòèÿ, êàæäûé ýëåìåíò ôðîíòà âåäåò ñåáÿ òàê, êàê åñëè áû ñòàë èñòî÷íèêîì èçëó÷åíèÿ.

Ïðèíÿâ ñóùåñòâîâàíèå ýôèðà (äëÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà íóæíà ñðåäà, äëÿ ñâåòà — íåò, çíà÷èò, ñðåäà äîëæíà áûòü íåâåñîìîé, ðàçðåæåííîé, ïðîíèêàþùåé âî âñå ïîðû è â òî æå âðåìÿ æåñòêîé è óïðóãîé), Ãþéãåíñ çà ìåõàíèçì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âûáðàë àíàëîãèþ ñ ïëàìåíåì. Êàæäàÿ òî÷êà ïëàìåíè ñîîáùàåò äâèæåíèå ÷àñòèöàì îêðóæàþùåãî ýôèðà, ò.å. ñîçäàåò ñîáñòâåííóþ âîëíó, à êàæäàÿ ÷àñòè÷êà ýôèðà, êîòîðîé äîñòèãëà âîëíà,

ñòàíîâèòñÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, öåíòðîì íîâîé âîëíû. Òàê äâèæåíèå è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ÷åðåç âòîðè÷íûå ñôåðè÷åñêèå âîëíû, êàê è ïîæàð. È êàæäàÿ òî÷êà âîëíîâîãî ôðîíòà — èñòî÷íèê íîâûõ âîëí, îãèáàþùàÿ êîòîðûõ ñòàíåò âîëíîâûì ôðîíòîì â ñëåäóþùèé ìîìåíò, è òàê äàëåå. Äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííûõ ýôôåêòîâ íå îáÿçàòåëüíî èìåòü îòäåëüíûå èñòî÷íèêè ñâåòà.
Êàê ïðèíöèï Ãþéãåíñà è ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè îáúÿñíÿþò êàðòèíó èíòåðôåðåíöèè? Åñëè äâå ùåëè ÿâëÿþòñÿ èñòî÷íèêàìè âîëí, òî êàêîâà êàðòèíà èíòåðôåðåíöèè â òî÷êå Ð, íå ïîãàñÿò ëè âîëíû äðóã äðóãà? Âòîðàÿ âîëíà äîëæíà ïðîéòè äî ýòîé òî÷êè áîëüøåå ðàññòîÿíèå, ÷åì ïåðâàÿ, è ðàçíîñòü õîäà ïîëó÷èòñÿ Åñëè â òî÷íî óêëàäûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî òî â òî÷êå Ð îäíîâðåìåííî îêàæóòñÿ ìàêñèìóìû îáåèõ âîëí (âîëíû ïðèäóò â ôàçå), è àìïëèòóäû âîçðàñòóò. Ýòî óñëîâèå êîíñòðóêòèâíîé èíòåðôåðåíöèè çàïèøåòñÿ òàê:  = N, ãäå  N = = 0, 1, 2, 3, ..., ï. Åñëè æå ðàçíîñòü õîäà ñîñòàâëÿåò íåöåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí, òî ìàêñèìóìû îäíîé âîëíû îêàæóòñÿ â òî÷êå Ð ñìåùåííûìè íà  îòíîñèòåëüíî ìàêñèìóìîâ äðóãîé âîëíû, ò.å. îêàæóòñÿ â ïðîòèâî-ôàçå. Óñëîâèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî: ãäå N= Î, 1, 2, 3, ..., ÿ.  òî÷êàõ, ãäå ðàçíîñòü ôàç âîëí íàõîäèòñÿ ìåæäó ýòèìè çíà÷åíèÿìè, áóäåò ïðîìåæóòî÷íàÿ êàðòèíà.
Âîëíîâóþ ïðèðîäó ñâåòà âïåðâûå ïîêàçàë ýêñïåðèìåíòàëüíî àíãëèéñêèé ó÷åíûé, âðà÷, ÷åëîâåê ñ î÷åíü ðàçíîñòîðîííèìè èíòåðåñàìè, èçâåñòíûé êàê åãèïòîëîã, ðàñøèôðîâàâøèé äðåâíèå èåðîãëèôû, ïåðâîêëàññíûé ìóçûêàíò Òîìàñ Þíã. Åìó æå ïðèíàäëåæèò è òåðìèí ôèçè÷åñêàÿ îïòèêà.
Ò. Þíã ñòàë çàíèìàòüñÿ âîëíîâûìè äâèæåíèÿìè â ñâÿçè ñ èçó÷åíèåì ÷åëîâå÷åñêîãî ãîëîñà (ïåðèîäè÷åñêèõ èçìåíåíèé óñèëåíèÿ è îñëàáëåíèÿ çâóêà, âîñïðèíèìàåìîãî óõîì).  1801 —1803 ãã. ó÷åíûé ïðåäñòàâèë ìàòåðèàëû ñâîèõ èññëåäîâàíèé ïî ñâåòó è çâóêó Êîðîëåâñêîìó îáùåñòâó. Îíè ñîäåðæàëè åãî ôîðìóëèðîâêó ïðèíöèïà èíòåðôåðåíöèè: äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíòåðôåðåíöèè íóæíî, ÷òîáû îáå âîëíû èç îäíîãî èñòî÷íèêà (ñ îäèíàêîâûì ïåðèîäîì), ïðîøëè ðàçëè÷íûé ïóòü äî èññëåäóåìîé òî÷êè è, ïîïàâ â ýòó òî÷êó, øëè ïî÷òè ïàðàëëåëüíî.
Þíã ïðîäåìîíñòðèðîâàë ýôôåêò èíòåðôåðåíöèè, ïðîêîëîâ áóëàâêîé äâà îòâåðñòèÿ â ïðîçðà÷íîì ýêðàíå è íàïðàâèâ íà íåãî ñâåò, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ìàëåíüêîå îòâåðñòèå: òåìíûå ïîëîñû îòìå÷àëè ïðîâàëû âîëí, ñâåòëûå — ñëîæåíèå èõ ìàêñèìóìîâ. Èç êàðòèíû ïðîâåäåííîãî îïûòà îí ïåðâûì (è ñ óäèâèòåëüíîé òî÷íîñòüþ) èçìåðèë äëèíû âîëí, ñîñòàâëÿþùèå áåëûé ñâåò, è ïîëó÷èë 1/36 000 äþéìà (0,7 ìê) äëÿ êðàñíîãî öâåòà è 1/60 000 äþéìà (0,42 ìê) äëÿ ôèîëåòîâîãî.
Èíòåðôåðåíöèÿ âîëí ñ áëèçêèìè ÷àñòîòàìè, ðàñïðîñòðàíÿþùèìèñÿ ñ îäíîé ñêîðîñòüþ è â îäíîì íàïðàâëåíèè, ïðèâîäèò ê áèåíèÿì. Ïîëó÷àåòñÿ ñèíóñîèäàëüíàÿ âîëíà ñ êîëåáëþùåéñÿ àìïëèòóäîé (ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó), à ÷àñòîòà áèåíèé ðàâíà ðàçíîñòè ÷àñòîò îòäåëüíûõ âîëí (ñì. ðèñ. 3.3). ×òîáû ïîëó÷èòü áèåíèÿ äëÿ çâóêîâûõ âîëí, ìîæíî ïðîâåñòè îïûò ñ äâóìÿ àíàëîãè÷íûìè ìóçûêàëüíûìè èíñòðóìåíòàìè. Âîçüìèòå äâå ñòðóíû, çâó÷àùèå íà îäíîé íîòå, è, ÷óòü-÷óòü èçìåíèâ âûñîòó òîíà îäíîé èç íèõ, âû óñëûøèòå, êàê áûñòðî âîçðàñòàåò è óìåíü-
120

øàåòñÿ èíòåíñèâíîñòü çâó÷àíèÿ, êàê áû ïóëüñèðóåò. Åñëè ïóëüñàöèÿ ïðîèñõîäèò ìåäëåííî, ïîïðîáóéòå ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî áèåíèé â ñåêóíäó.
Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ìåæäó ùåëÿìè ðàññòîÿíèÿ íåáîëüøèå (ïîðÿäêà äëèíû âîëíû). Òàêàÿ ñèñòåìà ùåëåé íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííîé ðåøåòêîé. Ïó÷îê áåëîãî ñâåòà ïðè ïîïàäàíèè íà íåå ðàçáðàñûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî øèðîêî, è ïî îáåèì ñòîðîíàì îò óçêîé áåëîé öåíòðàëüíîé ïîëîñû ñòàíîâÿòñÿ âèäíû øèðîêèå öâåòíûå ïîëîñû — ñïåêòðû. Èçó÷åíèåì è èçìåðåíèåì ñïåêòðîâ çàíèìàåòñÿ ñïåöèàëüíàÿ íàóêà — ñïåêòðîñêîïèÿ. Ñ åå ïîìîùüþ áûë îïðåäåëåí ñîñòàâ è çåìíîé àòìîñôåðû, è íåáåñíûõ òåë. Äëèíû âîëí èçìåðÿþòñÿ ñ ïîãðåøíîñòüþ äî 10-10, à ñìåùåíèÿ — åùå òî÷íåå. Èñêëþ÷èòåëüíàÿ óçîñòü ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, ñòðîãàÿ çàêîíîìåðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èõ ïî øêàëå ÷àñòîò è ñìåùåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé â ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ äàëè ìíîãî ñâåäåíèé î ñòðîåíèè àòîìîâ.
ßâëåíèå ïîëÿðèçàöèè, ñâîéñòâåííîå òîëüêî ïîïåðå÷íûì âîëíàì, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ëó÷ ñâåòà, ïðîïóñêàåìûé ÷åðåç äâà êðèñòàëëà èñëàíäñêîãî øïàòà, ïîäâåðãàëñÿ äâîéíîìó ëó÷åïðåëîìëåíèþ â çàâèñèìîñòè îò âçàèìíîé îðèåíòàöèè îñåé êðèñòàëëîâ.
 íà÷àëå XIX â. ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ý. Ìàëþñ îáíàðóæèë, ÷òî ïîëÿðèçîâàííûì îêàçûâàåòñÿ ëó÷ ñâåòà, îòðàæåííûé îò ïîâåðõíîñòè âîäû ïîä óãëîì Îêàçàëîñü, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ âîçíèêàåò ïðè îòðàæåíèè ëó÷à îò ïîâåðõíîñòè, à óãîë îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà. Îí îáúÿñíèë ÿâëåíèå ïîëÿðíîñòüþ ñâåòîâûõ êîðïóñêóë, îðèåíòèðóþùèõñÿ â êðèñòàëëå èëè ïðè îòðàæåíèè (çàêîí Ìàëþñà). Çàêîíîìåðíîñòè ïîëÿðèçàöèè èçó÷èëè äî 1815 ã., íî èõ îáúÿñíèë Î.Ôðåíåëü òîëüêî ÷åðåç ñåìü ëåò, äëÿ ÷åãî ïðèøëîñü ïðèçíàòü ñâåò ïîïåðå÷íîé âîëíîé. Ïðîäîëüíûå âîëíû íå ïîëÿðèçóþòñÿ. Îáû÷íî íàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè ñâÿçûâàþò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà Å, ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè — ýòî ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ âåêòîð Å è íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Òîãäà âåêòîð H áóäåò ïåðïåíäèêóëÿðíûì ýòîé ïëîñêîñòè (ñì. ðèñ. 2.6, â). Åñëè íàïðàâëåíèå äîñòàåòñÿ ó âîëíû íåèçìåííûì, âîëíà íàçûâàåòñÿ ïëîñêî- èëè ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííîé.
Áîëüøèíñòâî èñòî÷íèêîâ èñïóñêàåò íåêîãåðåíòíûé è íåïîëÿðèçî-âàííûé ñâåò, êîãäà íàïðàâëåíèå âåêòîðà E íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Íåïîëÿðèçî-âàííûé ñâåò ïîëÿðèçóåòñÿ ïðè ïðîïóñêàíèè ÷åðåç ïîëÿðèçàòîð. Òàêîâûì ìîæåò ñëóæèòü ýêðàí èç ðÿäà òîíêèõ ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîëî÷åê äëÿ ìèêðîâîëíîâîãî èçëó÷åíèÿ èëè ôèëüòð èç êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè (òóðìàëèíà, èñëàíäñêîãî øïàòà, êâàðöà èëè ïëåíêè êðèñòàëëîâ ãåðàïàòèòà, íàíåñåííîé íà ñòåêëî). Íåïîëÿðèçîâàííûé ñîëíå÷íûé ñâåò ïðèîáðåòàåò ïîëÿðèçàöèþ ïðè îòðàæåíèè îò ïîâåðõíîñòåé âîäû, ïåñêà, äîðîãè è ò.ä.
121

Ïðè ýòîì, åñëè îñü ïîëÿðîèäà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè îòðàæåííîãî ñâåòà, îòðàæåíèå ãàñíåò. Ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ãàøåíèÿ çåðêàëüíûõ áëèêîâ ïðè ôîòîãðàôèðîâàíèè, ïðåäóïðåæäåíèÿ îñëåïëåíèÿ âîäèòåëÿ âñòðå÷íûì òðàíñïîðòîì, ðåãóëèðîâàíèÿ îñâåùåííîñòè è äð.
Èçëó÷àåìûé êàæäûì àòîìîì ñâåò ñòðîãî ïîëÿðèçîâàí. Íî íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ ïîëÿðèçàöèè îò âñåõ àòîìîâ îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñòî ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè è íå èìåþò îïðåäåëåííîé îðèåíòàöèè â ïðîñòðàíñòâå. È ñâåòîâîé ëó÷ ìîæíî óïîäîáèòü íèòè, ñîñòîÿùåé èç ìíîæåñòâà ñâèòûõ âîëíèñòûõ âîëîêîí. Äëÿ ïîëÿðèçàöèè ëó÷à íàäî ïðèâåñòè ýòîò õàîñ â ïîðÿäîê, ÷òî è äåëàþò òå èëè èíûå ïîëÿðèçàöèîííûå ôèëüòðû.

3.9. Ýôôåêò Äîïëåðà, åãî èññëåäîâàíèå è çíà÷åíèå äëÿ íàóêè

Çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû âîëíîâîãî èìïóëüñà îò ñêîðîñòè ïðè äâèæåíèè èñòî÷íèêà âîëí îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ íàçûâàþò ýôôåêòîì Äîïëåðà. Ýôôåêò Äîïëåðà èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ òèïîâ âîëí — çâóêîâûõ â àòìîñôåðå, óïðóãèõ â òâåðäîì òåëå, âîëí íà âîäå, ñâåòîâûõ âîëí.
Àâñòðèéñêèé ôèçèê è àñòðîíîì Ê.Äîïëåð îáíàðóæèë ýòó çàâèñèìîñòü â 1842 ã. Ìíîãèå ñëûøàëè, êàê ìåíÿåòñÿ çâóê ñâèñòêà ïðîíîñÿùåãîñÿ ìèìî ïëàòôîðìû ïîåçäà. Ïåðâîå ïîäòâåðæäåíèå ýôôåêòà áûëî ïîëó÷åíî äëÿ àêóñòè÷åñêèõ âîëí â îïûòàõ ãîëëàíäñêîãî ôèçèêà ñ ãðóïïîé ìóçûêàíòîâ íà æåëåçíîé äîðîãå (1845). ×àñòü ãðóïïû ðàçìåñòèëàñü íà ïëàòôîðìå, äâèãàâøåéñÿ ñ èçâåñòíîé ñêîðîñòüþ âäîëü ïåððîíà, ãäå íàõîäèëèñü îñòàëüíûå, âîñïðèíèìàÿ èõ ìóçûêó. Çàòåì ìóçûêàíòû ïîìåíÿëèñü ðîëÿìè. Äàííûå, ïîëó÷åííûå îò íåïîñðåäñòâåííûõ âïå÷àòëåíèé ó÷àñòíèêîâ îïûòà, õîðîøî óêëàäûâàëèñü â ôîðìóëó Äîïëåðà.
Íî ýôôåêò Äîïëåðà ìîæíî íå òîëüêî «ñëûøàòü», íî è «âèäåòü», õîòÿ áû â âàííå èëè ïðóäó (ðèñ. 3.6). Ïåðèîäè÷åñêè ïîãðóæàÿ ïàëåö â âîäó,

÷òîáû íà ïîâåðõíîñòè îáðàçîâàëèñü âîëíû, ðàâíîìåðíî ïåðåìåùàéòå åãî â îäíîì íàïðàâëåíèè. Ñëåäóÿ äðóã çà äðóãîì, ãðåáíè âîëí â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ïàëüöà áóäóò ñãóùàòüñÿ, ò. å. äëèíà âîëíû ñòàíåò ìåíüøå îáû÷íîé, â íàïðàâëåíèè íàçàä — áîëüøå.
Ïåðèîä âîëíû, èçëó÷àåìîé íåïîäâèæíûì èñòî÷íèêîì, ðàâåí  ãäå — äëèíà âîëíû, èçëó÷àåìîé ïîêîÿùèìñÿ èñòî÷íèêîì, vñêîðîñòü âîëíû â ñðåäå. Ïóñòü èñòî÷íèê äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ è â ñòîðîíó
122

íàáëþäàòåëÿ. Òîãäà äëèíà âîëíû, âîñïðèíèìàåìàÿ íåïîäâèæíûì íàáëþäàòåëåì, ðàâíà

Ïîñêîëüêó ñèñòåìû îòñ÷åòà, ñâÿçàííûå ñ èñòî÷íèêîì è íàáëþäàòåëåì, èíåðöèàëüíû, ãäå — ÷àñòîòà âîëíû â ñèñòåìå îòñ÷åòà íàáëþäàòåëÿ, - ÷àñòîòà âîëíû â ñèñòåìå îòñ÷åòà èñòî÷íèêà. Îòñþäà

Çäåñü çíàê «-» ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ èñòî÷íèêà îò íàáëþäàòåëÿ, à çíàê «+» — äâèæåíèþ èñòî÷íèêà ê íàáëþäàòåëþ.
Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòîòà âîëíû, ðåãèñòðèðóåìàÿ íàáëþäàòåëåì, îòëè÷àåòñÿ îò ÷àñòîòû âîëíû, èçëó÷àåìîé èñòî÷íèêîì, íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ äîïëåðîâñêîìó ñäâèãó ÷àñòîòû:

Ïóñòü òåïåðü èñòî÷íèê äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ w. Òîãäà îòíîñèòåëüíàÿ äëèíà âîëíû, âîñïðèíèìàåìàÿ íàáëþäàòåëåì, ðàâíà

ãäå u-wîòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà è íàáëþäàòåëÿ. Îòñþäà ÷àñòîòà âîëíû, âîñïðèíèìàåìàÿ íàáëþäàòåëåì, ðàâíà

Äëÿ äîïëåðîâñêîãî ñäâèãà ÷àñòîòû ïîëó÷àåì

Ñëåäîâàòåëüíî, äîïëåðîâñêèé ñäâèã ÷àñòîòû ðàâåí ÷àñòîòå âîëíû â ñèñòåìå îòñ÷åòà èñòî÷íèêà, óìíîæåííîé íà êîýôôèöèåíò, ðàâíûé îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè èñòî÷íèêà è íàáëþäàòåëÿ, äåëåííîé íà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå.
Èçìåðåíèå äîïëåðîâñêîãî ñìåùåíèÿ â ñïåêòðàõ ïîçâîëÿåò ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ è, íå âîçìóùàÿ èçìåðåíèåì äâèæåíèå è ñèñòåìó, îïðåäåëèòü ñêîðîñòè äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ. Ôðàíöóçñêèé ôèçèê À.Ôèçî ïðåäëîæèë (1848) èñïîëüçîâàòü ýôôåêò Äîïëåðà äëÿ èçìåðåíèÿ ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè çâåçä ïî ñìå-
123

ùåíèþ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé (ýôôåêò Äîïëåðà—Ôèçî). Îí çàìåòèë, ÷òî â ëèíåé÷àòûõ ñïåêòðàõ ìîæíî èçìåðÿòü ñìåùåíèå.  1867 ã. àíãëèéñêèé àñòðîíîì Ó. Õåããèíñ èçìåðèë äîïëåðîâñêîå ñìåùåíèå âîäîðîäíîé ëèíèè â ñïåêòðå Ñèðèóñà è ñðàâíèë åãî ñ òîé æå ëèíèåé â ñïåêòðå, ïîëó÷åííîì â ëàáîðàòîðèè. Îí çàêëþ÷èë, ÷òî ñêîðîñòü çâåçäû îòíîñèòåëüíî Çåìëè ðàâíà 66,6 êì/ñ, à îòíîñèòåëüíî Ñîëíöà — 47,3 êì/ñ. Íî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðèìåíèìîñòè ýôôåêòà Äîïëåðà ê ñâåòó íóæíî áûëî íàéòè îáúåêò, ñêîðîñòü êîòîðîãî ìîæíî áûëî áû èçìåðèòü è äðóãèì ñïîñîáîì.  1871 ã. íåìåöêèé àñòðîíîì Ã. Ôîãåëü èçìåðèë äîïëåðîâñêèå ñìåùåíèÿ äëÿ äâóõ òî÷åê ñîëíå÷íîãî ýêâàòîðà, íàõîäÿùèõñÿ íà êðàÿõ äèñêà, è îïðåäåëèë èõ ëèíåéíóþ ñêîðîñòü — 2 êì/ñ, ÷òî ñîâïàäàëî ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïî äâèæåíèþ ïÿòåí. Çàòåì îïðåäåëèëè ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ïëàíåò, êîëåö Ñàòóðíà, çâåçä âîêðóã ñâîåé îñè, ÿäåð è õâîñòîâ êîìåò.
Àêàäåìèê À. À. Áåëîïîëüñêèé ñ÷èòàë, ÷òî íóæíî ïðîâåñòè ïðîâåðêó â çåìíûõ óñëîâèÿõ, ïîñêîëüêó íåèçâåñòíû óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ â Êîñìîñå. Ñ ýòîé öåëüþ â 1894 ã. îí ðàçðàáîòàë óñòàíîâêó, ñîñòîÿâøóþ èç äâóõ êîëåñ, ê êàæäîìó èç íèõ â âèäå ëîïàñòåé ïðèêðåïëÿëèñü 8 ïëîñêèõ çåðêàë. Çåðêàëà îáîèõ êîëåñ áûëè ñòðîãî ïàðàëëåëüíû è âðàùàëèñü ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Ñúåìêè ïðîâîäèëèñü ïðè íåïîäâèæíûõ çåðêàëàõ è ïðè âðàùàþùèõñÿ ñ ÷àñòîòîé 32 — 44 îá/ñ (ýòî ñîîòâåòñòâîâàëî ïåðåìåùåíèþ èçîáðàæåíèÿ ñî ñêîðîñòüþ 240 — 330 ì/ñ). Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ äàëà õîðîøåå ñîâïàäåíèå ïî ÷èñëó îáîðîòîâ êîëåñ è äîïëåðîâñêîìó ñìåùåíèþ. Âðàùåíèå ïðîèçâîäèëîñü â îáå ñòîðîíû ïîî÷åðåäíî. Îïûò äëèëñÿ âñåãî 1 ÷, íî îí áüø íàèáîëåå óáåäèòåëüíûì â ïðèìåíåíèè ýôôåêòà Äîïëåðà ê ñâåòó.
Ýôôåêò Äîïëåðà êàê îñíîâíîé â îïòèêå äâèæóùèõñÿ ñðåä ñûãðàë ðåøàþùóþ ðîëü â îáîñíîâàíèè ÑÒÎ. Ôèçî ïîñòàâèë (1851) êëàññè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò ïî îïðåäåëåíèþ óâëå÷åíèÿ ýôèðà äâèæóùåéñÿ Çåìëåé. Îí çàñòàâèë èíòåðôåðèðîâàòü äâà ëó÷à ñâåòà, ïðîõîäÿùèõ ñòîëá âîäû: îäèí â íàïðàâëåíèè òå÷åíèÿ, à äðóãîé — ïðîòèâ íåãî. Åñëè ýôèð óâëåêàåòñÿ, òî ïîëîñû äîëæíû ñìåùàòüñÿ ïî îòíîøåíèþ ê ïîëîæåíèþ, ñîîòâåòñòâóþùåìó íåïîäâèæíîé âîäå. Ê òîìó æå ðåçóëüòàòó ïðèøëè Ý. Êåòòëåð (1871) è Ìàé-êåëüñîí è Ìîðëè (1886) — ýôèð äâèæåòñÿ âìåñòå ñ Çåìëåé. Ðàíåå Ìàéêåëüñîí ïûòàëñÿ îáíàðóæèòü «ýôèðíûé âåòåð» ïðè äâèæåíèè Çåìëè â ýôèðå, ïîñûëàÿ ñâåòîâûå ëó÷è ïî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïóòÿì è çàñòàâëÿÿ èõ èíòåðôåðèðîâàòü. Õîòÿ ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü Çåìëè (29,7 êì/ñ) ìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà è óñòàíîâêà ïîçâîëÿëà çàñå÷ü è â 100 ðàç ìåíüøèé ýôôåêò, îïûò äàë îòðèöàòåëüíûé ðåçóëüòàò. Îïûòû, ïîêàçûâàâøèå óâëå÷åíèå ýôèðà, ïðîòèâîðå÷èëè îáúÿñíåíèþ ÿâëåíèÿ àáåððàöèè (îò ëàò. aberratio— îòêëîíåíèå), òðåáîâàâøåé íåïîäâèæíîñòè ýôèðà. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå áûëî ðàçðåøåíî îòêàçîì îò ýôèðà è ñîçäàíèåì ÑÒÎ.
124

Êîãäà êàðòèíà ìèðà ñòàëà ìåíÿòüñÿ íà êâàíòîâóþ, âîçíèêëà íåîáõîäèìîñòü â èíîì îáúÿñíåíèè ýôôåêòà Äîïëåðà. Êàê îòìå÷àë èçâåñòíûé íåìåöêèé ôèçèê À. Çîììåðôåëüä, êàçàëîñü ïî÷òè íåâîçìîæíûì òðàêòîâàòü ýôôåêò Äîïëåðà êàê îáóñëîâëåííûé âçàèìíûì ñáëèæåíèåì èëè óäàëåíèåì âîëíîâûõ ïîâåðõíîñòåé.  1922 ã. îäèí èç ñîçäàòåëåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè àâñòðèéñêèé ôèçèê-òåîðåòèê Ý. Øðåäèíãåð äàë òàêîå îáîáùåíèå ôîðìóëû Äîïëåðà äëÿ ÷àñòîòû íà ñëó÷àé áîëüøèõ ñêîðîñòåé.
Ìåòîä äëÿ èçìåðåíèé ñêîðîñòåé çâåçä è ãàëàêòèê, îñíîâàííûé íà ýôôåêòå Äîïëåðà, ïîëó÷èë â àñòðîíîìèè íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùåå ïðèìåíåíèå.
Ñïåêòðû ãàëàêòèê ñëàáû, èçìåðåíèÿ äîñòàòî÷íî òðóäíû. Àìåðèêàíñêèé àñòðîíîì Â.Ñëàéôåð ñ ïîìîùüþ ìîùíîãî ñïåêòðîãðàôà, ñîåäèíåííîãî ñ òåëåñêîïîì, èçìåðèë äîïëåðîâñêèé ñäâèã â ñïåêòðå òóìàííîñòè Àíäðîìåäû (1912), çàòåì — åùå â òðèíàäöàòè ñïèðàëüíûõ ãàëàêòèêàõ. Ñêîðîñòè áîëüøèíñòâà èç íèõ áûëè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó îò Çåìëè è ñîñòàâëÿëè äî 1800 êì/ñ. Ê 1925 ã. Ñëàéôåð èçìåðèë ëó÷åâûå ñêîðîñòè åùå 45 ñïèðàëüíûõ ãàëàêòèê, è âñå îíè, êðîìå íåñêîëüêèõ áëèæàéøèõ, óäàëÿëèñü, à ñêîðîñòü óäàëåíèÿ ïî÷åìó-òî âîçðàñòàëà ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ èõ ÿðêîñòè, áóäòî îíè ðàçáåãàëèñü îò Ìëå÷íîãî Ïóòè âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ ñ âîçðàñòàþùåé ñêîðîñòüþ. ×òîáû ñîãëàñîâàòü ýòî ñ îäíîðîäíûì ðàñïðåäåëåíèåì ãàëàêòèê â ïðîñòðàíñòâå, ïðèøëîñü ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî — îäíîðîäíîå ðàñøèðåíèå. Íî òîãäà èõ ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü (ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè íà ëó÷ çðåíèÿ) äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ äî íèõ. Òàê, åñëè ãàëàêòèêà âûãëÿäèò â 100 ðàç ñëàáåå, çíà÷èò, îíà â 10 ðàç äàëüøå. Ãàëàêòèêè èç ñïèñêà Ñëàéôåðà èìåëè ëó÷åâóþ ñêîðîñòü 1800 êì/ñ, à ðàñïîëîæåííûå â 10 ðàç äàëüøå — 180000 êì/ñ (ïîëîâèíà çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè ñâåòà).

Äëÿ ôîðìóëèðîâàíèÿ çàêîíà ïðèøëîñü èñêàòü âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ äî ãàëàêòèê íåçàâèñèìûì îáðàçîì. Ïàðàëëàêñ äëÿ áëèæíèõ çâåçä ìîæíî èçìåðèòü ïî ìåòîäó, ïðåäëîæåííîìó åùå Ôàëåñîì, äëÿ äàëåêèõ — èñêàòü íåêèé èíäèêàòîð ðàññòîÿíèé. Àìåðèêàíñêèé àñòðîíîì Ã.Ëåâèòò îáðàòèëà âíèìàíèå íà ÷åòêóþ çàâèñèìîñòü ïåðèîäà öåôåèä îò ÿðêîñòè (ðèñ. 3.7). Öåôåèäû — íàèáîëåå ÿðêèå çâåçäû â íåáîëüøîé áëèæàéøåé ê íàì ãàëàêòèêå — Ìàëîì Ìàãåëëàíîâîì Îáëàêå. Íàçâàíèå îíè ïîëó÷èëè îò òèïè÷íîé öåôåèäû — äåëüòà çâåçäû ñîçâåçäèÿ Öåôåÿ. Äàòñêèé àñòðîíîì Ý. Ãåðöøïðóíã ñðàçó îöåíèë èäåþ Ëåâèòò è îòêà-ëèáðîâàë âûâåäåííóþ åþ çàâèñèìîñòü ïåðèîä-ÿðêîñòü â ïåðèîä-ñâåòèìîñòü è îïðåäåëèë ðàññòîÿíèå äî ýòîé ãàëàêòèêè â 200 òûñ. ñâ. ëåò. Õàááë ñ ïîìîùüþ 100-äþéìîâîãî òåëåñêîïà îáíàðóæèë öåôåèäû â íåñêîëüêèõ ãàëàêòè-

125

êàõ è ñìîã îöåíèòü ðàññòîÿíèå äî íèõ. Òàê Õàááë â 1929 ã. âûâåë ïðÿìóþ ëèíèþ íà ãðàôèêå çàâèñèìîñòè ñêîðîñòåé äàëåêèõ ãàëàêòèê îò ðàññòîÿíèÿ äî íèõ (ðèñ. 3.8).
Èòàê, ñêîðîñòè óäàëåíèÿ vãàëàêòèê âîçðàñòàþò ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòîÿíèþ äî íèõ: v= Í r, ãäå Í — ïîñòîÿííàÿ Õàááëà. Ñåé÷àñ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî H = 75 êì/(ñ • Ìïê).
Ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé — ñàìîå ãðàíäèîçíîå èç èçâåñòíûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ÿâëåíèé ïðèðîäû. Åñëè äîïóñòèòü, ÷òî îíî è ðàíüøå ïðîèñõîäèëî òåìè æå òåìïàìè, òî ìîæíî îöåíèòü, êîãäà æå íà÷àëîñü ðàñøèðåíèå. Ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè ñîñòàâëÿåò 13 — 20 ìëðä ëåò. Òàêèì îáðàçîì, ñìåùåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé èç-çà ýôôåêòà Äîïëåðà ïðèâåëî ê íîâîé êàðòèíå ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé.

3.10. ßâëåíèå ðåçîíàíñà. Ðåçîíàíñû â äâèæåíèè ïëàíåò

ßâëåíèå ðåçîíàíñà — ýòî ðåçêîå âîçðàñòàíèå àìïëèòóä âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé, ïðîèñõîäÿùåå ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ñèñòåìû èëè ïðè ïðèáëèæåíèè ê íåé. ßâëåíèå èìååò íàèáîëåå ïðîñòîé õàðàêòåð, åñëè âíåøíåå âîçäåéñòâèå íå ìåíÿåò êîëåáàòåëüíûõ ñâîéñòâ ñèñòåìû è ñâîéñòâà ñèñòåìû, ñî ñâîåé ñòîðîíû, íå ìåíÿþò âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ. Åñëè îòíîøåíèÿ ÷àñòîò êîëåáàíèé êðàòíû îòíîøåíèþ öåëûõ ÷èñåë, ãîâîðÿò, ÷òî îíè íàõîäÿòñÿ â ðåçîíàíñå. Ïðè ýòîì åñëè âçàèìîäåéñòâèå òåë ïîääåðæèâàåò êðàòíîñòü ÷àñòîò, òî ðåçîíàíñ óñòîé÷èâ. Âîîáùå ñâîéñòâà ðåçîíàíñà ÷àñòîò îáåñïå÷èâàþò óñòîé÷èâîñòü âðàùåíèé è îáðàùåíèé â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå. Âðàùåíèå Ëóíû ðåçîíàíñíî åå îáðàùåíèþ.
 ñåðåäèíå XVII â. íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ä.Òèöèóñ äëÿ ðÿäà èç ðàññòîÿíèé ïëàíåò äî Ñîëíöà íàøåë ïðàâèëî: S = 0,4 + 0,3 • 2n, n=1, 2, 3, ..., ãäå è — íîìåðà ïëàíåò â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå. Àñòðîíîì È.Ý.Áîäå äàë ðàçúÿñíåíèÿ, è ïîëó÷èëîñü ïðàâèëî ðàññòîÿíèé Òèöèóñà—Áîäå. Îòëè÷èå îò ðåàëüíîñòè áûëî ïîðÿäêà 2,4 %.  1956 ã. àñòðîíîì Â. ×èñòÿêîâ íàøåë äðóãóþ ãàðìîíèþ: íàòóðàëüíûå ëîãàðèôìû áîëüøèõ ïîëóîñåé ïëàíåò ëîæàòñÿ íà ïðÿìóþ ëèíèþ. Åñòü ïîïûòêè âûðàçèòü ñîãëàñîâàííîñòü ÷åðåç «çîëîòóþ ïðîïîðöèþ», ÷åðåç ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è. Ïîèñêè ñêðûòîãî ñìûñëà çàêîíîìåðíîñòåé ñòðîåíèÿ Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ïðî-
126

äîëæàþòñÿ, â ýòîì îòðàæàåòñÿ åäèíñòâî ïðèðîäû è åäèíñòâî íàóêè.
Ñèíõðîíèçàöèÿ âðàùàþùèõñÿ òåë â òåõíèêå çàñòàâëÿåò âðàùàòüñÿ ñ îäèíàêîâûìè èëè êðàòíûìè ñêîðîñòÿìè íåñêîëüêî ðîòîðîâ, ñâÿçàííûõ ìàëûìè ñèëàìè. Ïðè ýòîì ìåæäó âðàùåíèÿìè óñòàíàâëèâàþòñÿ îïðåäåëåííûå ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïîäîáíîå ìîæíî îæèäàòü è â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå, è â ðåãóëÿðèçàöèè èçëó÷åíèÿ çâåçä. Ìíîãèå ìèëëèîíû ëåò ýâîëþöèîíèðîâàëî ãàçîïûëåâîå îáëàêî, âðàùàÿñü âîêðóã Ñîëíöà. Ðèòìû ýòèõ âðàùåíèé ñêàçûâàëèñü â ôîðìèðîâàíèè êîìî÷êîâ ìàòåðèè, âîêðóã êîòîðûõ ãðóïïèðîâàëèñü äðóãèå, äàâøèå íà÷àëî ïëàíåòàì.
Âðàùàþòñÿ âñå ïëàíåòû è èõ ñïóòíèêè, è óãëîâàÿ ñêîðîñòü èõ âðàùåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ìàññå. Âåðîÿòíî, ýòî — ñëåäñòâèå îáðàçîâàíèÿ ïëàíåò èç îäíîé òóìàííîñòè. Ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèö ñèëüíåå ïðîèñõîäèëè â öåíòðå ìàññ ñèñòåìû, êóäà ñîáèðàëñÿ ïî÷òè âåñü ãàç ïåðâîíà÷àëüíîé òóìàííîñòè — îáðàçîâàëîñü Ñîëíöå. Íî ïî÷òè âåñü ìîìåíò èìïóëüñà îêàçàëñÿ ñîñðåäîòî÷åííûì â ïëàíåòàõ. Êîãäà íà Ñîëíöå íà÷àëèñü òåðìîÿäåðíûå ðåàêöèè, îíî ñòàëî çâåçäîé, ëåãêèå ãàçû ïîä äåéñòâèåì åãî èçëó÷åíèÿ ñîáðàëèñü íà ïåðèôåðèè âðàùàþùåéñÿ òóìàííîñòè. Òàê îáðàçîâàëèñü áîëüøèå ïëàíåòû — ãàçîâûå øàðû. Ïëàíåòû æå çåìíîé ãðóïïû îáðàçîâàíû èç áîëåå òâåðäîãî âåùåñòâà. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ïðè ñæàòèè âåùåñòâà âðàùàþùåéñÿ òóìàííîñòè â ïëîòíûå øàðû ñêîðîñòü âðàùåíèÿ äîëæíà ðàñòè. Ïîýòîìó ó ïëàíåò-ãèãàíòîâ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ îêàçûâàåòñÿ áîëüøå. È çàâèñèìîñòü óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ îò ìàññ ïëàíåò ïî÷òè ëèíåéíà. Îòêëîíåíèÿ ñâÿçàíû ñ çàìåäëåíèåì, âûçâàííûì òîðìîçÿùèì äåéñòâèåì ñïóòíèêîâ ïëàíåò.
 ñèñòåìå Çåìëÿ—Ëóíà îòíîøåíèå ìàññ ñîñòàâëÿåò âñåãî  1/81,3, è îíè òîðìîçèëè äðóã äðóãà. Ñðåäíåå ðàññòîÿíèå äî Ëóíû Ó äðóãèõ ïëàíåò ñïóòíèêè ìíîãî ëåã÷å (êðîìå
Ïëóòîíà è åãî ñïóòíèêà Õàðîíà). Õîòÿ â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå åñòü ñïóòíèêè è áîëåå áëèçêèå ê ñâîèì ïëàíåòàì, íî ñîëíå÷íûå çàòìåíèÿ íà Çåìëå îñîáåííûå — óãëîâûå äèàìåòðû Ñîëíöà è Ëóíû ïî÷òè ðàâíû äðóã äðóãó, è ïîýòîìó áûâàþò ïîëíûå ñîëíå÷íûå çàòìåíèÿ. Ïîä äåéñòâèåì ïðèòÿæåíèÿ Ëóíû çåìíàÿ îðáèòà èñïûòûâàåò êîëåáàíèÿ, àìïëèòóäà êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ  = 4700 êì. Ïîýòîìó îðáèòà Çåìëè íåñêîëüêî «âîëíîîáðàçíà», è â êàæäîå ïîëíîëóíèå (Ñîëíöå è Ëóíà íàõîäÿòñÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò Çåìëè) ìû áëèæå ê Ñîëíöó íà 1,5 R3, ÷åì â ïðåäûäóùåå. Ýòî êîëåáàíèå ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ âûòÿíóòîñòüþ îðáèòû Çåìëè, íî ìåíÿåò äâèæåíèå Ëóíû — ñîâîêóïíîñòü åå îðáèò çà âðåìÿ ïðåöåññèè Çåìëè (ñ ïåðèîäîì 26 òûñ. ëåò) ïðåäñòàâëÿåò íåêèé òîð. Åãî âîçäåéñòâèå íà Çåìëþ ðàâíî óñðåäíåííîìó çà ýòî âðåìÿ äåéñòâèþ Ëóíû. Ñïëþñíóòîñòü Çåìëè, ñîñòàâëÿþùàÿ âñåãî 1/300, äîñòàòî÷íà äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèòÿæåíèå ýòèì «áóáëèêîì» ýêâàòîðèàëüíî-
127

ãî óøèðåíèÿ ôèãóðû Çåìëè ñîçäàëî ïàðó ñèë, ñòðåìÿùóþñÿ ðàçâåðíóòü Çåìëþ òàê, ÷òîáû åå ýêâàòîð ñîâïàë ñ ïëîñêîñòüþ ýêëèïòèêè. Åñëè áû Ëóíû íå áûëî, çåìíàÿ îñü âñå ðàâíî èñïûòûâàëà áû ïðåöåññèþ ïîä äåéñòâèåì Ñîëíöà è ïëàíåò, íî åå ïåðèîä ïðåöåññèè áûë áû îêîëî 100 òûñ. ëåò, à Ëóíà ìåíÿåò åãî. Åùå áîëüøå ñêàçûâàåòñÿ áëèçîñòü Ëóíû â ÿâëåíèè ïðèëèâîâ è îòëèâîâ.
Ïðèëèâû âûçûâàþòñÿ Ñîëíöåì è Ëóíîé íå òîëüêî â âîäíîé îáîëî÷êå Çåìëè. Ïîä èõ âëèÿíèåì äàæå òâåðäàÿ Çåìëÿ íåñêîëüêî óäëèíÿåòñÿ — äî 30 ñì. Çåìëÿ òîæå «âûòÿãèâàåò» Ëóíó íà 40 ñì. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå Ñîëíöà è Ëóíû ìåíÿåò âåëè÷èíó ïðèëèâîâ. Åñëè èõ ïðèëèâíûå äåéñòâèÿ ñêëàäûâàþòñÿ (âî âðåìÿ ïîëíîëóíèÿ èëè íîâîëóíèÿ), òî ïðèëèâû áîëüøèå — ñèçèãèéíûå (îò ãðå÷. syzygia— ñîåäèíåíèå, ïàðà), åñëè Ëóíà íàõîäèòñÿ â ïåðâîé èëè òðåòüåé ÷åòâåðòè, òî ïðèëèâû ñóùåñòâåííî ìåíüøå è íàçûâàþòñÿ êâàäðàòóðíûìè. Èç-çà ïðèëèâíûõ ñèë Ëóíà îáðàùåíà ê Çåìëå îäíîé ñòîðîíîé, åå ïåðèîä âðàùåíèÿ âîêðóã ñâîåé îñè ñðàâíÿëñÿ ñ åå «ãîäîì».
Ïî÷òè â òîé æå ñèòóàöèè íàõîäèòñÿ Ìåðêóðèé: åãî ñóòêè ðàâíû 59 çåìíûì, è îí óñïåâàåò âñåãî òðè ðàçà îáåðíóòüñÿ âîêðóã ñâîåé îñè çà äâà îáîðîòà âîêðóã Ñîëíöà, ò. å. çà ñâîè ñóòêè ïðîõîäèò 2/3 ñâîåãî ãîäîâîãî ïóòè. Íà Âåíåðå âðàùåíèå ïðîèñõîäèò òîæå ìåäëåííî. Ñóùåñòâóåò ãèïîòåçà, ÷òî Ìåðêóðèé è Âåíåðà ðàíüøå âðàùàëèñü ïî îäíîé îðáèòå. Ó Ìåðêóðèÿ íàèáîëüøàÿ âûòÿíóòîñòü îðáèòû, è Ñîëíöå, ðàñïîëîæåííîå â ôîêóñå ýëëèïñà, çíà÷èòåëüíî ñìåùåíî îò öåíòðà, ïîýòîìó ñêîðîñòü ó Ìåðêóðèÿ â ïåðèãåëèè â 1,52 ðàçà âûøå, ÷åì â àôåëèè. Îöåíèì ïåðèîä ìåæäó äâóìÿ âîñõîäàìè Ñîëíöà íà Ìåðêóðèè
 Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñîëíå÷íûå ñóòêè íà Ìåðêóðèè âòðîå áîëüøå çâåçäíûõ è âäâîå áîëüøå ïåðèîäà îáðàùåíèÿ. Åñëè íàðèñîâàòü «ãîäîâîé ïóòü» Ìåðêóðèÿ, òî âèäíî, ÷òî â ïåðèãåëèè Ìåðêóðèé îáðà-
128

ùåí ê Ñîëíöó òî îäíèì áîêîì, òî äðóãèì, à â àôåëèè ïðîãðåâàþòñÿ åãî ïîëþñû.
Ó Âåíåðû îñü âðàùåíèÿ ïî÷òè ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè åå îðáèòû, ïîýòîìó ìîæíî ïðèïèñàòü çíàê ìèíóñ åå ïåðèîäó âðàùåíèÿ: Ð = = -243,16 ñóò. Îíà âðàùàåòñÿ ìåäëåííåå è â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó, â îòëè÷èå îò äðóãèõ ïëàíåò, êðîìå Óðàíà. Äëÿ íèõ ìîìåíò îðáèòàëüíîãî èìïóëüñà áëèçîê ê ìîìåíòó èìïóëüñà ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ. Ïåðèîäû âðàùåíèÿ Ð èîáðàùåíèÿ Ò Âåíåðû ñâÿçàíû ñ ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ Çåìëè Ò3ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì: Âû÷èñëèì ïåðèîä
ñáëèæåíèÿ íà ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå Âåíåðû ñ Çåìëåé (ñîåäèíåíèé ïëàíåò): = 583,92 ñóò. Ïåðåéäåì â
ñèñòåìó îòñ÷åòà íåïîäâèæíîé Çåìëè, è òåïåðü ïåðèîä ñáëèæåíèÿ îêàæåòñÿ âðåìåíåì âîçâðàùåíèÿ Âåíåðû ê Çåìëå ïîñëå îáîðîòà åå âîêðóã Ñîëíöà. Ïîëó÷åííîå ÷èñëî 583,92 çåìíûõ ñóòîê ñîîòâåòñòâóåò ïÿòè ñóòêàì íà Âåíåðå, ò.å. çà âðåìÿ ìåæäó ñáëèæåíèÿìè Âåíåðû ñ Çåìëåé íàä ãîðèçîíòîì Âåíåðû Ñîëíöå âçîéäåò âñåãî ïÿòü ðàç. È  = 116,8 — ýòî
ñîëíå÷íûå ñóòêè Âåíåðû.
Ïîñêîëüêó  = 146,0, òî íàáëþäàòåëü íà Âåíåðå óâèäåë áû çà ýòî
âðåìÿ âîñõîä Çåìëè ðîâíî 4 ðàçà. Çíà÷èò, â ìîìåíòû ñîåäèíåíèé Âåíåðà ïîâåðíóòà ê Çåìëå âñåãäà îäíîé ñòîðîíîé (â öåíòðå ýòîé «íàøåé» ñòîðîíû íàõîäèòñÿ âûñîêàÿ ãîðà — âóëêàí Ìàêñâåëë). Êðîìå òîãî, ïåðèîäû îáðàùåíèÿ Âåíåðû è Çåìëè ñîîòíîñÿòñÿ êàê 8:13, ò.å. çà 8 ëåò ïðîèñõîäèò 13 îáîðîòîâ Âåíåðû âîêðóã Ñîëíöà è 5 ñîåäèíåíèé ñ Çåìëåé. Íå òîëüêî Âåíåðà, à âñÿ ñèñòåìà Ñîëíöå—Âåíåðà—Çåìëÿ îðèåíòèðóåòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê çâåçäàì îäíèì èç ïÿòè ñïîñîáîâ, à íå ïðîèçâîëüíî. È ýòà óïîðÿäî÷åííàÿ ñèòóàöèÿ ïîâòîðÿåòñÿ (ðèñ. 3.9).
Áîëüøèå ïëàíåòû ïðè âðàùåíèè èìåþò ñâîè îñîáåííîñòè, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî îíè — ãàçîâûå øàðû. Ïëàíåòû çåìíîé ãðóïïû âðàùàþòñÿ êàê òâåðäûå òåëà, òîãäà êàê ñêîðîñòè âðàùåíèé ïëàíåò-ãèãàíòîâ çàâèñÿò îò øèðîòû è, âèäèìî, îò ãëóáèíû. Âñå ýòè êèíåìàòè÷åñêèå îñîáåííîñòè ïëàíåò ñêàçûâàþòñÿ íà èõ âíóòðåííåé äèíàìèêå è ñâÿçàíû ñ ýâîëþöèåé ïëàíåòû.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè è ïîâòîðåíèÿ

  1. Ñôîðìóëèðóéòå îñíîâíûå çàêîíû è ïîíÿòèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Êàê ìîäåëèðóåòñÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ è áîëåå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû çàäà÷, â êîòîðûõ ìîæíî ñ÷èòàòü Çåìëþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, à â êàêèõ — íåëüçÿ.
  2. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå è ñâÿæèòå èõ ñ çàêîíîì äèíàìèêè Íüþòîíà. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ýòèõ çàêîíîâ. Êàê îíè ñâÿçàíû ñî ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè è ïî÷åìó ôóíäàìåíòàëüíû?
  3. Äàéòå ïðåäñòàâëåíèå î ìîäåëè ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà è èñïîëüçîâàíèè ýòîé ìîäåëè. ×òî òàêîå «êîãåðåíòíîñòü», «ðåçîíàíñ», «ïîëÿðèçàöèÿ»? Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó Ëóíà îáðàùåíà ê Çåìëå îäíîé ñòîðîíîé.
  4.  ÷åì ñóòü çàêîíîâ Êåïëåðà? Ïîÿñíèòå èõ ñâÿçü ñ çàêîíîì âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Íàñêîëüêî ïðèìåíèìà ìîäåëü, ïðèíÿòàÿ Íüþòîíîì? È êàê îíà áûëà óòî÷íåíà?

129

  1. Ïîÿñíèòå ïîíÿòèÿ «ýíåðãèÿ» è «ñèëà», óêàæèòå íà ñâÿçü ìåæäó íèìè. Êàêèå âèäû ýíåðãèè âû çíàåòå? Â êàêèõ ñèñòåìàõ ýíåðãèÿ ñîõðàíÿåòñÿ, êàê çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñâÿçàí ñî ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè?
  2. Ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâà ñïðàâåäëèâîñòè è ïðèìåíèìîñòè çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ íà Çåìëå, â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå è çà åå ïðåäåëàìè. Êàêèå ÿâëåíèÿ, ïðîèçîøåäøèå â ïîñëåäíèå ãîäû è ïîäòâåðæäàþùèå ýòîò çàêîí, âû ìîæåòå ïðèâåñòè?
  3. Ïîÿñíèòå ïîíÿòèÿ «ìîìåíò ñèëû» è «ìîìåíò èìïóëüñà». Êàê èçìåíÿþòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ, ïîëíàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ïëàíåòû ïðè åå äâèæåíèè âîêðóã Ñîëíöà?  êàêîå âðåìÿ ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ Çåìëè ïî îðáèòå íàèáîëüøàÿ è ïî÷åìó?
  4. Îïèøèòå, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ âåñ òåëà ïðè äâèæåíèè åãî îò ïîâåðõíîñòè Çåìëè ê Ëóíå. Îáúÿñíèòå ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ ïðèëèâîâ íà Çåìëå è îñîáåííîñòè íàáëþäåíèÿ çà çàòìåíèÿìè Ëóíû è Ñîëíöà.
  5.  ÷åì ñîñòîèò ýôôåêò Äîïëåðà è êàêîâà åãî ðîëü â èññëåäîâàíèè çâåçä, Âñåëåííîé?

10.  Êàê ðåàëèçîâàëèñü â ïîñòðîåíèè íàóêè î äâèæåíèè ìàòåðèè äåäóê
òèâíûé è èíäóêòèâíûé ìåòîäû? Ïîñòðîéòå ëîãè÷åñêóþ ñõåìó ïîñòðîåíèÿ
ìåõàíèêè è ñìåæíûõ äèñöèïëèí. Îöåíèòå, ê êàêèì îáúåêòàì è â êàêîé
ñòåïåíè ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ìîäåëè, èñïîëüçóåìûå â ìåõàíèêå.
.

Âàø êîììåíòàðèé î êíèãå
Îáðàòíî â ðàçäåë Íàóêà

Ñïèñîê òåãîâ:
êîìåòà ãàëëåÿ 











 





Íàâåðõ

sitemap:
Âñå ïðàâà íà êíèãè ïðèíàäëåæàò èõ àâòîðàì. Åñëè Âû àâòîð òîé èëè èíîé êíèãè è íå æåëàåòå, ÷òîáû êíèãà áûëà îïóáëèêîâàíà íà ýòîì ñàéòå, ñîîáùèòå íàì.