Лосев А. Критические заметки о буржуазной математической логике

Публикация А.А.Тахо-Годи,
подготовка рукописи к публикации и примечания
В.П.Троицкого

Источник: Историко-математические исследования, вып. 8 (43), 2003, с. 339–401.

Огромное распространение идей т.н. математической логики или логистики общеизвестно. Теперь это уже перестает быть каким-то одним из методов логики и грозит оттеснить всякую иную логику1. В последнем американском философском словаре2 <...> уже нет вообще никакой другой логики кроме логистики, и в статье «Логика» этого словаря мы находим просто изложение логистики. К логистике тянется логика, но к логистике тянется и математика. С одной стороны, мы наблюдаем мощную линию: А. де Морган (1806–1876) – Г.Буль (1815–1864) – С.Джевонс (1835–1882) – С.Пирс (1839–1914) – Э.Шредер (1890– 1895) и, особенно D.Hilbert и W.Ackermann, Grundzuge der theoretischen Logic. Berl. 1928. 19372* , которая разрабатывает логику математическими средствами. С другой стороны, мы имеем также мощную магистраль: Г.Фреге (Begriffsschrift. 1879, Grundgesetze der Arithmetik. 1893–1904) – Г.Пеано (Formulaire de Mathematiques, изд. с 1894 г.) – N.Whithead and B. Russell. Principia mathematica. <(1910–1913)> – D.Hilbert (в ряде трудов), магистраль, обрабатывающую, наоборот, математику логическими средствами. Обе эти линии3 образуют в настоящее время мощную цитадель логистики, от которой весьма заметно отстает наша научная логика, не говоря уже об отставании от нее школьных дисциплин, которые в настоящее время введены или вводятся в среднее и высшее образование.

Может ли логика пройти мимо этой большой отрасли науки, мимо этого сильного и на многое претендующего метода? Можем ли мы остаться безучастными к логистике в наших усилиях создать и разработать логику, соответствующую современному философскому сознанию? Мне казалось бы своевременным обратить внимание на некоторые особенности логистики, вытекающие из ее буржуазной философской сущности и вскрывающие ее конкретное лицо как мощного орудия современной буржуазной мысли. Мне кажется, мы слишком спешим с безоговорочным признанием этого метода и слишком пугаемся этого страшного для многих и гордого названия «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ логика». Точность математики и низкопоклонство перед буржуазной наукой терроризируют здесь мысль, и многие – еще до всякого критического ознакомления с логистикой – уже заранее переносят эту точность и на самую логистику. Так ли это на самом деле, – это нам и хотелось бы вскрыть в настоящих заметках.

§ 1. Черты догматической метафизики в современной логистике

1. Прежде всего, вся эта туча формул логистики, перед которой почтительно никнет головой всякий математически необразованный философ и логик, возможна только в силу длинного ряда догматических предпосылок, воспринятых логистикой из общего лона буржуазной философии ХIХ – ХХ вв., предпосылок, которые здесь сами собой разумеются, но которые вовсе не обязательны для критического ума, свободного от буржуазных математических предрассудков. Не то, чтобы все эти предпосылки были все обязательно ложны или плохи или противоречивы. Но всякий критический ум, после ознакомления с логистикой, никак не может понять, почему такая логика есть нечто обязательное, абсолютное, почему нужно рассуждать именно так, а не иначе. Есть другие методы, и есть другие области логики. Почему мы должны строить логику именно так, а не иначе? Почему мы должны изгнать всякую другую логику из энциклопедических словарей и в справочных изданиях (которые как раз рассчитаны на всех образованных людей) говорить только о логистике?

Всмотримся в эти догматические предпосылки, лежащие в основе современной математической логики. Тут две линии. Одна – это логика, обрабатываемая математическими средствами; и другая – это математика, обрабатываемая логическими средствами. Эти две точки зрения, в конце концов, сливаются в одну, но до известного предела их можно проводить и врозь. Кроме того, необходимо тут же заметить, что наши наблюдения над логистикой совершенно не ставят никакого принципиального вопроса о взаимоотношения логики и математики, как он ставился бы и решался бы автором этой работы. Мы только ограничимся голым утверждением, что как возможен и нужен перевод логики на язык математики, так возможно и необходимо и применение математики к построению логики. Очень важна для философии логика математики, и очень важна математика логики. Однако мы ни в одной строке не даем своего собственного построения соответствующей системы, и мы хотим только указать, что критика логистики отнюдь еще не означает требования разрыва логики и математики. Наоборот, нам кажется, что в логистике эти науки недостаточно объединены и что более глубокого их объединения можно достигнуть другими, не логистическими методами4, хотя, при условии очищения логистики от произвольной метафизики, она также является в этой области весьма мощным орудием. Задача настоящей статьи чисто критическая, а именно вскрытие догматических и метафизических интерпретаций логистики; свои же положительные построения в этой области автор дает в других своих работах.5

2. Если под метафизикой понимать абсолютизирование какого-нибудь одного вида или момента бытия и значения в ущерб другим моментам и в ущерб живой цельности человеческого опыта и практики, то логистика в значительной своей части основана на догматической метафизике. Первое, что при изучении логистики бросается в глаза всякому знакомому с основами логики, это – контраст между критическим и напряженно-смысловым характером логики и математики, с одной стороны, и некритическим, бездоказательным догматизмом логистики, с другой. Этот догматизм проявляется как в допущении ряда предрассудков, часто даже плохо осознаваемых, так и во внешней манере выставлять в самом начале ничем не доказанные принципы, затушевывая и далеко запрятывая те основания, по которым эти принципы фактически выдвигаются.

Во-первых, большинство логистиков, считая математику ветвью логики, к сожалению, ставят себе при этом задачу не просто перевода математики на язык логики, но изгнания из математики всякой интуиции. Думают, что при обычном подходе и арифметика и геометрия трактуются как основанные на непосредственных и наглядных представлениях, а вот мы-де, сводя это на логику, докажем, что наглядные представления тут вовсе не при чем. Но это – философская наивность и некритическая метафизика, совершенно не отвечающая действительности. С марксистско-ленинской точки зрения нет совершенно никаких оснований изгонять интуитивное мышление в пользу дискурсивного мышления или изгонять дискурсивное в пользу интуитивного. Для критической логики совершенно нет никакого ни интуитивного, ни дискурсивного мышления, а есть одно цельное и живое мышление (ибо мышление именно таково, когда оно отражает цельную и живую действительность), в котором, именно, ради абстракции и анализа, можно выделять множество разных несамостоятельных моментов и в том числе моменты наглядности и дискурсии. Логистики, по-видимому, думают так, что если в тройке заключено три единицы, то больше ничего в этой тройке и нет. А это как раз – догматическая метафизика. Тройка, во-первых, состоит из трех единиц, а, во-вторых, не состоит из них и есть некая неделимая, абсолютно-целостная индивидуальность. Если бы тройка состояла для нас только из трех изолированных единиц, то мы не могли бы понять, что такое «миллион», потому что понимание миллиона реализуется у нас уже во всяком случае без всякого раздельного представления всего этого миллиона изолированных единиц. Если счет понимать обязательно как дискурсивный вывод (что, конечно, тоже совершенно неправильно), то во всяком случае тройка как целостная индивидуальность дана сразу и без «вывода», без «счета», т.е. чисто наглядно. Всякое число обязательно и состоит и не состоит из отдельных единиц. Какой же может быть смысл понимать числа и операции над ними только вне всяких интуитивных моментов? Это – произвольная метафизика. Зачем философии также добиваться во что бы то ни стало свести геометрию на отвлеченно-логические операции? Что отвлеченно-логические операции налицо в самом наглядном геометрическом мышлении, это ясно. Что их выделять можно и нужно, тоже ясно. Но зачем же обязательно сводить на них всю геометрию? Независимость дискурсии от интуиции – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика.

Шкаф состоит из досок, гвоздей, стекла и краски. Можно и нужно говорить об этих отдельных частях шкафа. Но отдельная доска не есть шкаф; и даже все доски, из которых сделан шкаф, не есть шкаф. Гвозди, ни каждый в отдельности, ни все взятые вместе, не есть шкаф. Стекло и стекла тоже не есть шкаф. Где же тут самый-то шкаф? Очевидно, что хотя в шкафе фактически нет ничего кроме всех этих частей, самый шкаф есть некая цельность, которая не делится на эти части без остатка; и учитывать одни только эти части, не учитывая того, что это суть части именно шкафа, это значит утерять и самое представление шкафа. Диалектический материализм учит, как всякая цельность только и состоит из определенных своих частей и не из чего другого и как одновременно с этим никакая цельность не сводима на отдельные ее части без остатка. Это значит, что дискурсивный состав нашего представления о предмете до последней глубины переплетен с наглядной фиксацией данного предмета, и оторвать одно от другого – это значит утерять самый предмет. Абсолютный рационализм или формализм и абстрактный интуитивизм суть одинаково детища буржуазной метафизики, оторванные от живого общения с бытием.

Во-вторых, догматической метафизикой является безусловная уверенность в том, что математика есть дедуктивная наука. Этот предрассудок, владеющий умами с древних времен, остался незыблемым и для логистики. Наоборот, от тут получил еще большее заострение. Логистики формулируют некоторое небольшое количество исходных определений и аксиом и из них «дедуцируют» всю математику. Рассел в 1903 году формулировал 9 неопределенных понятий и 20 недоказуемых положений, из которых у него логически вытекает решительно вся математика. Таким образом, дедуктивизм тут выдвинут еще больше, чем в традиционном предрассудке на эту тему.

1) Едва ли тезис о безусловной дедуктивности математики может быть теперь защищаем полностью. Ясно, прежде всего, что этот тезис не есть результат самой математики, но есть результат определенного теоретизирования над нею. Совсем не обязательно при нахождении всякой новой теоремы выводить ее из тех или других аксиом. В дальнейшем, когда теорема доказана, можно задаться целью перечислить все положения, без которых это доказательство невозможно. Но это – вопрос той или иной теории, той или иной точки зрения на теорему, того или иного способа изложения теорем и их доказательств, а не самой теоремы в ее логическо-смысловом составе.

2) Однако, допустим, что мы поставили себе целью проанализировать все принципы, использованные в данной теореме. Найти эти принципы еще не значит доказать, что данная теорема только из них одних и выведена. Возьмем то, что обычно считается аксиомой в геометрии: «две точки определяют собою одну и только одну прямую». Допустим, что мы не знаем ни одной плоской фигуры и нам неизвестно, что такое треугольник. Можно ли в таком случае вывести что-нибудь из приведенной аксиомы? Как эта аксиома ни лежала бы «в основе» учения о треугольнике, но если нам неизвестно, что такое треугольник, а известно только, что такое точка и прямая, то эта аксиома ровно ничего нам не даст для учения о треугольниках, и никакой теории треугольников нельзя будет из нее вывести. Допустим, чтобы решать алгебраические уравнения, надо знать элементарные арифметические действия. Значит ли это, что теория алгебраических уравнений «выводится» из четырех действий арифметики? Правда, этим самым мы ставим под сомнение всякую дедукцию вообще. Однако, она, взятая в столь абстрактном виде, т.е. с исключением всякой индукции, вполне достойна всякого сомнения (так же, как и абстрактно взятая индукция). Невозможно себе представить никакую плоскость, имея только понятие прямой; и ни из какого понятия прямой совершенно невозможно дедуцировать плоскость, хотя плоскость, между прочим, можно рассматривать и как след движущейся прямой, т.е. как основанную на известного рода наглядном представлении прямой. Еще можно было бы до некоторой степени осмысленно говорить о наглядном выведении образа плоскости из образа прямой; но совершенно бессмысленно говорить о логическом выведении понятия плоскости из понятия прямой. Чистая дедукция есть только выдумка и фикция формально-логических теоретиков. Она есть только метод систематизации (и, в частности, изложения) уже добытого знания, но никак не метод получения самого знания6 или, во всяком случае, она есть такой метод получения знания, который неотделим от противоположного ему индуктивного метода. Когда уже есть треугольник и характеризующие его геометрические связи, тогда можно задаться целью определить, что в них общее и что частное. Но пока нет самого треугольника, невозможно вывести из каких-либо общих принципов ни его геометрическую характеристику, ни его самого.

Математика ровно в той же степени дедуктивна, в какой и искусствознание. Откуда можно дедуцировать собор Василия Блаженного, если нет его самого? Но если он уже есть и есть достаточно зрячие глаза, чтобы оценить его структуру, можно и нужно определять те общие принципы, которые лежат в основе этой структуры. Что тут дедуктивного? Ровно ничего. Точно так же законы Кеплера о движении планет, полученные вначале чисто эмпирическим путем и впоследствии выведенные из закона Ньютона о всемирном тяготении, ни в коем случае не могут считаться на этом последнем основании законами дедуктивными: и с самого начала они были получены эмпирически, и впоследствии можно было не только их выводить из закона Ньютона, но и самый закон Ньютона выводить из них. Этим, конечно, нисколько не принижается роль дедукции ни в науке вообще, ни, в частности, в математике. Мы вовсе не отрицаем моментов дедукции в науке, но признаем ее реальную значимость только в ее нераздельном единстве с индукцией.

3) Однако, если бы даже мы и согласились, что математика всерьез выводится из каких-то определенных понятий или аксиом, то даже и в этом случае абстрактно понимаемая дедукция не нашла бы себе здесь прочного места. Если дедукция есть вывод от общего к частному, то в математике сплошь и рядом мы находим выводы вовсе не дедуктивные.

Вспомним доказательство равенства суммы внутренних углов треугольника двум прямым. Оно проводится при помощи приравнения этой суммы углов одному развернутому углу, который всегда равен именно двум прямым углам. Здесь, таким образом, вывод основан на равенствах: А равно В, В равно С; след<овательно>, А равно С. Где же тут дедукция? И А, и В, и С – не больше и не меньше одного другого по количеству. Тут все величины обладают совершенно одинаковой общностью.7

Всмотримся пристальнее в этот пример. Защитники непременной дедукции в математике будут в данном случае рассуждать так: сумма углов треугольника есть частный случай двух смежных углов, а два смежных угла есть частный случай двух прямых углов; следовательно, из понятия двух прямых <углов> выводится здесь понятие двух смежных, а из понятия двух смежных выводится понятие суммы углов треугольника; другими словами, тут самый настоящий переход от общего к частному, т.е. самая настоящая дедукция. Все это рассуждение в защиту дедукции в корне неправильно. Два смежных угла ни в коем случае не есть видовое понятие двух прямых углов. Два прямых угла, т.е. 180°, это есть то, что в традиционной логике называется единичным понятием, т.е. для него совершенно нельзя представить себе никакого логического вида, подобно тому как не существует никакого логического вида для Пушкина и нельзя найти никакого видового понятия для Тверского бульвара. Два смежных угла отличаются от двух прямых углов отнюдь не логически и даже не арифметически, а только геометрически, точно так же, как и сумма углов треугольника – от <суммы> двух смежных углов. Геометрическая же фигура, взятая сама по себе, вовсе не есть понятие количественное или, вообще, метрическое и даже вовсе не есть понятие. Единственно о каком подведении здесь может идти речь, – это не подведение двух смежных углов под общее понятие суммы двух прямых углов, но подведение разных способов разбиения числа 180° на два слагаемых. Однако в доказательстве равенства углов треугольника двум прямым совершенно нет никакого упоминания о разных разбиениях этих 180° на два слагаемых, потому что здесь мыслятся какие угодно разбиения, и теорема совершенно не касается никаких конкретных величин обсуждаемых в ней углов. Таким образом, дедуктивность тут мнимая, и отчленить ее от индукции совершенно невозможно.

Однако приводить подобные примеры и анализировать, где в математике дедукция и где ее нет, было бы здесь для нас утомительной и ненужной работой. Уже один этот тип вывода (на основе «две величины, равные порознь третьей, равны между собой»), столь популярный в математике, неопровержимо свидетельствует о том, что математика, по крайней мере, не строго дедуктивная наука, а может быть, и совсем не дедуктивная. А нам пока большего и не надо. Тут важно убедиться, что даже если и выводить все конкретное содержание математики из принципов, то эти выводы отнюдь не всегда оказываются дедуктивными.

4) Итак: 1) дедуктивность математики не есть ее реальный метод, а есть только плод очень абстрактного теоретизирования; 2) если начать теоретизировать, то в математике отнюдь не обязательно выводить конкретное из абстрактного и 3) если, наконец, и выводить, то в математике это еще не значит дедуцировать.

Поэтому, основная задача логистики – свести математику на исходные понятия и аксиомы – есть не больше, как просто задача привести хаотический материал в известный порядок при помощи соблюдения строгого метода изложения. Это вопрос о способах логического изложения науки, а не о логических основах самой науки. Вопрос этот, конечно, исключительной важности для самой математики, и очень хорошо, что математики хотят привести свои материалы в строго логическую систему. Однако принципиальная и исключительная дедуктивность математики, резко противопоставленная всякой индукции, – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика.

В-третьих, в логистике мы встречаемся еще с одним догматическим предрассудком, это – толкование исходных категорий и аксиом как неопределенных, недоказуемых и даже чисто условных, необязательных. Удивительная вещь: с одной стороны, тут огромная тяга к принципам, к аксиомам, к исходным пунктам, к необходимым и наиобщим предпосылкам, а, с другой, здесь мы находим сильнейшую релятивистскую тенденцию, сводящую все эти принципы и общности к чему-то совершенно случайному, относительному, условному. Можно понять Канта, сводившего конкретное многообразие опыта к немногим категориям и основоположениям. Но делалось это у Канта – хорошо ли, плохо ли, другой вопрос, – именно ради обоснования и осмысления этого разнообразия, ради объяснения общности и необходимости, царящей в науке. Здесь же как раз наоборот. Ищется самое общее и первоначальное – только для того, чтобы это общее объявить непонятным, необъяснимым, неопределенным, недоказуемым и даже условным.

1) Можно ли считать исходные понятия и аксиомы математики (и всякой иной науки) неопределимыми и даже неопределенными? Нужно сказать, что это тоже один из застарелых предрассудков традиционной догматической метафизики – считать первоначальное неопределимым и неопределенным.8 В самом деле, в основе математики лежит, напр<имер>, понятие числа. Почему мы должны считать его – да еще в логике – неопределимым и неопределенным? Это – очень сложная категория, которую распутать можно и должно и определение которой часто дают сами же логистики. Казалось бы, что более неопределимо, чем единица или нуль? Но уже ближайшее изучение самой логистики показывает, что логистики определяют (правда, очень плохо, как это увидим ниже), и что такое единица, и что такое нуль. Предрассудок традиционной догматической метафизики гласит: во всяком мышлении есть то исходное, что уже недоказуемо, как и во всяком знании есть, напр<имер>, ощущения, которые во всяком случае нельзя никак определить, ибо, как вы определите синий цвет или запах фиалки? На это нужно сказать, что синий цвет можно вполне точно определить и при том с разных точек зрения. Его можно определить физически – через количество колебаний. Его можно определить физиологически – путем анализа соответствующего раздражения. Его можно определить психологически. Наконец, его можно совершенно точно описать феноменологически и объяснить диалектически – путем помещения синего цвета среди других цветов – так, что будет совершенно ясен принцип получения синего цвета из соответствующих явлений белизны, прохождения белого луча через среду, светлости, насыщенности и т.д., и т.д. Это – сложная картина, но вполне достижимая (по крайней мере, принципиально). Почему же вдруг нельзя сказать, что такое «прямая» или «точка»? Можно сказать и нужно сказать. Диалектика точки или прямой – замечательная вещь, не хуже, чем диалектика красного, синего, зеленого. Говорят, нельзя определить понятие «следует», «последующее». Почему? Следование – не настолько уж примитивное представление, чтобы о нем ничего нельзя было сказать. А если бы оно и было предельно простым, то оно нашло бы себе определение путем помещения среди других таких же примитивных представлений. Можно согласиться, что первоначальные исходные понятия неопределимы по признакам. Но они всегда определимы с точки зрения взаимного расположения. Определения понятия при помощи признаков, вообще, не является ни единственным определением, ни наилучшим, что, конечно, есть очень сложная проблема, которой мы здесь не должны и не хотим заниматься.

2) Также нельзя считать исходные аксиомы математики недоказуемыми и только условными. Гильберт и другие изощряются в построении разных пространств, в которых отсутствует то одна, то другая аксиома геометрии. Можно построить геометрию без аксиомы непрерывности. Можно построить геометрию без аксиомы конгруэнтности. Особенно известны геометрии Лобачевского и Римана, основанные на разных пониманиях параллельности. Словом, полная-де условность и произвол! Какое пространство хочешь, такое и строй! Чистая условность! Ничего обязательного! Все относительно! Выбирай любые аксиомы и любую их комбинацию – получишь какое угодно пространство!

Это – до чрезвычайности примитивная философия и безнадежнейший догматически-метафизический тупик. Сами же математики устами Кэли–Клейна научили нас переходить вполне точным способом (путем вариаций т<ак> н<азываемой> кривизны) от Римана к Евклиду, от Евклида к Лобачевскому, от Лобачевского к Риману и т.д. Как же после этого можно говорить об условности каждого из этих пространств и соответствующей этим пространствам аксиоматики? Тогда все кривые второго порядка, в том числе самая обыкновенная окружность, тоже должна оказаться пустой условностью и фикцией только потому, что имеется общее уравнение кривых второго порядка. Логистики подошли к аксиоматике с орудием узко-формалистической логики, когда все категории оказываются безнадежно изолированными и дискретными, и потом – сами же удивляются, что формулируемые ими аксиомы ничем между собою не связаны и допускают любую комбинацию. Аксиомы эти, конечно, между собою строго связаны, ибо каждая из них есть выражение той или иной категории (у Гильберта, напр<имер>, «связь», «порядок», «непрерывность», «подобие» и т.д.), а все категории есть единая и цельная, хотя и развивающаяся система, подобно тому как является живою цельностью сама действительность, отражением которой должны являться и эти категории, и эти аксиомы; и комбинации этих категорий – не бесконечны и не случайны, они вполне исчислимы по своему количеству и на данном этапе развития науки за их определенное количество совершенно некуда выйти. Аксиомы эти вполне доказуемы, раз они есть выражение той или иной логической категории, потому что, с нашей точки зрения, всякая логическая категория оправдана, если она есть отражение развивающегося объективного бытия. Так, если среди наших первых категорий имеется «количество», и «количество» дорастает до «порядка» (а при рассмотрении <его> как отражения живой цельности бытия оно и не может не дорастать до так или иначе упорядоченного количества), то уже тем самым доказана необходимость аксиом порядка. Если среди наших основных категорий, из которых мы составляем логическое мышление, имеется «непрерывность», то этим самым уже доказана аксиома непрерывности в геометрии, ибо аксиома непрерывности в геометрии, очевидно, есть прямое следствие того, что мышление вообще не совершается без непрерывности, подобно тому как сама непрерывность мышления есть не что иное как специфическое отражение непрерывности самого бытия. Правда, мы можем построить пространства без этой аксиомы, но все равно и тут она будет присутствовать отрицательно, ибо в таком случае непрерывна будет сама прерывность (а если эту последнюю мыслить только прерывно, то и в этом случае прерывные моменты прерывности окажутся непрерывностью). Итак, исходные принципы математики и доказуемы (хотя они в то же время и очевидны), и не суть условные фикции (хотя их можно произвольно комбинировать). То и другое происходит потому, что математические аксиомы коренятся в самом объективном бытии и являются его специфическим отражением, так что никакое их произвольное употребление и комбинирование не в силах разрушить их реального корня в бытии и их «относительность» в силу и в результате человеческой практики всегда может превратиться в абсолютную объективность. Чистая условность математических принципов – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика.9

А что касается самой произвольности в выборе аксиом и причудливости возникающих при этом типов пространств, то все эти не только причудливые, но и вполне фантастические, вполне патологические пространства есть то невиннейшее развлечение, которое с легким сердцем может разрешить математикам самый свирепый реалист и материалист. Математики на этих развлечениях оттачивают свои научные методы; и эта умственная эквилибристика есть не только вполне невинное удовольствие, но хотя бы и чисто формально служит прогрессу математической науки. О реальности того или иного пространства судит практика, а не сама геометрия. Но в теоретической науке, вообще говоря, построено очень много истин, объективная реальность которых еще не обнаружена в научной практике. Почему же нам запрещать геометрам строить свои патологические пространства? Однако говорить о чистой условности аксиом и о том, что они всецело зависят от произвольного соглашения, это – очень вредная метафизика и ее надо запретить.

Вопрос об аксиомах в логике и математике, конечно, есть вопрос очень сложный, и мы вовсе не имеем в виду ставить его здесь целиком. Мы могли бы здесь привести известное рассуждение Ленина об условности и безусловности познания, об абсолютной объективной истине и бесконечном приближении к ней человеческого знания и другие марксистско-ленинские принципы логики, теории познания и диалектики. Однако, едва ли можно было бы убедить этих релятивистов и субъективистов ссылкой на марксистско-ленинскую теорию; и потому мы только для самих себя должны отдать полный отчет в том, что современная буржуазная логистика разрывает живую цельность человеческого опыта, где условное и безусловное слиты в одну нераздельную цельность, выхватывает отсюда только одну условность и в таком абстрактном виде абсолютизирует ее в качестве единственно возможной для мышления. Это и есть последовательно проводимая догматическая метафизика.

3. Что же за логика может вырастать при таком подходе к математике?

< 1) >Из математики выхолощена всякая наглядность; математика есть только дискурсивный, формальный вывод из каких-то принципов, и принципы эти – случайны, неопределенны и даже неопределимы, произвольны и вполне относительны. Что это за логика? Уже ясно видно наперед, что это должна быть какая-то очень узкая, очень условная и очень зыбкая логика. И действительно это – какая угодно логика, но только не диалектическая, ибо диалектика связала бы все категории логистики в живую цельность, в которой одна категория без остатка вливалась бы в другую, а здесь это исключено и запрещено раз навсегда. Это – узко-формальная логика, т.е. логика прерывности. Она, как известно, бывает и не только объемной, и логистики всегда давали место в своих работах, напр<имер>, логике отношений. Однако и «логика содержания», и «логика отношений» есть все-таки логика недиалектическая: в основе всего этого лежит прерывная структура схемы, а не непрерывно-целостная структура целого.

2) Однако как ни важна эта методологическая ограниченность логистики, еще важнее для ее характеристики то, что она все время восстает против наглядности. Это не такая простая и невинная вещь, как это может показаться с первого взгляда. Всякая наука живет обобщениями; и в этом не зло, а истина и красота науки. Но бывает общность, которая отражает конкретную наглядность и считается с ней; и бывает общность, заведомо пренебрегающая всем конкретным и наглядным. Если я скажу, что вода – это есть химическое соединение двух частиц водорода и одной кислорода, то это есть оперирование общностями («соединение», «химизм», «частица», «два», «кислород», «водород»), но тут общности имеют своей единственною целью – только понять конкретную наглядность соединений водорода и кислорода в воду. Однако можно сказать так: вода есть отношение между некоторым количеством чего-то и некоторым количеством еще чего-то другого. И при этом можно начать бахвалиться: «Отношение? Какое отношение? Какое хотите. Любое отношение. Некоторое количество? Какое угодно количество! Какое хотите количество, так<ое> и берите. Количество чего-то? Да всего, чего хотите. Что хотите брать, то и берите. Важно только, чтобы нечто было, чтобы оно было взято в каком-нибудь количестве, и – точно так же другое, и чтобы было какое-то отношение между первым и вторым». Так именно поступает логистика, желая дать нам логику математического предмета. Это – несомненно есть операция с общностями. Но ясно, что это обескровленные общности, жалкий скелет живой стихии числа, счета, величин, пространства и т.д. Так что у многих может возникнуть даже вопрос, целесообразно ли вообще заниматься таким пустым предметом.

Следовательно, та логика, которую знает логистика, есть не только узко-формальная, принципиально-недиалектическая логика, но, как логика, принципиально воюющая со всем наглядным, она вообще избегает всякой предметности, не в онтологическом смысле (об этом и говорить нечего), но даже и в логическом смысле, даже по самому смыслу. Другими словами, она тут начинает граничить с беспредметностью почти как с некоторой бессмыслицей. Логистика беспредметна в такой степени, что она не хочет иметь вообще никакого предмета, так что от ее анализа уничтожается то самое, о чем она говорит и что она анализирует. Это превосходит всякий махизм, и с этим не сравнится никакая махистская методика естествознания.10

Одна оговорка, впрочем, является здесь весьма существенной. Чтобы быть вполне справедливым к современной логистике, надо различать самый метод логистики в его объективном значении и ту его догматически-метафизическую интерпретацию, которую он получает у логистиков. Повторяем, общность сама по себе, правильно отражающая объективную реальность, не только не есть зло, но это есть самая сердцевина, самая душа науки. В таких общностях нет ровно ничего субъективистического, нет ничего релятивистского. Такие общности чем общее, тем они глубже и шире охватывают действительность. И если отбросить в современной логистике ее махистскую интерпретацию, если взять ее обобщения как таковые, то часто нужно не только соглашаться с ними, но и удивляться их оригинальности и невольному реализму.

Если мы видим, что 2 ореха в соединении с 3 орехами то же самое, что 3 ореха в соединении с 2 орехами, и если мы замечаем, что 3 пальца плюс 2 пальца то же самое, что 2 пальца плюс 3 пальца, то наше обобщение, что 2 + 3 = 3 + 2 не только возможно или полезно, но оно существенно необходимо, абсолютно научно и может отсутствовать в мышлении только в условиях его патологического состояния. Однако мы совершенно отказываемся понимать, почему это обобщение условно, почему оно неопределенно или неопределимо, почему в нем нет никакой наглядности, почему оно не соответствует никакой реальности, почему оно возникает только в результате произвольного соглашения и т.д., и т.д. Вся эта разложенческая и гниющая «философия» ни во что не верящей буржуазии не имеет никакого отношения к тому законному обобщению, которое мы сейчас формулировали. И если логистика, вместо того чтобы брать те или иные конкретные отношения между конкретными вещами, берет некое А вообще, некое В вообще, некое С вообще и т.д., а также устанавливает между этими А, В, С тоже некое отношение вообще (так что уже становится неважным, что именно солнце нагревает камень, т.е. неважно, что тут речь идет именно о солнце, именно о нагревании и именно нагревании камня, но важно только то, что здесь некое А вообще имеет некое отношение вообще к некоему В вообще), то такого рода обобщение не может не представлять большой научной ценности, и очень хорошо, что логистика этим занимается. Однако мы опять-таки начинаем недоумевать, если мы читаем, что такого рода обобщенное отношение не имеет никакого отношения к бытию, что оно не получено из опыта путем бесконечного ряда наблюдений, что оно есть продукт законов субъективного мышления, что оно есть ничего и ни о чем не говорящая условность и пр.

С точки зрения Ленина, чем обобщение шире и глубже, тем оно больше обнимает фактов, т.е. тем оно конкретнее, реальнее и объективнее. Марксистско-ленинская теория может только приветствовать максимально широкие обобщения при условии соответствия реально наблюдаемым фактам действительности. Очень хорошо, что логистика помогла глубоко вскрыть структуру многих математических понятий и операций, что она углубила и сделала более тонкой теорию множеств и топологию, что она помогла расширить понятие интеграла, установить аксиоматику теории вероятностей, формулировать специфическую логику квантовых процессов (в которой, оказывается, отсутствует дистрибутивный закон для основных логических операций и которая примерно так относится к традиционной логике, как неевклидова геометрия к евклидовой). Но совершенно непостижимо, почему все эти обобщения условны и ненаглядны, почему они не соответствуют никакому бытию и почему это только «знаки», а не сама действительность, и почему эти «знаки» есть результат произвольного соглашения и есть только нечто словесное и фиктивное.

3) Отсюда вытекает и конкретная характеристика метода логистики. Чтобы дать этому методу достойное его название, вдумаемся в то, что тут происходит. Берется математический факт, выбрасывается из него наглядное содержание. Остается его смысловой костяк. Костяк этот анализируется в своем составе. Получаются немногие основные понятия, о значении и смысле которых запрещается говорить; и получаются немногие принципы и аксиомы, которые объявляются недоказуемыми. Что же это такое? Как это возможно? Как возможно доказывать, что дерево не зелено и не большое, не малое, не зная наперед, что такое зелень и что такое размер? Ясно, что опровергать зелень дерева можно только зная, что такое зелень. Дерево зелено, а я вот скажу, что тут «нечто» «включается» в «нечто». Даже формальная логика скажет, что здесь именно «дерево» «включается» в «зелень». Но логистика не хочет говорить и этого. В таком случае на основании чего же она вообще говорит тут о включении некоего А в некое В? Не на основании ли того, что она прекрасно видит именно зеленое дерево? Обобщать тут вы можете сколько угодно; но вы не имеете права говорить, что включение обобщенного А в обобщенное В произошло без наблюдения реальной зелености реальных деревьев.11

По-видимому, основной метод логистики есть не что иное, как сплошное petitio principii, т.е. использование для доказываемого тезиса, именно этого самого тезиса, в качестве основания. Наблюдать, что дерево зелено и потом, на этом основании установить известное отношение между деревом и зеленью, и потом сказать, что для дерева вовсе не характерна зелень, а важно только отношение к чему-то вообще, да заодно выбросить и само дерево и сохранить только «некоторое» отношение неизвестно между чем, это значит совершить petitio principii. Это и есть метод логистики. Так всегда мстит пренебрежение наглядностью и предметностью, ибо сводить наглядность на внутренно-пустой и чисто-рациональный скелет, имея тем самым в виду ее опровергнуть, это можно делать только уже зная, что такое эта наглядность, т.е. тем самым так или иначе ее признавая.

4) Наконец, для метода логистики важно еще одно обстоятельство. Так как логистика здесь есть нечто недиалектическое, т.е. ее категории не находятся в процессе свободного развития12, отражающего свободное развитие бытия, а отражают только некую уродливую фикцию (т.е. отражают лишенный всякой наглядности, обескровленный математический предмет), то логика, осуществляемая логистикой, оказывается бледной тенью самой же математики и при том в ее максимально формалистской интерпретации. Математика объявлена ветвью логики, но это не значит, что логика у логистиков есть наука, независимая от математики и нечто специфически самостоятельное. Ближайшее ее рассмотрение обнаруживает, что она берет только понятия логические. А связь этих понятий продолжает трактовать чисто математически. Иначе и быть не может. Ведь логистики не знают логики как науки о свободно развивающемся мышлении и бытии, как того требует общечеловеческий опыт и фиксирующая этот опыт марксистско-ленинская теория. Логика для них производна. Но откуда, из чего производна? Никакого свободно развивающегося бытия, отражением которого было бы мышление, они не знают. Они знают только математику. Но их математика есть связь и система неизвестно чего; они «не знают», чего именно это есть связь и чего именно система. Тут можно, говорят они, понимать «все, что угодно». В таком случае, о чем же еще можно говорить в логике, как не о математических же связях неизвестно чего? Чисто логических связей логистики не знают, так как для этого нужен анализ категорий как таковых. Следовательно, нужно только выставить вначале это «неизвестно что», т.е. неопределимые понятия и недоказуемые аксиомы, и из них дедуцировать всю математику. Но как раз дедукция-то эта здесь оказывается меньше всего логической, т.е. самостоятельно-категориальной, и больше всего все той же математической, т.е. числовой и количественной; и если то, откуда здесь дедукция, есть все же, в конце концов, математические категории, то вся новость логистики по сравнению с конкретной математикой сводится большею частью к систематизации и упорядочению математического материала, который, возникая стихийно у разных исследователей, в разные времена и в разных местах, отличается, конечно, хаотическим характером. Вполне естественна потребность расположить его в более или менее строгом логическом порядке, – напр<имер>, от наиболее общих принципов к более частным; но тут нисколько не больше логики как самостоятельной науки, чем и в каждом научном рассуждении вообще. Ведь всякая наука должна быть логична, но от этого еще далеко до логики данной науки. Сводить частное к общему, значит, рассуждать логически, но это не значит, строить логику данного сведения. Иначе сведение разных видов энергии к общему единству энергии было бы уже логикой физики; и периодическую систему элементов химии, сводящую развитие атомных весов к единому принципу, тоже надо было бы считать логикой химии или химической логикой. Как учение об единстве энергии или о периодичности элементов есть только физика и химия, но никак не логика (хотя учения эти, конечно, как научные, вполне логичны), точно так же и сведение математики на немногие понятия и аксиомы, как оно не логично само по себе, все же еще не есть логика математики или математическая логика, но есть только сама же математика в ее более строгом и стройном изложении, и больше ничего.13 Однако иначе и не могло получиться, потому что математика здесь объявляется ветвью логики, но сама логика трактуется здесь не специфически, а опять-таки чисто математически.

С марксистско-ленинской точки зрения не существует никакой чистой и абсолютно-самостоятельной логики, т.е. самостоятельной настолько, чтобы она была независима от опыта, чтобы она не отражала определенной ступени его исторического развития и чтобы она не была результатом научного мышления и научных наблюдений того или иного этапа человеческого развития. Поэтому, рассуждая чисто теоретически и безотносительно, можно только приветствовать, что представители отдельных научных дисциплин стараются осознать логику своего реального мышления в области этих дисциплин и тем самым дают материал и для общей логики. Без осознания опыта отдельных наук, с нашей точки зрения, повторяем, не может быть построено никакой общей логики; и самостоятельность такой общей логики возможна только при условии сознательного использования логики отдельных наук и при условии обобщения того, что эмпирически делается в отдельных науках.

Однако, во-первых, это совершенно не значит, что отдельные науки должны быть ветвями логики. Осознать в обобщенной форме отдельную науку и превратить ее из хаотической массы отдельных наблюдений и законов в строгое и последовательное целое – это совершенно не значит превратить данную науку в логику, т.е. что математика у нас есть ветвь логики, что механика есть тоже логика, что физика есть логика и т.д.

Во-вторых, зависимость общей логики от отдельных наук не означает также и того, что отдельные науки со своей специфической логикой могут претендовать на универсальное значение. Если мы, напр<имер>, изложили геометрию со строгим учетом исходных аксиом и постулатов и с учетом того, к чему обязывает или не обязывает в геометрии каждая такая отдельная аксиома и каждый такой отдельный постулат, то это только логически построенная и изложенная геометрия, а поскольку геометрия, как и всякая наука, должна быть логически последовательной, то аксиоматическая разработка геометрии есть просто сама же геометрия в ее научном виде, и – больше ничего. Это просто хорошая геометрия, геометрия как наука, геометрия как система, а не логика геометрии; и претендовать на какое-нибудь выхождение за собственные пределы такая геометрия никак не может. Однако, если бы мы даже и признали аксиоматику геометрии логикой геометрии, то и в этом случае не будет никаких оснований считать геометрическую логику логикой вообще. Для этого нужны были бы уже негеометрические обобщения геометрии, и своими только одними геометрическими силами геометрия со всей ее аксиоматикой не могла бы создать такого обобщения. Поэтому является весьма провинциальным и доморощенным предприятием именовать книгу «Основами теоретической логики», давая в ней только одну математическую логику. Не существует никакой абсолютно-чистой логики, и марксистско-ленинская теория хотела бы использовать для построения общей логики также и логику математическую наряду с логикой всех отдельных дисциплин, ибо для диалектического материализма истина конкретна. Но математическая логика в ее теперешнем виде слишком абсолютизирует себя, и использовать ее в таком виде совершенно невозможно. Использовать ее можно только после коренной чистки.

Итак, логистика есть логика – 1) антидиалектическая, 2) принципиально беспредметная, 3) использующая для доказательства своих тезисов сами же эти тезисы, 4) с применением чисто-математических же, но не специально логических методов.

4. Нужно ли после этого еще доказывать, какую печальную картину философского разложения представляет собой буржуазная математическая логика. Решительно все утверждения математической логики, и при том не только ложные и недостаточные, но даже и вполне безупречные, вполне научные, пронизаны этим духом буржуазного растления и нигилизма. Казалось бы, что может быть для науки более ценным, чем обобщение? Ведь чем обобщения более широки, тем они глубже, реальнее и научнее. Но что сделала с этими обобщениями математическая логика и во что она их обратила? Она обратила их в мощное орудие борьбы против всякой очевидности, наглядности, предметности, в орудие уничтожения всего реального и материального. Даже когда эти обобщения хороши сами по себе, то уже ввиду постоянной склонности их авторов ненавидеть все материальное, начинаешь им не доверять и пытаешься их ограничивать. Но не лучше обстоит дело у логистиков даже и с оценкой этих самых обобщений. Ну, пусть они ненавидят все материальное. Так, может быть, по крайней мере, хотя бы эти свои обобщения они считают чем-то твердым и реальным? Оказывается, что и эти обобщения, с точки зрения логистиков, есть нечто весьма шаткое и зыбкое, нечто текучее и ненадежное, нечто условное и даже только словесное. Сводили-сводили наглядность на рассудочные формы, а потом оказалось, что и эти рассудочные формы совершенно не отражают никакой действительности, и не отражают даже кантовской априорной стороны сознания. Оказывается, что и здесь все та же труха и текучесть и совершенно нет ничего твердого. Конечно, в истории науки все является более или менее текучим. Все наши знания, конечно, относительны и с каждым днем совершенствуются. Но посмотрите, во что превратили современные буржуазные логистики эту общепонятную и совершенно естественную относительность человеческого знания. Они превратили <ее> в полный нигилизм и притом нисколько не пассивный, а нигилизм активный, в мощное орудие борьбы против естественной человеческой действительности.

И еще одна черта чрезвычайно важна для обрисовки буржуазной сущности логистики. Вся эта духовная труха, все это неверие в жизнь, все это растление человеческой мысли облечено здесь в тяжелую и мощную броню математической науки, в целые леса заумных формул, в страшную терминологию, пугающую людей, не получивших специального математического образования, так что обычный философ и логик, пожелавшие разобраться в логистике, должен никнуть головой перед этой премудростью и говорить себе: «Какая это глубокая наука и какой же я глупый и невежественный человек!» Этот метод психической атаки есть типично буржуазный метод, потому что прогнивши внутри себя самой, буржуазия устрашает весь свет своей технической мощью и своим потрясающим вооружением. Часто это очень хорошо достигает своей цели, и многие некритически мыслящие люди действительно впадают перед этим в панику. Но советские люди не относятся к числу этих людей; и запугать их мощным вооружением, за которым кроется растление и нигилизм, не удастся.

§ 2. Замечания о логическом и математическом вообще

Теперь обратимся к содержанию логистики. Поскольку приведенные нами соображения могут представиться бездоказательными и даже маловероятными, попробуем рассмотреть некоторые конкретные построения логистики. Сделаем к этому несколько замечаний, чтобы предупредить легко возникающие сомнения. Именно, могут сказать, что логика вовсе и не должна оперировать с качественно материальными содержаниями, что даже и обычная школьная формальная логика оперирует с общими знаками S и P, не вникая в то, на что именно указывают эти обозначения. Они-де даже и в традиционной формальной логике безусловно указывают на «что угодно». На это надо сказать следующее.

1. Во-первых, совершенно правильно, что логика, оперирующая законами мышления, уже тем самым охватывает все возможные качественно-материальные содержания мышления и что по этому самому она должна воздерживаться от «дерева», «зелени» и пр<очих> данных конкретного чувственного опыта. Но логистика забывает как то, что логическое мышление есть только отражение конкретной действительности, так и то, что в мышлении есть своя конкретность, свое качественно-материальное содержание, являющееся специфической переработкой таких же сторон и самой действительности. Это материально-качественное содержание есть и в самом числе, ибо, как мы сказали, тройка отнюдь не состоит просто только из трех разорванных единиц, а есть некое самостоятельное качество, хотя на этот раз, правда, чисто количественное. Но своя качественность и содержательность имеется и в понятии (и в частности, в понятии числа), и это уже не количественная качественность, а обще-смысловая. Вот этой-то смысловой качественностью и нельзя пренебрегать и никакими количественными операциями, взятыми вне диалектики, никогда нельзя получить ни нового качества вообще, ни, в частности, того качества, которым является всякое понятие. А то, что из логики надо исключать глубоко чувственное содержание и заменять его общими (хотя бы и буквенными) обозначениями – об этом, конечно, спорить не приходится.

2. Во-вторых, может быть, самое большое зло логистики заключается в том, что она не различает понятия и числа.14 Она не понимает, что никак нельзя свести понятие на число, что понятийные связи отнюдь не есть просто числовые связи, что разрабатывать только числовым образом исходные понятия (даже и самые правильные) – это еще не значит строить логику. Число относится к бытию: оно есть результат переходов одного момента бытия во что-нибудь иное и еще дальше в другое иное, и есть совокупность актов самого бытия, взятых вне их определенной качественности. Понятие же вовсе не есть бытие просто. Это – отражение, осмысление бытия, а не само бытие. И получается оно не просто в результате бытийных переходов, но в результате смысловых соотношений, специфически отражающих бытийные отношения самого бытия. Для соотношения же необходимо то, что соотносится. Вот это «что», эта «чтойность» и не сводима ни на какие числа, ни на какой чисто количественный счет и вычисление, ни на какие арифметические, алгебраические или геометрические операции. Сколько бы я не обмеривал и не взвешивал это перо, которым я сейчас пишу, я никакого пера не могу дедуцировать, если я предварительно не знаю, что такое перо. Зная перо, я могу его измерить и взвесить; но если я не знаю, что такое перо, никакие уравнения и логарифмы, никакая математика, ни низшая, ни высшая, не конструирует мне понятие пера. И поэтому, как бы ни изощрялась логистика в уточнении применяемых ею математических методов, все это идет совершенно мимо логики, т.е. мимо мышления в понятиях, суждениях и умозаключениях. Логистика не понимает того качественного и диалектического скачка, который существует между числом и понятием. И это убеждение в тождестве числа и понятия, ведущее к беспредметности понятия и к замене логических выводов исчислением, есть самый отчаянный догматический предрассудок.15 Это – самая злая и закоренелая догматическая матафизика, разрушить которую значило бы разрушить все здание логистики. Если понятийные связи есть только связи количественные (сложение, умножение, подстановка, упрощение, коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы, уравнения и их решения и т.д., и т.д.), то для логики все это является, может быть, и ценным материалом, но все же материал этот для нас весьма сырой.

Не нужно вкладывать в только что сказанное больше того, что тут фактически сказано. Мы вовсе не утверждаем того, что логику нельзя перевести на язык математики и математику на язык логики. Наоборот, мы считаем это не только полезным, но и необходимым. Разве кто-нибудь станет отрицать полезность и нужность перевода каких-нибудь математических уравнений, напр<имер>, на язык механики? Механическое истолкование того или иного абстрактно-математического уравнения бывает иногда не только полезно, но и необходимо, потому что это весьма заметным образом раскрывает нам объективные взаимоотношения, царящие в материальной действительности. Никто не может возражать против методов аналитической геометрии, имеющей целью переводить геометрические образы на язык алгебры и алгебраические формулы превратить в геометрические построения. Но разве все это значит, что механика есть часть математики или математика часть механики? И разве это значит, что алгебра и геометрия не суть самостоятельные дисциплины в том относительном понимании этой самостоятельности, которая необходима в суждениях о всяких науках вообще? Таким образом, выражать логику математически можно и нужно; но это и значит, что тут перед нами две разные науки с своими специфическими, относительно самостоятельными законами, а не просто одна наука, которая одновременно есть и логика, и математика.

Имея некоторое качественное явление, мы не только можем, но мы и должны (если это позволяет настоящее развитие науки) выразить его количественно, потому что от этого уточняется и углубляется сама качественность. Но это нисколько не означает ни того, что подобное количественное исчисление не нуждается в соответствующем качественном предмете, ни того, что данная качественность целиком выразила себя в данном количественном исчислении, и что простыми количественными операциями можно исчерпать и заменить эту или какую-нибудь иную качественность. О том же, что известного рода количество при известных условиях может порождать новое качество, нечего и вспоминать при анализе логистики, поскольку последняя как абсолютно и сознательно формалистская дисциплина, не ведает и не имеет права ведать ни об этом, ни о каких-нибудь других законах диалектики.

Точно так же, если рассуждать достаточно подробно, то можно сказать, что математическая логика пользуется не только одними математическими операциями, но что она в том или другом виде пользуется также и понятийными операциями, т.е. употребляет не только количественные образы, но и понятия, и суждения, и умозаключения в собственном и специфически логическом их понимании. Мы, конечно, и не думаем утверждать, что тут вовсе нет никаких понятийных операций.

Однако, во-первых, эти понятийные операции используются в любых науках (а в том числе и в математике), и это нисколько не превращает их в логику, точно так же как и вся наша человеческая жизнь пронизана разного рода понятиями, суждениями и умозаключениями, и это нисколько не превращает нашу человеческую жизнь в логику.

А, во-вторых, если логистика будет сама утверждать, что она пользуется не только количественными, но и качественно-понятийными, т.е. собственно-логическими операциями, то, чтобы эти последние не оказались здесь контрабандой, необходимо было бы точнейшее расчленение чисто количественных и качественно-понятийных операций, что, однако, можно было бы сделать не в условиях полного отождествления логики и математики, но только в условиях планомерного расчленения и противопоставления этих дисциплин (правда, с возможностью их взаимного перевода). Возьмем, напр<имер>, такие простейшие операции как четыре первоначальных арифметических действия. Судя по тому, что обсуждаемые нами мыслители называют свою науку математической логикой и пользуются в первую голову именно этими операциями, надо думать, что, с их точки зрения, сложение или вычитание есть чисто количественные операции. Что касается нас, то мы глубочайшим образом сомневаемся, что сложение есть только количественная операция. Однако мы здесь вовсе не обязаны вскрывать точную логику арифметических операций; и мы только остаемся при констатации того, что даже в простейшей операции сложения чистая количественность и понятийно-смысловая качественность пронизывают друг друга очень глубоко и что без систематического расчленения того или другого и без точной формулировки наличной здесь формы их объединения невозможно и представить себе логический смысл этой операции. Но кто же, если не логистики должны производить всю эту работу?

3. И, наконец, в-третьих, надо опять-таки строго различать фактическую структуру логистики и ее частную и при том весьма уродливую интерпретацию. Может быть, иной раз логистики вовсе и не сводят понятие на совокупность чисто количественных операций, но они слишком часто ставят это своей целью и слишком часто это декларируют. Т<ак> н<азываемая> логика отношений, напр<имер>, получила свое большое развитие именно в связи с математической логикой; и, взятая в своем чистом виде, она представляет собой замечательное орудие научной мысли, долженствующее занять первое место среди логических методов вообще. Но это получается только тогда, когда мы ее очищаем от всякого субъективизма и релятивизма, от всякой абстрактности и формализма, от всякого математизма и исключительной количественности.

4. Можно возразить: «Позвольте! Но число тоже ведь есть понятие!» Это совершенно неверно. Число вовсе не есть обязательно и исключительно понятие. Существует понятие числа, но понятие числа и само число отнюдь не есть одно и то же. Если мы должны считать число понятием на том основании, что существует наука о числе, то на таком же основании мы должны были бы и материю считать понятием, и химический элемент – понятием, и движение – понятием. Бесспорно, существует понятие материи, но материя сама по себе отнюдь не есть понятие – ни вообще, ни понятие материи. Существует понятие химического элемента, но химия вовсе не есть наука о понятии химического элемента: она – наука о самих элементах, а не о понятии элемента, и понятием элемента она пользуется только постольку, поскольку это необходимо для изучения самих же элементов. Точно так же и число может рассматриваться и само по себе как именно число, и как понятие числа. Изучением числа самого по себе занимается математика, и понятие числа для нее есть только инструмент для понимания самого числа. Понятием же числа как таковым занимается отнюдь не математика, но логика. И понятие числа вовсе не есть само число, как и понятие огня отнюдь не есть огненное понятие; оно не жжется так, как сам огонь жжется. И дом как вещь включает в себя подвал или фронтон; подвал, окно, фронтон суть части дома как некоей вещи. Но подвал, окна, фронтон и прочее отнюдь не есть части понятия дома, ибо понятие дома, как «защиты от непогоды», совершенно не нуждается в этих моментах.

Мы, конечно, вовсе не собираемся излагать тут всю теорию отличия понятия вещи от самой вещи. Но ясно, что предмет понятия не есть еще само понятие; и число как предмет понятия еще не есть понятие числа, а тем более оно не есть понятие вообще, так чтобы всю науку о понятии можно было бы всерьез излагать только числовыми и количественными методами.

§ 3. Анализ некоторых логистических построений

1. Начнем с самого основного, с понятия числа. Как логистики строят понятие числа? Рассел, Кутюра и др. излагают эту логистическую теорию, и пусть будет позволено нам изложить ее здесь, может быть, и не так «строго», как это думают о себе логистики, но зато общепонятно. Теория эта восходит к Фреге и Кантору, но мы будем излагать ее логистически.

Возьмем какой-нибудь класс предметов. Какой именно класс и каких именно предметов, об этом, конечно, спрашивать нельзя. И возьмем еще один класс предметов – с теми же агностическими прибавками16 (еще раз заметим, что тут вполне легко могло бы и не быть никакого агностицизма подобно тому, как его нет в обычной формальной логике, если бы над логистикой не тяготела рассмотренная у нас выше догматическая метафизика). Каждый из этих классов состоит из ряда предметов. Предметы одного класса можно сопоставлять с предметами другого класса. Допустим, что с каждым предметом первого класса мы сопоставили каждый предмет второго класса, так что этим мы исчерпали и все предметы одного и все предметы другого класса. В этом случае говорят, что предметы одного класса находятся во взаимном соответствии с предметами другого класса, а самые классы называются эквивалентными. Сопоставивши таким образом оба класса поэлементно, мы можем себя спросить: есть что-нибудь общее между этими двумя классами или нет? Да. Общее есть. Это именно новый класс, который состоит теперь только из элементов, взаимно сопоставленных, т.е. из элементов, общих элементам первого и второго класса. Это, говорят логистики, и есть число. Число есть класс эквивалентных классов.

Во-первых, что такое класс? Не есть ли это нечто количественное? Сам Кутюра говорит (Филос<офские> осн<ования> м<атематики. 1913, с.> 46), что «в логическом исчислении каждое понятие фигурирует по его объему, который и есть класс».17 Класс – это общее свойство, присущее тому или другому множеству элементов. Мы бы сказали, что это не свойство, но известного рода отношение. Однако дело не в этом. Спрашивается теперь: разве это не petitio principii – объяснять число при помощи класса? Это – типичное petitio principii, так как в понятии класса уже содержится понятие числа.18 Другие вместо термина «класс» употребляют термин «множество». Но эта терминология, кажется, еще откровеннее. Что такое «множество»? Разве оно уже не содержит в себе числа? Чтобы было множество, надо, чтобы было несколько предметов, объединенных в одно целое. Если такое целое есть, то стоит его только обеспредметить, отбросить его наглядное содержание и – мы получим число. Есть ли это определение числа? Если говорить совершенно точно, это есть переход от именованного числа к отвлеченному, и – больше ничего. Это есть переход от трех деревьев к числу «три» вообще, от пяти пальцев к числу «пять» вообще. Однако это только petitio principii, если вы не знаете, что такое «пять» вообще, то как же вы можете говорить о «пяти пальцах» и как вы можете понимать пять тех или иных предметов?

Представители логистики могут на это возражать так: ни класс, ни множество не содержат числа в явном виде, но содержат его в себе скрыто, латентно; а, значит, тут и нет никакого petitio principii. Это соображение, однако, неверно, стоит только спросить себя, равносильна ли латентность полной несущественности, или не равносильна. Если латентность числа в классе или множестве равносильна полной несущественности этого числа, то, следовательно, наличием этого числа можно вполне пренебречь; а это, в свою очередь, значит, что класс или множество совсем не содержит в себе никакой едино-раздельности; другими словами, класс тут вовсе не класс, и множество вовсе не множество. Если же латентность числа в классе не мешает его существенной значимости в классе, то это значит, что выделение числа из класса есть petitio principii. Таким образом, те, которые не признают здесь petitio principii, опираясь на латентность числа в классе, доказывают отсутствие здесь не petitio principii, а другой логической ошибки, именно idem per idem18а. Эта последняя ошибка заключается в том, что А обосновывается на В, в то время как это В есть не что иное, как самое же А. Ошибка же petitio principii заключается в том, что А основывается на В, но это В состоит из А + С, т.е. оно тут не сводится целиком на А, но все же содержит его в себе целиком. Аргумент о латентности опровергает здесь обвинение в idem per idem, но не обвинение в petitio principii.

Во-вторых, совершенно ничему не помогает принцип эквивалентности. Логистики могут рассуждать так: «Да мы и не знаем, что такое пять пальцев. О том, что пальцев именно пять, мы впервые узнаем из сравнения пальцев руки с другими пятерками, например с пятеркой лепестков в цветке, и число пять определяем впервые именно как то общее, что имеется между пальцами руки и соответствующей чашечкой цветка». Но, спрашивается: можно ли установить эквивалентность без сопоставления элементов одного множества с элементами другого множества? А сопоставление это уже предполагает раздельность сопоставляемого и фиксацию сопоставляемого на фоне целого. Пусть мы сопоставляем пальцы руки с лепестками цветка. Это значит, что пальцы раздельны и лепестки раздельны. Кроме того, это значит, что после пятого сопоставления мы, хотя еще и не зная, что у нас произошло именно пятое сопоставление, во всяком случае знаем, что больше сопоставлять нечего, т.е. что мы исчерпали все, т.е. мы знаем, что такое данное целое (а если бы мы этого не знали, то мы могли бы привлечь для сопоставления элементы и из других цельностей). Таким образом, сама эквивалентность возможна только благодаря количественной раздельности данного множества, т.е. и в смысле эквивалентности мы тут опять наталкиваемся все на то же petitio principii.

Правда, если судить безотносительно, то эквивалентность можно констатировать и без пересчета соотносящихся элементов, так сказать, вслепую, и тогда petitio principii здесь отпадает. Однако едва ли такая слепая эквивалентность поможет конструированию числа, которое есть, так сказать, сама едино-раздельность.19

В-третьих, логистика здесь оказывается в тенетах одной из самых обывательских в философии доктрин о происхождении общих понятий. В философии всегда было две наиболее ходовых доктрины, кантианская и сенсуалистическая. По одной, чтобы воспринять пять пальцев, уже предварительно надо иметь идею пяти пальцев; по другой, никакой идеи пяти нет при единичном восприятии пяти пальцев, и она впоследствии чудесным образом возникает из ничего при повторном восприятии пяти пальцев. Обе теории разрывают живой опыт на «идеальное» и «реальное», представляя себе то и другое в совершенно самостоятельном виде; и вся разница между ними только в том, что одна из них «реальное» хочет объяснить «идеально», а другая «идеальное» – «реально». Оба есть требование чуда, как это совершенно откровенно и правильно в свое время формулировали картезианцы и окказионалисты. Логистика тут просто грубый сенсуализм и – больше ничего. Ей неведомо то, что «пять вообще» воспринимается не позже «пяти пальцев» и не раньше, а именно вместе с ними, что уже первое восприятие пяти пальцев не «предполагает» «пять вообще», а само оно и есть восприятие этого «пяти вообще» неразрывно с самим же чувственным опытом этих «пяти пальцев».20 Однако иначе и не может быть в логистике, если она хочет быть беспредметной, т.е. если она хочет оторвать смысл от наглядности, форму от содержания.

В заключение этого рассмотрения понятия числа необходимо сказать, что вся предыдущая критика исходит из философско-логических намерений соответствующих авторов, но отнюдь не из целей чисто математического построения понятия числа. Логически это есть petitio principii, а философски это есть типично буржуазный сенсуализм. Можно, однако, здесь совсем не задаваться никакими ни философскими, ни специально логическими целями, а рассматривать число совершенно безотносительно, как чисто математическую данность. Тогда мы не получим логики числа, но зато получим логически последовательное изложение самой математики, подобно тому как аксиоматический метод в геометрии не есть логика геометрии, но есть логически последовательно изложенная геометрия. С такой точки зрения, критикуемый нами анализ понятия числа получает свой вполне реальный смысл и является весьма полезным приведением в порядок некоторых основных математических категорий. Именно, хотя понятие числа логически и предшествует понятию класса, имеет смысл именно число выводить из класса, потому что класс есть понятие более широкое и, поскольку число содержится в нем только как момент, оно может рассматриваться как условие, необходимое для числа, но недостаточное. Точно так же понятие эквивалентности в своем развитом виде логически уже содержит в себе понятие числа; однако ничто не мешает эквивалентность рассматривать тотчас же после класса, поскольку без нее не существует также и понятия самого числа. Таким образом, приведенный анализ числа сам по себе отнюдь не есть бессмыслица, а есть установление некоторой рациональной последовательности математических категорий, и бессмыслицей является только его философская интерпретация. В установлении класса эквивалентных классов, взятого как таковое, вне всяких философских теорий, есть очень здоровая абстракция, в отношении которой, напр<имер>, уже нельзя говорить, что она игнорирует все конкретное и наглядное, ибо об этом игнорировании совершенно нет ни одного намека в приведенном анализе числа. Но, повторяем, для этого нужно исключить интерпретацию самих логистиков. Такой непредвзятый анализ понятия числа вполне совместим и с таким, напр<имер>, пониманием абстракции (гораздо более правильным, чем обывательское понимание абстракции), при котором конкретное и наглядное не просто отбрасывается в абстракции, но только обращается в переменную величину. Наконец, если условиться понимать приведенное определение числа чисто математически, то здесь не будет и никакого petitio principii, потому что здесь перед нами с начала до конца будет только область чисел и числовых операций, и речь будет идти только о том, чтобы расположить эту область в определенном порядке, напр<имер>, в порядке убывающей общности составляющих его элементов; логическое же определение числа вообще здесь отпадает, и тем самым отпадут и возможные, связанные с ним, логические ошибки.

2. Обратимся к логическому учению о натуральном ряде чисел. Рассел и Кутюра усовершенствовали известную теорию Пеано о натуральном ряде чисел. Мы коснемся этой теории, несмотря на ее устаревший характер, ввиду ее показательности для общих методов логистики.

Натуральный ряд чисел основан на трех неопределимых понятиях и на пяти недоказуемых постулатах. Понятия эти: нуль, целое число, последующее. А постулаты таковы:

1. нуль – целое число;

2. нуль – не последующее никакого целого числа;

3. последующее целого числа есть целое число;

4. два целых числа равны, если их последующие равны;

5. если имеется такой класс, который содержит нуль, а также всегда, когда содержит данное число, содержит и последующие его, то он содержит все целые числа.

Во-первых, исходные понятия взяты здесь в логическом смысле небрежно: нуль и последующее тоже есть целые числа.

Во-вторых, нет никакой необходимости напирать на неопределимость исходных понятий: о нуле, например, часто говорится, что это есть граница положительных и отрицательных чисел (это, во всяком случае, есть нечто вроде определения нуля); говорили также, что нуль есть тождество полагания и отрицания; это утверждение также претендует на некоторое определение. Само «число» – очень сложная логическая структура, вполне, однако, доступная определению. «Последующее» предполагает 1) становление (поскольку для него нужен тот или иной переход от одного к другому) и при том 2) прерывное становление, причем о самом становлении также можно ставить вопрос, как его определять, и философы разных времен давали разные ответы на этот вопрос. Тут, конечно, мы даем только намеки на определение, но ясно, что все три исходные понятия вполне допускают определение, а в логике также и требуют его.21

В-третьих, легко заметить логическую небрежность и в формулировке постулатов. 1) Первый и третий постулат<ы> излишни потому, что речь тут идет вообще о числах, не о чем другом, именно исследуется натуральный ряд чисел. 2) Второй постулат предполагает, что мы и всерьез не знаем, что такое нуль, – но если бы мы этого действительно не знали, то мы не могли бы формулировать ни первого, ни пятого постулатов, содержащих это понятие; а если мы это знаем и, кроме того, формулируем первый постулат, то второй постулат излишен. Наконец, 3) пятый постулат содержит в себе все остальные. А именно, он есть то, что обычно называется математической индукцией и что сами же логистики считают характерным для конечного числа вообще (которое у Рассела так и называется «индуктивным числом»). В самом деле, все целые числа, о которых говорит этот постулат, как раз представляют собою последовательность, в которой первым числом является нуль и которая непериодична и незамкнута (первый и второй постулат), и которая содержит повсюду одинаковый переход от предыдущего к последующему (третий и четвертый постулат).

В-четвертых, однако, суть дела заключается вовсе не в этих логических невязках, которые могут быть и в любой теории. В этой теории Пеано логистическая суть заключается в пренебрежении наглядным содержанием натурального ряда, в отстранении его реального и предметного смысла. В самом деле, при такой «обобщенности» утверждений под натуральным рядом можно действительно понимать «все, что угодно». Уже сам Пеано признал, что если под его нулем принимать единицу, то под натуральным рядом пришлось бы принимать ряд, начиная с единицы, и ровно ничего в его теории не пришлось бы менять. Под нулем можно было бы понимать число сто, и – тоже все осталось бы по-прежнему.

Точно так же, если мы условимся под «числом» понимать четное число, а под «последующим» – то, которое больше предыдущего на два, то у нас получится ряд: 0, 2, 4, 6, 8, ..., который тоже целиком подойдет под теорию Пеано. Или допустим, что «нуль» – это 1, а «последующее» есть половина предыдущей, – тогда возникает ряд: нуль, половина, четверть, восьмая и т.д., тоже вполне удовлетворяющий постулатам Пеано. Рассел сначала возражал на это тем, что во всех этих рядах-де как раз и содержится один и тот же логический ряд, о котором говорит Пеано; однако впоследствии он сам признал, что постулаты Пеано применимы вообще к любой прогрессии, и не только к чисто математической прогрессии, но и ко всяким аналогичным пространственным, временным и вещественным прогрессиям, где нулем можно считать не только любое число или величину, но и любую вещь, хотя бы булавку Клеопатры.

Вот тут-то и залегает подлинная беспредметность логистического метода. Отбросивши всякие невязки, ошибки, односторонности, могущие быть, повторяем, и в любой логической теории, беря логистику в ее принципиальном и, с своей точки зрения, совершенном виде, – мы все же воочию убеждаемся, что она построена на принципиальном исключении всего реального, всего предметного, всего содержательного и наглядного и что она имеет своею целью создавать логические структуры действительно такие, под которыми можно понимать «все, что угодно». И, в конце концов, это уже и не так худо: ведь элемент прогрессии, как ни как, все же содержится в натуральном ряде чисел, хотя и не выражает его полностью; это значит, что он для натурального ряда в какой-то мере реален.

Но этот «реализм» стал тут возможен только в порядке незаконного для логистики использования наглядного содержания натурального ряда. А это есть petitio principii. Нет никакого petitio principii в том, когда логика дает логическую формулу для наглядно данного предмета, как нет никакого petitio principii в том, когда художник срисовывает себе на полотно ландшафт или человеческое лицо. Но если логик, построивши формулу наглядно данного предмета, станет утверждать, что существование этого последнего для формулы не существенно, и что сам он впервые получает свое определение через эту формулу, то последнее – бессмысленно, а самое построение формулы – типичное petitio principii.

Мы просим читателя с особым вниманием отнестись к нашему упреку логистике в petitio principii. Повторяем: если все рассуждение Пеано понимать только математически, если признать, что оно приравнивает натуральный ряд чисел обыкновенной арифметической прогрессии, то здесь нет ровно никакого petitio principii, а есть только слишком широкое определение, поскольку натуральный ряд чисел есть только вид прогрессии, а не просто прогрессия вообще. Мы согласны даже считать это определение весьма полезным, несмотря на его слишком большую широту. Не столь существенным является, в конце концов, даже и тот громоздкий и несвязный аппарат категорий и постулатов, которым пользуется Пеано для определения понятия натурального ряда чисел. В конце концов, можно не возражать даже и против него, а можно только его совершенствовать, оставаясь на почве логистики. Но вот против чего нельзя заставить молчать свою логическую совесть: если определение натурального ряда чисел у Пеано есть действительно логическое определение, а не просто известного рода группировка и систематика математических же понятий, то ведь неизвестное же не может определяться через то, во что тоже входит это неизвестное; и нельзя определять натуральный ряд чисел через прогрессию, которая сама предполагает существование натурального ряда чисел, являясь не чем иным, как той или иной комбинацией чисел самого же натурального ряда.

Даже если бы Пеано определял натуральный ряд чисел, но через некоторую систему категорий и постулатов, вполне адекватную натуральному ряду чисел, то и в этом случае натуральный ряд чисел как некоторая целостная наглядная и бытийственно-материальная индивидуальность, все равно не мог бы быть заменен такой системой. Ведь что такое эта система? Это есть собрание отдельных исходных понятий, ничем между собою не связанных, а также нескольких исходных постулатов, тоже между собою никак не связанных. Как же из этой принципиальной несвязанности может получиться такая железная связанность как натуральный ряд чисел? Марксистско-ленинская теория учит нас, что бытие и материя существуют вне нашего сознания и независимо от него. Это значит, что какие бы глубокие и тонкие категории, постулаты, аксиомы, теоремы и законы мы ни формулировали о данном предмете или о данной сфере действительности, все равно в этом предмете и в этой действительности всегда остается нечто такое, что, хотя и является вечным источником для нашего познания, но все же никогда не переходит целиком в это познание и никогда не перестанет существовать вне нашего сознания. Натуральный ряд чисел есть как раз живой предмет в действительности, который нельзя заменить никакой даже и вполне адекватной логической формулой. И если такую замену мы произвели, то это значит, что мы, с одной стороны, использовали всю конкретность, всю наглядность, всю объективную реальность натурального ряда чисел, а, с другой стороны, тут же вместо этого подставили свою только что полученную логическую формулу и стали похваляться, что натуральный ряд чисел и есть не что иное как эта наша логическая формула. Это и есть ничем не устранимое petitio principii.

Подобного рода положение встречается и в общем естествознании: сначала извлекаются уравнения и законы движения из материальной действительности, а потом говорят, что материя исчезла, и остались только одни уравнения. Наука поступает прекрасно (и иначе не может и поступать), когда извлекает уравнения и законы материального движения из материальной действительности и когда на основании этого начинает видеть в материальной действительности вместо сплошного хаоса закономерно и расчлененно развивающуюся действительность. Но если сначала уравнения и законы извлекаются из материи, а потом оказывается, что никакой материи самостоятельно не существует, что она растворилась в этих уравнениях и законах, т.е. что само ее существование зависит от этих уравнений и законов, то это есть petitio principii и есть совершенно внешний и ненужный придаток к реальному естествознанию, потому что последнее имеет одной из своих целей рассмотрение материи в свете уравнений, но отнюдь не превращает материю в эти уравнения или в ненужный придаток для этих уравнений.

В-пятых, наконец, постулаты Пеано – прекрасное доказательство того, что логистика вовсе не есть логика, а только систематизированная математика. Что дают эти «постулаты» Пеано для определения целого числа? Здесь, прежде всего, оставлены без всякого определения понятия целого числа и последующего числа. И здесь, затем, дан ряд утверждений не логического характера, а чисто математического характера, в которых иной раз нетрудно, а иной раз трудно рассмотреть ту или иную логическую категорию. Спрашивается: можно ли такую категориальную несвязанность (и часто даже неопознанность) считать логикой числа? Конечно, нет. Логические категории здесь не только никак не связаны между собою, но часто даже вовсе не формулированы как таковые. Их приходится или брать на веру, или с трудом выискивать в чисто интуитивных утверждениях, которые сами по себе могли бы иметь смысл только при наличии таких готовых и сформулированных категорий. Нетрудно усмотреть, каков подлинный смысл этой «математической логики». По-видимому, смысл этот заключается просто в упорядочении и систематизации чисто математических же материалов. В самом деле: теоремы основываются на аксиомах и разные теоремы – на разных аксиомах; разве не естественно при этом спросить, сколько же вообще имеется таких аксиом и как они между собою связаны? Однако этот вопрос есть вопрос чисто математический; и тут нисколько не больше логики, чем в доказательстве любой математической теоремы. Конечно, чтобы мыслить математически, надо мыслить логически. Но «логика» здесь вовсе не специальная дисциплина, а то общечеловеческое научное мышление, которое есть и в любой науке. Иначе, как уже было сказано, нам пришлось бы называть «физической логикой» то учение физики, которое говорит о превращении одной энергии в другую и выставляет закон сохранения энергии. В приведенных «постулатах» Пеано нет ни одного логического определения и нет ни одной установки логической связи между теми или иными категориями, а просто ставится вопрос: что в математике имеет более общий и более частный смысл? Это, однако, есть логика в таком широком смысле, что, принимая такую терминологию, пришлось бы все вообще науки считать логикой. Также и Гильберт рассматривает полученные им аксиомы геометрии и решает вопрос, противоречат ли они одна другой и совместимы ли они одна с другой. Что это такое? Это – чисто геометрическая проблема и для логики это является только сырым материалом.22

Не будем спорить о словах. Если некоторые называют аксиоматическое изложение геометрии логикой геометрии, то, в конце концов, это вопрос только терминологический; и, конечно, тут сколько угодно можно употреблять термины и «логика» и «математическая логика». Мы только считали бы более правильным находить логику там, где уж во всяком случае дается точное определение понятий, а не там, где принципиально пользуются понятиями неопределенными и неопределимыми. Точно так же является спором о словах, когда указывают на невозможность чистой понятийной логики и тем самым считают необходимой логику математическую. Критиковать математическую логику еще не значит постулировать логику, не основанную ни на каких науках и в том числе на математике. Марксистско-ленинское понимание логики как раз базирует логику на отдельных науках, но не идет на поводу обязательно математической логики. В понятийности же как таковой для марксизма-ленинизма тоже нет ничего страшного, поскольку для него понятийность есть только отражение живого мира действительности.

3. К сожалению, ни план, ни размеры настоящей работы не позволяют расширить предложенную критику логистики. Было бы чрезвычайно важно проследить несколько систематических построений логистики или хотя бы одно из них, чтобы убедиться в правильности выставленных выше тезисов о догматизме логистики и о чрезвычайной условности и узости употребляемых ею логических методов. Так, если бы мы взяли, например, логистику таких крупных авторов как Рассел, Уайтхед и Кутюра, давших в течение первого десятилетия нашего века внушительное построение этой науки, то мы поразились бы его догматизмом, эклектизмом и невниманием к вековому развитию научной логики. У одних из этих авторов (Буль и Шредер) изложение начинается с т.н. «классов», у других (Рассел) – с т.н. предложений.

Возьмем тех, которые начинают с предложения. Прежде всего, да будет известно представителям математической логики, что предложениями занимается не логика, но грамматика, логика же занимается суждениями.23 Не помогает делу, если вместо «предложений» мы будем говорить о «высказываниях», ибо последние суть тоже предмет грамматики. А затем, да будет им известно, что исчислением чего бы то ни было занимается не логика, но математика, логика же занимается осмыслением и обоснованием. Уже один этот термин «исчисление предложений», столь режущий ухо представителям логики как специальной науки, указывает на то, что тут мы мало найдем логики как таковой, а найдем математические методы на незаконном для них месте логических методов.24

Итак, Рассел и Уайтхед начинают с суждений. Почему? Почему не с понятий? Потому, что тут действует предрассудок, будто суждения обязательно предшествуют понятиям. Согласиться, однако, на этот предрассудок нет никакой возможности, ибо суждения так же невозможны без понятий, как и понятия без суждений. Кроме того, что же такое «предложение»? Рассел дает такое определение предложению: «то, что тождественно с самим собою». Это опять безапелляционное утверждение, основанное на предрассудке, будто в основе суждения лежит отождествление. Имеется еще много других теорий суждения, – почему же взята именно эта, а не другая теория?

Просматривая первые утверждения «логики предложений», мы убеждаемся в их полной математичности, а не логичности. Тут фигурирует переместительный закон, распределительный закон, подстановка, упрощения и т.д. Тут же, между прочим, вылезает почему-то и принцип «гипотетического силлогизма». Почему все это так, а не иначе, – неизвестно.25 Мы, конечно, далеки от мысли говорить что-нибудь против таких принципов как, напр<имер>, переместительный или распределительный закон<ы>. Однако, поскольку с этими законами все привыкли иметь дело в математике, а не в логике, вполне естественно желание узнать, есть ли какая-нибудь разница между употреблением этих законов в математике и в логике, и, если никакой разницы нет, то остается ли что-нибудь в самой логике кроме этих чисто математических принципов; а, самое главное, – это вопрос о том, почему же взяты из математики именно эти принципы, а не другие, и какая между ними существенная связь. Совершенно ясно, что мы критикуем здесь не самые принципы и не их математическое или логическое употребление, но только тот догматизм, с которым они вводятся в логику.

За «логикой предложений» (напр<имер>, у Рассела) следует «логика классов». Поскольку логика обычно занимается понятиями и умозаключениями, и поскольку эти авторы хотят строить именно логику, то вполне естественно спросить, что такое этот «класс» в сравнении с понятием. Призван ли здесь «класс» заменить понятие, и тогда – в чем отличие одного от другого? Или «класс» не имеет никакого отношения к понятию, и тогда – что же делать в логике с понятием? Ясного ответа на эти вопросы не дается. Если допустить, что «класс» у логицистов так или иначе соответствует понятию традиционной логики, то почему понятие есть обязательно только «класс»? Неизвестно.

Между «предложением» и «классом» эти авторы вставляют еще т.н. «пропозициональную функцию». Под последней они понимают такую логическую функцию, которая становится предложением для всякого данного значения переменной, содержащейся в данной логической функции. Логическая функция здесь понимается в сравнении с функцией математической расширительно, так как в нее входит не только функция в обычном смысле, но и уравнения. Пропозициональная функция сама по себе не есть предложение; но она становится предложением в том случае, когда входящее в нее переменное получает то или иное частное значение. Пропозициональная функция определяет собой некоторый «класс», т.е. совокупность тех значений ее переменного, для которых она истинна.

По поводу этого учения о пропозициональной функции необходимо сказать следующее. Здесь плохо то, что остается невыясненным точное отношение к общему логическому учению о понятии, суждении и умозаключении, причем эта невыясненность тут, конечно, не случайна и получила свое место вовсе не потому, что данные авторы в чем-то не разобрались и чего-то не досмотрели. Дело здесь в том, что данным авторам хочется во что бы то ни стало заменить логику математикой, т.е. на место содержательных категорий поставить категории максимально формализованные. И, тем не менее, поскольку логика нисколько не против максимально формализованного мышления, но только против плохого его формализования, поскольку вводимое здесь понятие функции, при условии исключения всяких внелогических целей, само по себе не только может быть, но и должно быть использовано в логике. Здесь, конечно, не место развивать теорию функций в применении к логике. Однако, два-три принципа нам все же хотелось бы указать.

Прежде всего, необходимо дать точное определение логической функции. Указание на то, что она охватывает также и уравнения, конечно, направляет нашу мысль в известную сторону, но все же и понятие уравнения, как оно ни ясно математически, должно быть особо формулировано логически. Это – первое.

Далее, принцип функции вносит в бесформенные, тестообразные понятия традиционной логики очень четкую и твердую структуру, что не может не способствовать прогрессу логики и, в частности, ее сближению с отдельными науками. Однако этот прогресс возможен только в том случае, если мы не будем выкидывать из логики учения о понятии, суждении и умозаключении в жертву теории функций, но, наоборот, если все это учение о понятии, суждении и умозаключении будем рассматривать в свете теории функций. Напр<имер>, будет очень хорошо и, можно сказать, даже красиво, вместо традиционной размазни о суждении, понимать суждение как функцию, будет ли то в виде понимания субъекта как функции предиката или предиката как функции субъекта, или взаимоотношения субъекта с предикатом как функции еще более глубокого переменного, залегающего в основе суждения. Точно так же школьное понимание понятия как совокупности признаков является недопустимым пережитком и ублюдком старой метафизики, давно уже отошедшей в прошлое. Строить понятие как функцию или как совокупность значений некоего переменного, удовлетворяющих тому или иному научному заданию, или вообще как нечто, так или иначе связанное с функциональными отношениями – это есть актуальная задача современной логики, если она хочет отразить в себе современное состояние науки. Логистика сделала в этом отношении очень много; но своей догматической метафизикой, своим жонглированием излишней символикой и своим пренебрежением к логике содержания она сама воспрепятствовала тому, чтобы реформировать общую логику и убедительным образом занять ее место.

Можно без конца приводить все эти тезисы логистики Рассела и Уайтхеда, и ни один из них совершенно не соответствует логике, если ее понимать как специальную дисциплину. В лучшем случае это – систематизация самой же математики. Но для логики это опять-таки только сырой материал, могущий стать логической наукой, и притом весьма внушительной, при условии его специальной обработки.

§ 4. Логика Гильберта – Аккермана

Остановимся еще некоторое время на Давиде Гильберте, безусловно самой крупной фигуре современной логистики, которому кстати принадлежит и систематический очерк именно математической логики, а не только логически обработанной математики. Это – D.Hilbert и W.Ackermann, Grundzuge der theoretischen Logic. Berl. 1928. 19372. Приведем отсюда несколько данных.

1. Читаем вступительные замечания.26 «Первую необходимую составную часть математической логики образует так называемое исчисление высказываний. Под высказыванием надо понимать всякое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, что его содержание истинно или ложно». Гильберт отказывается в данном месте входить в «более тонкую структуру высказываний» и анализировать, напр<имер>, отношение субъекта и предиката, а берет высказывание как целое (3). Таким образом, уже с первых строк здесь вводится непроанализированное высказывание, на котором потом будет строиться вся логика. Что есть высказывание или суждение, известно, разумеется, всем и без всякой логики. Но ведь что такое дождь, снег, гром, молния, что такое пищеварение или кровообращение тоже всем известно; и это еще не значит, что не нужны ни метеорология, ни физиология.

Единственный определенный момент, выставленный здесь, есть истинность или ложность. Но что такое истинность и ложность, здесь опять-таки не говорится. Конечно, Гильберт опять скажет, что и без этого все понимают, что такое истинность и что такое ложность. Однако такая ссылка на «всех» в устах Гильберта была бы не только пустой отговоркой, но и в корне неправильной. Если брать действительно «всех», то эти «все» понимают истинность и ложность, конечно, материально, а вовсе не только формально, не говоря уже о том, что разных пониманий истинности и ложности фактически существует в человеческой истории бесконечное количество. Разные понимания истинности или ложности существуют и в самой логике. Так, с легкой руки Аристотеля, часто говорят, что истинность и ложность возможны только в отношении суждений, и что понятия сами по себе не истинны и не ложны. Однако не только суждения, но и понятия тоже могут быть истинными или ложными, так, напр<имер>, ложно понятие круглого квадрата или деревянного железа; то же, конечно, надо сказать и об умозаключении. Как показывает последующее, сам Гильберт понимает истинность и ложность отнюдь не как «все», но весьма оригинально, если не прямо фантастично.

Что же такое тогда «высказывание»? Если под высказыванием понимать то, что понимают «все», т.е. нечто словесное, а не специально логическое, то одному логическому содержанию может соответствовать множество разных высказываний, и одному высказыванию может соответствовать масса разных понятий, суждений и умозаключений. Вся эта проблематика начисто отсутствует в логике Гильберта.

Таким образом, в основу построения логики у Гильберта положено два совершенно сырых, совершенно непроанализированных и догматических понятия, именно «высказывания» и «истинности».

2. Далее, в § 1 Гильберт–Аккерман «вводят основные логические связи». Чтобы не обременять типографию, мы не будем приводить все употребляемые здесь символические знаки, которые к тому же способны только затруднять лиц, не привыкших к математическим формулам. Кроме того, важно не то, как обозначать логические тезисы, а важны самые эти тезисы.

Эти «основные логические связи», по Гильберту–Аккерману, следующие: контрадикторная противоположность, «и», «или», отношение условия и обусловленного и «равнозначность». Это прямо-таки поразительно. Откуда взяты все эти отношения? Почему их взято пять, а не больше и не меньше? Почему взяты именно эти отношения, а не другие? Какая между ними связь и есть ли эта связь? Разумеется, авторы много думали, прежде чем ввести именно эти, а не другие «основные логические связи». Но что же делать их читателям? Взять все эти утверждения на веру? Прочитать и догматически усвоить? Достойно всяческого удивления столь догматическое декретирование истин в науке, которая вся насквозь есть доказательство и критика. Но попробуйте сами, без помощи этих авторов, отдать себе отчет в этих «основных логических связях».

Правда, традиционная формальная логика тоже не блещет обоснованностью и систематикой своих исходных утверждений. Но это, конечно, не есть предмет для подражания.

Уже краткое размышление обнаруживает, что здесь мы имеем многих давнишних знакомцев. Первый тип устанавливаемой здесь связи, очевидно, противоречие. Правда, это в логике отнюдь не самая первая категория; чтобы ее понять и вывести, нужны еще другие категории. Но метод некритического перечисления ничем не связанных между собою принципов, конечно, мог легко привести к тому, что позднейший тезис оказался на первом месте. Хуже всего, однако, то, что, как мы сейчас увидим, тут только чисто словесно речь идет о контрадикторности. На самом деле тут мыслится у Гильберта гораздо более простая категория, но об этом дальше.

Далее, более или менее отчетливо выступают четвертая и пятая категории, т.е. условие и равнозначность. Правда, Гильберт не хочет говорить здесь ни об условии и обусловленном, ни об основании и следствии. Но все же это, как мы сейчас увидим, до некоторой степени так. И тогда – отношение условия и обусловленности сродни отношению основания и следствия, а равнозначность сродни тождеству. Итак, тождество, противоречие и основание – вот, по крайней мере, с внешней стороны, смысл всех этих первичных логических связей; а, значит, тут мы имели бы попросту некую неясную модификацию трех основных законов формальной логики, – тождества, противоречия и достаточного основания. Законы эти здесь, если их тут находить, однако, подверглись максимальной формализации. Из них выкинуто всякое реальное содержание, и «истинность», и «ложность» понимаются здесь совершенно условно.

Пойдем далее. Что такое второй и третий тип логической связи у Гильберта–Аккермана, «и» и «или»? Трудно понять, что это значит при столь догматическом и бездоказательном способе изложения.27 Казалось бы, это есть категория соединения и разделения. Но даже если бы это было и так, то из того, что всякий понимает, что такое соединение и разделение, отнюдь еще не следует, что этих категорий никак не надо разъяснять. Конечно, все понимают, что такое «и» и «или». Но мало ли кто что понимает? Все «знают», что такое электричество и даже все умеют им пользоваться. Но все ли обладают понятием электричества? Главное же, что Гильберт под своими «и» и «или» понимает, как и все логистики, вовсе не то, что под этим обычно понимается. «И» есть обычно соединение, а у Гильберта, как мы сейчас увидим, это есть скорее разъединение, ибо соединение разного – это ведь и есть подчеркивание разъединения по смыслу. «Или» тоже хотелось бы понимать разделительно, так, как понимает его традиционная логика. Но оказывается, что это «или» здесь надо понимать не в смысле латинского aut-aut, но в смысле латинского vel-vel, т.е. в смысле приравнения, общения, совпадения.28 Таким образом, «или» в логистике есть не разделение, а, наоборот, совпадение. Однако все это, конечно, есть условность. Дело не в терминологии, а в существе употребляемых категорий; существо останется здесь совершенно невыясненным, имеется ли тут в виду разделение или имеется в виду совпадение. Это – скорее категории бытия, чем мышления. И если относить их к логике, то они отнюдь не мыслятся среди первичных категорий логики. Какая их связь с тождеством и противоречием, это требует пристального анализа. По-видимому, если применить метод остатков, то обе эти категории должны были бы соответствовать тому четвертому логическому закону формальной логики, который остался у авторов до сих пор не затронутым, т.е. закону исключенного третьего. Но как именно надо связывать «соединение» и «разделение» (т.е. совпадение) <с> законом исключенного третьего, это тоже требует четкого анализа, проводить который мы тут вместо Гильберта, конечно, не будем.29

3. Однако оставим все эти домыслы и догадки, основанные на буквальном и чересчур осторожном отношении к учению Гильберта. Таким путем, действительно, ни до чего не дойдешь, и всякие догадки и домыслы по необходимости должны здесь повисать в воздухе. Перейдем к другому методу понимания этих начальных и фундаментальных утверждений Гильберта. Мы будем исходить из двух тезисов: будучи ученым с огромным именем, Гильберт не мог давать заведомой абракадабры или бессвязной системы мыслей; и – Гильберт как абсолютный формалист и враг наглядной предметности, старательнейшим образом запрятывает свои исходные интуиции, сам в то же время неизменно пользуясь ими и находя именно в них оправдание для своих утверждений. Если мы будем исходить из этих тезисов, то нам предстоит указать то простое и наглядное, что использовал Гильберт в своей теории «логических связей» и что он запрятал до полной неузнаваемости и даже до полного якобы пренебрежения.

Энгельс говорит о том, что мышление есть форма движения (Диал<ектика> прир<оды>. 1941, <с.> 46). Форма эта, конечно, специфическая. Необходимо установить хотя бы в самых общих чертах, что это за форма.

Прежде всего, может ли существовать мышление без различения? Конечно, нет. Мыслить – это и значит в первую голову различать. Что же делает Гильберт? Давая картину основных логических связей, он, конечно, ни в каком случае не может не учитывать различающей деятельности логического мышления, ибо установить какую бы то ни было логическую связь и между чем бы то ни было – это значит, прежде всего, различать то, что в данном случае должно быть связано. Но констатировать по-простому эту самую естественную, самую простую и самую наглядную форму и категорию логического мышления Гильберт не может. Ему нужно формулировать это так, чтобы была и полная бессодержательность и полная относительность этой стороны мышления. Поэтому он здесь говорит о связи Х с не-Х, принимая, что из этих двух последних одно должно быть истинным, если другое ложно, и называя эту связь «контрадикторной противоположностью». В сущности говоря, здесь мы имеем констатирование того, что если в мышлении есть какой-нибудь Х, то это возможно только тогда, когда здесь имеется также и не-Х, т.е. когда в мышлении имеется что-нибудь одно, то должно быть еще и иное, от которого это одно определенным образом отличалось бы, без чего в мышлении оно не может быть самим собою. Это есть попросту различие, различающая деятельность мышления. Но у Гильберта это выражено намеренно сухо и бессодержательно, так что у него не только нет никакой речи о переходе Х в не-Х, но, собственно говоря, нет речи и о связи Х с не-Х, хотя уже по самой тематике этого параграфа речь должна идти именно о логических связях.

Возьмем вторую формулу логической связи у Гильберта. Это есть, как он выражается, «и», или, как он тут же говорит, «Х и Y» обозначает такое высказывание, которое истинно в том и только в том случае, если как Х, так и Y истинны. Это значит, что данная форма логической связи имеет смысл только при переходе от истинности к истинности. Другими словами, если в первой форме логической связи мы переходили от одного элемента мысли к какому-то иному вообще, о котором было известно только то, что он есть отрицание первого элемента, то теперь мы имеем такую логическую связь, при которой от одного элемента мы переходим к другому, но уже твердо определенному элементу, такому же «истинному» как и первый, исходный элемент. Тут мы переходим не просто за пределы первого элемента во что-то неопределенно иное, но в такое иное, которое является столь же определенным и устойчивым элементом, что и первый. Может ли без этого существовать логическое мышление? Можно ли остаться при одном различении какого-нибудь элемента от всех других вообще и не фиксировать никакого другого элемента во всей его определенности, с которым и устанавливается различие нашего первого элемента? Конечно, без этого нет никакого мышления как формы движения, ибо мышление как форма движения всегда есть переход от какой-нибудь одной строго-определенной точки к какой-нибудь другой строго-определенной точке. Эту простейшую интуицию всякого движения, а в том числе и движения мышления, Гильберт не мог не использовать при установлении своих первичных логических связей. Но ему опять-таки противно всякое живое движение и неприятны всякие переходы; и потому изображенный здесь у нас живой переход живого мышления от одной точки к другой он квалифицирует как безжизненное и абсолютно статичное «и», а четкость и твердую определенность исходного и конечного пункта движения (а эта четкая прерывность так же необходима в мышлении, как и его непрерывность) он понимает здесь как наличие «истинности», заменяя простую наглядность точки своим неопределенным и, как мы увидим дальше, фантастическим понятием «истинности».

Пойдем дальше. Мышление, рассматриваемое как форма движения, не есть просто переход от одного пункта к другому. То, что движется и меняется от одного положения или состояния к другому, должно в то же самое время в некотором отношении и не меняться, т.е. оставаться самим собою, ибо иначе то, что пришло из одной точки в другую, перестанет быть тем, чем оно было в первой точке, и то, что придет во вторую точку, окажется совершенно новым предметом, так что не будет смысла говорить и о самом движении, как о движении чего-то. Необходимо, чтобы изменившееся в результате движения в то же время и оставалось самим собой, т.е. чтобы, с одной стороны, переход к новому совершался в пределах старого же, а, с другой, чтобы в новом в той или в другой мере оставалось и старое. Нам кажется, что эта простейшая и нагляднейшая диалектика всякого живого движения и всякого живого перехода нашла свое выражение у Гильберта в его третьей и пятой формах логической связи с обычным для него и весьма искусным запрятыванием всякой наглядности и выдвижением на первый план статической и бессодержательной формы.

Именно, свою третью форму логической связи Гильберт формулирует как «или», которое он, впрочем, объясняет как тождество (латинское vel) и, прежде всего, как самотождество, тождество с самим собой. Тут, следовательно, Гильберт мыслит переход от одного элемента к другому, но этот переход оказывается тут переходом в пределах первого же элемента. Чтобы сказать о первом элементе, что он тождественен самому себе, сначала нужно его отличить от него самого, ибо иначе невозможно и отождествлять здесь что-нибудь с чем-нибудь. Для тех, кто мало знаком с диалектическим методом, такое самотождество всегда кажется чем-то схоластичным или, по крайней мере, излишним. Однако это – необходимейший и простейший момент всякого диалектического понимания предмета. Ведь здесь речь идет, не больше, не меньше, как о взаимоотношении целого и совокупности всех частей. Совокупность всех частей предмета еще не есть сам предмет, ибо сам предмет есть единая цельность, не сводимая ни на какую ее часть, ни на совокупность всех ее частей. И, тем не менее, фактически всякий предмет только и состоит из своих частей и не из чего другого, и его цельность вовсе не существует отдельно от его частей и не есть самостоятельная субстанция. Поэтому, когда говорится «Х или Y», то здесь Гильберт исходит, не больше и не меньше как из наглядного представления такого предмета мысли, который одновременно есть и он сам в своей неделимости и вполне тождественная с ним совокупность всех его частей. Но такую наглядность Гильберт стыдится показать в натуре; и, как всегда, ему до смерти не хочется говорить о каком-то содержании, причем он тут заменяет устойчивые формы и содержания мысли неопределенным выражением «истинность». Отсюда такое определение у Гильберта этой логической связи: высказывание «Х или Y» истинно тогда и только тогда, когда, по крайней мере, одно из этих двух высказываний Х, Y истинно. Это и понятно, потому что при тождестве Х с Y истинность одного высказывания влечет за собой истинность всего этого тождества Х с Y. При чем тут «истинность» и что такое тут «истинность», совершенно непонятно. Но вполне понятно, что если имеется в мышлении какой-нибудь твердо определенный предмет, то мышление, если его понимать как форму живого движения, наряду с прочим, состоит и в разнообразном разделении, и расчленении этого предмета, и в отождествлении его расчлененных частей с ним же самим. Без этого нет мышления, если только оно для нас не мертвая схема, но живое движение; и без использования такой стороны мышления Гильберт, конечно, не мог обойтись, каким бы формализмом он ни страдал.

Аналогично с этим выдвигает Гильберт и свою пятую форму логических связей, именно, равнозначность. Ведь живое мышление, переходя от одной точки к другой, должно не просто переходить (это было бы не мышлением, отражающим бытие, но всего только самим же бытием); оно должно еще и сравнивать, и сопоставлять те точки, между которыми оно совершает переход. Но что значит сравнивать? Сравнивать два элемента это значит, прежде всего, первый рассматривать в свете второго и второй рассматривать в свете первого, т.е. в первом находить следы второго и во втором находить следы первого, т.е. первое (по крайней мере, частично) отождествлять со вторым и второе отождествлять с первым, т.е., устанавливая (по крайней мере, частично) тождество первого со вторым, находить это тождество сначала в первом, а потом и во втором. Тождество первого элемента мысли со вторым, но в области первого же, подсказало Гильберту указанную нами третью форму логической связи. Тождество же первого со вторым, но в области второго, это есть его пятая форма логической связи, называемая им «равнозначность». По Гильберту высказывание «Х равнозначно Y» обозначает такое высказывание, которое тогда и только тогда истинно, когда Х и Y оба истинны или оба ложны, так что Х и Y «имеют здесь одно и то же значение истинности или ложности». Конечно, и здесь термин «истинность» остается таким же непонятным. Нам кажется (к этому мы еще вернемся), что под истинностью Гильберт вообще понимает определенность и очерченность мысли, или, может быть, упорядоченность мысли, беря из этой определенности и упорядоченности только самую форму или принцип упорядочивания.

Однако есть еще одна сторона живого мышления, которая не только имеет центральное значение в самом мышлении, но которая послужила источником и для логики Гильберта. Именно, о мышлении не только недостаточно говорить в терминах бытия (напр<имер>, указывать на его «переходы»), но недостаточно также говорить и о сравнивающей и сопоставляющей деятельности. Ведь мышление есть отражение бытия, но бытие находится в вечном движении и даже самодвижении. Следовательно, и мышление, если оно, действительно, есть отражение бытия, должно содержать в себе хотя бы некоторого рода самодвижение. Иначе отражением живого окажется нечто мертвое, а в таком случае нельзя будет говорить и о самом отражении. Что же такое самодвижение в мышлении, если его понимать как специфическое отражение самодвижения бытия? Это есть, прежде всего, умозаключение, ибо если имеется основание, то оно уже само по себе требует того или иного следствия, и это следствие, хотим мы этого или не хотим, само собой вытекает из своего основания. Мог ли Гильберт, пожелавший формулировать основные логические связи, миновать эту наиболее живую сторону мышления? Ведь тут мышление выступает перед нами не только как движение и переход, но и как развитие, поскольку в его предыдущих моментах уже содержатся в скрытом виде все последующие моменты. Это и заставило Гильберта формулировать его четвертую форму логических связей. Но здесь его ненависть ко всякой наглядности и виртуозность его формализма и схематизма достигают поистине фантастических размеров.

Свою четвертую форму логической связи Гильберт обозначает при помощи высказывания «если Х, то Y», которое, согласно Гильберту, «ложно в том и только в том случае, когда Х истинно, а Y ложно». Гильберт предупреждает, что это соотношение не следует понимать как отношение основания и следствия. По Гильберту выходит, что, напротив того, высказывание «если Х, то Y» истинно всегда уже в том случае, когда Х есть ложное или же Y есть истинное высказывание. Эта четвертая форма логической связи, по мысли Гильберта, имеет общее с соотношением основания и следствия только то, что в случае истинности высказывания «если Х, то Y», из истинности Х можно заключить к истинности Y.

Из определения этой четвертой формы логической связи вытекает, что Гильберт считает истинными следующие три типа высказывания:

если «дважды два четыре», то «снег – бел»;

если «дважды два пять», то «снег – бел»;

если «дважды два пять», то «снег – черен».

Ложным же является высказывание:

если «дважды два четыре», то «снег – черен».30

Попробуем отдать себе отчет в этом замечательном учении.

4. Самое главное здесь то, что Гильберт вовсе и не прикасается к выводу как к логическому процессу. Такой вывод как «если дважды два четыре, то снег – бел» вовсе не есть ни вывод правильный, ни вывод вообще. Вывод здесь понимается чисто словесно, а не логически; и правильность самого процесса вывода Гильберт и Аккерман заменяют правильностью, напр<имер>, исходной или заключительной посылки вывода. Это уже не есть формализация вывода, но замена его внешне словесным обозначением, которое само по себе бессмысленно. Вполне бессмысленны и другие примеры. Все эти примеры на «если..., то...» не суть ни истинные, ни ложные, а только бессмысленные.

Эти рассуждения Гильберта–Аккермана об условии и обусловленном являются замечательным примером нигилизма и внутреннего разложения буржуазной мысли. Скажем о них несколько подробнее.

Мы бываем еще недовольны той формальной истинностью, которая фигурирует в традиционной формальной логике. Но в сравнении с теорией «истинности» у Гильберта–Аккермана даже и эта традиционная формально-логическая истинность является чем-то богатым и глубоким. В силлогизме:

Все женщины имеют хвост

Мария Ивановна – женщина

Мария Ивановна имеет хвост

можно сколько угодно высмеивать бессодержательность и глупость мысли; но зато всякий самый заядлый реалист согласится, что здесь некоторое правильное движение мысли и безусловно правильное умозаключение, несмотря на бессодержательность и ложность исходной и заключительной посылки. Но у Гильберта–Аккермана нет даже и этой формальной и бессодержательной истинности, потому что логическое умозаключение заменено здесь ничего не значащими и ни к чему не обязывающими словами «если ..., то ...».

Да и на основании чего эти авторы могли бы считать истинным такой вывод как, напр<имер>, «если дважды два четыре, то снег – бел»? На основании истинности исходной или заключительной посылок? Но, во-первых, истинность отдельных посылок умозаключения не имеет ничего общего с истинностью самого умозаключения. А, во-вторых, на основании чего можно было бы говорить об истинности даже и этих отдельных посылок?

Материалисты и реалисты скажут, что об истине они узнают из разного рода жизненных ощущений и восприятий или из практики, и что истинность есть соответствие объективной реальности. Кантианцы скажут, что истинность есть соответствие априорным формам субъекта. Но Гильберт не хочет быть ни материалистом, ни идеалистом, ибо ощущение для него ничего не значит, а в какие-нибудь априорные формы он тоже не верит. В конце концов, истинность для него все, что угодно, т.е. все, что кто-нибудь и когда-нибудь считал, считает или будет считать за истину. Однако напрасно он думает, что этим он формулирует какую-нибудь действительно формальную, логическую или математическую истинность.

При таком бессмысленном употреблении термина «истинность» совершенно нельзя сказать даже и того, что истинность противоположна ложности. Для такого субъекта как Гетевский Мефистофель, между тем и другим едва ли есть какая-нибудь противоположность. Да для этого не нужно быть и Мефистофелем, а достаточно быть просто жуликом или идиотом. Впрочем, не нужно быть даже жуликом. Ибо, если правильно, что большие дожди приносят урожай, то я не знаю, почему надо считать ложным, что большие дожди приносят неурожай. Ведь только стоит быть дождям больше известной меры или в несоответствующее время, как урожай превращается в неурожай.31 Почему же вдруг по Гильберту получается, что при истинности вывода «если дважды два четыре, но снег – бел» ложен вывод – «если дважды два четыре, то снег – черен»? Отказавшись от истинности и в материальном и в формальном смысле слова и сведя ее на бессмысленный словесный знак, Гильберт сам преградил себе дорогу к логическому использованию понятия истины, вследствие чего его заключения от истинности одного вывода к ложности другого, противоположного первому, или, вообще говоря, о том, что истина и ложность противоположны, являются смешным и некритическим остатком одной из самых скудных логических теорий, именно школьной формальной логики.

В одном отношении употребление терминов «истинность» и «ложность» у Гильберта–Аккермана может иметь некоторый реальный смысл. А именно, в истории науки, в конкретной практике бесконечных кропотливых сложнейших исследований часто оказывалось и оказывается, что исследователь исходит из правильной посылки, но приходит к ложному выводу, или что он исходит из ложной посылки и приходит к правильному выводу, или что он исходит из правильной посылки и приходит к правильному выводу, но приходит путем неправильного умозаключения и т.д., и т.д. Так, напр<имер>, даже некоторые математики, исходя из правильных теорем, приходили к новым теоремам, тоже правильным, но этот их вывод, т.е. самый ход доказательства правильной теоремы оказывался неправильным. При таком сложном взаимоотношении моментов истинности и ложности, можно действительно соблазниться многозначностью этих терминов и обобщить их до полной бессмыслицы. Однако все указанные нами умозаключения, постоянно бытующие в конкретной науке, есть, конечно, только временное недоразумение. Если правильная теорема доказана при помощи неправильных умозаключений, то это не значит, что мы должны признать теоретически истинным вывод типа «если дважды два четыре, то снег – бел». Рано или поздно неправильное доказательство правильной теоремы распознается именно как неправильное, и связь правильной теоремы с ее неправильным доказательством рано или поздно квалифицируется как недоразумение. Если такой квалификации пока еще нет, то это вовсе не значит, что логическое сознание исследователей движется здесь не в русле обычных и нормальных представлений об истинности и лжи, т.е. что, с их точки зрения, правильную теорему нужно доказывать неправильным методом, потому что для их сознания данная правильная теорема пока доказана именно путем правильных умозаключений. Если же такая квалификация установлена, то неправильное доказательство правильной теоремы тем самым признано негодным, т.е. опять-таки сознательная логика последовательно движется здесь в русле нормальных и общечеловеческих представлений об истинности и лжи. Но в науке никогда не бывает так, чтобы неправильное доказательство правильной теоремы сознательно и логически считалось чем-то научным, истинным или хотя бы допустимым. Это только – временное недоразумение, и – больше ничего. И возводить это недоразумение в ранг логического вывода, в ранг истинного умозаключения – это значит утерять всякое сознание истинности и ложности и свести его на ничего не значащие словесные знаки. Недаром Гильберт отказывается говорить здесь о выводах и предпочитает многозначный и неясный термин «высказывание».

5. Далее переходим к § 2, трактующему об эквивалентностях, т.е. о равнозначных высказываниях. Тут особенно наглядно выступает сырой и непроанализированный для логики характер многих операций логистики. Так, сказать «Х и Y» все равно, что сказать «Y и Х». «Х и (Y и Z)» эквивалентно высказыванию «(Х и Y) и Z». «Х или Y» все равно, что «Y или Х». Высказывание «Х или (Y или Z)» эквивалентно высказыванию «(Х или Y) и (Х или Z)». Отсюда вытекают коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы высказываний и аналогия «и» с алгебраической суммой, а «или» с алгебраическим делением, а также ряд операций, аналогичных с алгебраическим вынесением за скобку.

Вся эта суета с коммутативным и пр<прочими> законами имела бы прямое отношение к логике32 только в том случае, если бы здесь мы нашли развитое рассуждение об идее порядка и группировки в применении к логике (не говоря уже о том, что категории «и» и «или» остаются невыясненными также и здесь). Принцип порядка, а, следовательно, и принцип структуры, это очень важный принцип логики, который в логике, – не в пример математике, – пока еще очень плохо изучен. Не входя ни в какой анализ применения этого принципа в логике, мы можем сказать только то, что это применение здесь чрезвычайно сложно. Если Гильберт–Аккерман хотят при помощи указанных только что законов формулировать полную неприменимость к логике принципа порядка и структуры, то, пожалуй, это и не плохой прием. Однако, если это так, то почему же это вдруг логика не должна подчиняться никакому принципу порядка и структуры. Ведь это была бы логика очень далекая от отдельных наук, ибо существуют такие науки, которые целиком построены на структурных законах, какова, напр<имер>, органическая химия или кристаллография. Логика, исключающая из логического мышления принцип структуры, очевидно, совсем не годится для таких наук.

Вероятно, Гильберт–Аккерман устраняют здесь принцип структуры и порядка на том основании, что они хотят строить максимально формальную логику. Однако совершенно неправильно, что формальная логика не предполагает никаких логических структур. Если мы определяем понятие как «сооружения, приспособленного для защиты человека от атмосферных явлений», то все указанные здесь признаки понятия («сооружение», «приспособление», «защита», «человек» и т.д.) вовсе не ссыпаны здесь в некой бесформенной куче, но находятся в строго определенном взаимном отношении и порядке, нашедшем себе, в данном случае, выражение в разного рода грамматических формах частей речи, падежей и предлогов. Конечно, традиционная формальная логика каким-то непостижимым образом увиливает от всякого принципа порядка и структуры; и, в конце концов, может быть, даже это и не худо, если для структурной логики отводить специальное место. Но совершенно ясно, что как само понятие порядка или структуры, так и форма его применения в логике – это сложнейшая проблема науки; и не понятно, как можно было бы от нее отмахнуться безапелляционным и немотивированным приведением арифметических законов (хотя сами эти законы совершенно безупречны и, после соответствующего анализа, вполне могли бы занять почетное место в специально указанных для них отделах или типах логики).

Все эти перестановки, размещения и пр<очее> можно, конечно, понять и арифметически. Но в таком случае это чисто бытийные акты, а не логические процессы. Перестановки, подстановки, размещения в разные группы ровно ни о каких логических связях ничего не говорят, если все это не подвергается специальному анализу, а берется в сыром математическом виде. Это как раз прекрасные примеры на то, как вещи и их процессы отнюдь не есть понятия о вещах и отнюдь не есть логические процессы.33

6. В этом же параграфе содержится и еще одно, не менее поразительное учение. Оказывается, основные типы логической связи, только установленные, вовсе не есть нечто обязательное. Так, «равнозначность», оказывается, можно заменить связями «если... то ...» и «и», т.е. можно сказать: «Х равнозначно Y» эквивалентно «если Х, то Y» и «если Y, то Х», т.е. если из Х «вытекает» Y, а из Y «вытекает» Х, и если эти два вывода мы возьмем вместе, то это будет значить, что Х равнозначно Y. Значит, «равнозначность» здесь выражена «выводом» плюс «соединение». Точно так же, рассуждают эти авторы, «равнозначность» и «или» могут быть заменены через «и» и «контрадикторность». Так, высказывание «Х и Y» эквивалентно отрицанию соединения отрицания Х и Y. Другими словами, Гильберт здесь хочет сказать, если есть Х, то нет Y; а если есть Y, то нет Х; но и Х есть и Y есть; значит, остается только – или Х или Y. Несомненно, здесь мы сталкиваемся с вопросом взаимоотношения и взаимосвязи выставленных в начале пяти категорий. Но этот вопрос тоже не ставится здесь в систематической форме, а затрагивается случайно, в то время как ясный и отчетливый анализ был бы необходим именно в самом начале, без чего все это построение оказывается догматическим и висящим в воздухе.

Этим же характером отличается и следующий § 4, который при другом методе изложения, возможно, имел бы значение действительно логического анализа. Это – приведение логических выражений к «нормальной форме», состоящей «из суммы произведений, в которых каждый множитель является или основным высказыванием или отрицанием какого-нибудь такого» (т.е. состоящей только из «и», «или» и «отрицания»). Для логики это – сырой материал, так как здесь отсутствует анализ самих этих категорий «и», «или», «отрицания» и др. и почему будет «нормальнее», если мы исключим «следствие» и «равнозначность», – неизвестно. На основании того наглядного понимания мышления как формы движения, о котором мы говорили выше и которое, по нашему мнению, Гильберт использовал в своей логике, можно было бы, конечно, немало сказать по поводу этой «нормальной формы» высказывания, и о том, почему Гильберт понимает ее именно так, а не иначе (точно так же как и относительно указанных только что эквивалентностях). Но мы очень далеки от мысли давать в этой статье свое собственное построение математической логики.

7. В § 4 ставится мало понятная логическая задача «найти такие соединения высказываний, которые всегда истинны, т.е. независимо от того, дают ли основные высказывания истинные или ложные утверждения». Эта мало понятная задача решается так. Оказывается, существуют следующие «правила» такой «истинности»: 1) «Х или не-Х» всегда истинно; 2) если Х истинно и Y обозначает любое высказывание, то также истинно и «Х или Y»; 3) если Х истинно и Y истинно, то в таком случае истинно и «Х и Y». Истинными (после приведения к «нормальной форме») оказываются все выражения, характеризующиеся тем, что «в каждом произведении появляется в качестве множителя по крайней мере одно из основных высказываний одновременно с его отрицанием». Очень трудно понять, в чем тут дело и какое это имеет значение для логики. Насколько можно догадаться, правила эти, особенно первое, как будто смахивают на принцип исключенного третьего. Однако это только догадка, быть может, совершенно несовместимая с мыслью Гильберта. Быть может, здесь указывается на то, что между утверждаемым и отрицаемым всегда есть нечто общее. Ведь «или» (т.е. «умножение») означает в логистике совпадение или наличие общих части. Всегдашняя истинность высказывания «Х или не-Х» в таком случае означала бы, что между Х и не-Х всегда есть нечто общее, т.е. само же это Х, без его утверждения и без его отрицания. Но таков ли смысл этого учения, поручиться нельзя за отсутствием всяких разъяснений.

Наиболее вероятной расшифровкой этого нам представилось бы следующее. «Х или не-Х» есть отождествление утверждения и отрицания. Где мы находим это тождество утверждения и отрицания? Его мы находим в первую голову в понятии границы. Если мы имеем, напр., круг, то окружность круга, с одной стороны, относится к самому кругу, ибо никакого круга без окружности не существует; но, с другой стороны, эта же самая окружность относится к тому фону, на котором существует данный круг, ибо никакой фон, на котором окружность не выделяет круга, вовсе не содержит этого круга. Ясно, что на границе круга, т.е. на окружности, совершенно совпадает и отождествляется то, что есть круг и то, что не есть круг. Следовательно, отождествление утверждения и отрицания, т.е. высказывание «Х или не-Х» обозначает не что иное, как проведение некоторой четкой границы для Х, как ясное и твердое его оформление на мысленном фоне вообще. В таком случае первый тезис Гильберта в анализируемом параграфе указывал бы на истинность как на твердую определенность, оформленность и четкую отграниченность мысленного предмета, что как будто бы совпадает и с другими нашими наблюдениями о понимании истинности у Гильберта и что указывало бы на вполне наглядный и живой корень логической мысли, используемый здесь Гильбертом, но, как всегда, не формулируемый им в отчетливой форме. Такое понимание этого тезиса Гильберта нам представляется наиболее вероятным, гораздо более вероятным, чем предложенные только что два других понимания; но, конечно, доказать истинность нашего наблюдения никак невозможно ввиду отсутствия каких бы то ни было разъяснений у Гильберта; и оно остается не больше как догадкой и произвольным домыслом.

8. В § 5 формулируется т.н. «принцип двойственности», состоящий в том, что от формул сложения можно перейти к формулам умножения, т.е. от «и» к «или» и обратно, так что, напр<имер>, высказывание «Х или (Y и Z)» равнозначно с высказыванием «Х или Y и Х или Z» (одна из формул дистрибутивного закона). Это интереснее дано в одной из формул § 3, где шла речь о получении «нормальной формы»: отрицание высказывания «Х и Y» все равно, что высказывание «Х или Y», а отрицание высказывания «Х или Y» все равно, что высказывание «Х и Z».

Чтобы понять такое учение Гильберта, мы можем только привлечь те наглядные свойства мышления как формы движения, о которых мы говорили выше. Именно, если логическая связь «и» указывает, как мы там утверждали, на переход от одного определенного элемента к другому, то само собою становится ясным, что отрицание такого перехода от одного к другому есть утверждение перехода от одного к нему же самому, т.е. отождествление одного элемента с самим же собою или отождествление другого элемента тоже с первым. А это и есть логическая связь «Х или Y». Точно так же отрицание этого тождества одного элемента с ним же самим или другого элемента с первым есть разъединение обоих элементов, разрыв их тождества и переход от одного элемента к другому элементу, который уже ни в чем не тождествен с первым. А это и есть логическая связь «Х и Y». Такой простейший смысл можно было бы вложить в это учение о взаимном отрицании «и» и «или».

Однако сказать так – это значит насильственно раскрыть секрет логистики в данном случае, ибо и Гильберт, и прочие логистики весьма старательно запрятывают эту материально-содержательную наглядность, давшую им право на «принцип двойственности». Выразивши эту наглядность формулой какого-нибудь дистрибутивного закона, логистики скрыли от нас самое главное и свели жизненную наглядность на пустое арифметическое упражнение, т.е. тем самым поставили нас перед каким-то максимально формализованным, но в то же время совершенно сырым для логики материалом. Наглядность и везде, и в данном случае дает нечто бесконечно более богатое, чем эта «алгебра логики»; и усвоивши однажды, что речь идет тут о замене перехода от одного элемента к другому отождествлением этих элементов, мы сразу натыкаемся на огромную философскую и логическую проблему, чрезвычайно важную и теоретически, и жизненно. И решение этой проблемы при помощи дистрибутивных законов есть только одно из многих возможных решений; оно не единственное даже и математически, не только логически. Безапелляционное решение ее в смысле арифметической дистрибутивности есть смешная догматическая метафизика. Против этого нельзя возражать так, что арифметика-де тоже имеет право на существование. Ведь разбираемые авторы пишут сводный труд под названием «Основные черты теоретической логики».34 Самое это название каждым из четырех слов, в него входящих, кричит о цельном изображении логического мышления. И против арифметики нечего возразить, если она берется в контексте всей логики вообще. Но она есть недопустимое зло, если она себя абсолютизирует и делает невозможными все другие логические методы.

9. В § 6 рассматривается «дизъюнктивная нормальная форма логических выражений» в противоположность первой нормальной форме, рассмотренной в § 3 и теперь получающей название конъюнктивной. Разница между обеими формами заключается в том, что конъюнктивная нормальная форма состоит из суммы произведений, образуемой отрицанием или неотрицанием основного высказывания, а дизъюнктивная форма состоит из произведения сумм, образующихся слагаемыми в виде отрицаемого или неотрицаемого основного высказывания. Так, напр<имер>, высказывание «Х равнозначно Y» можно выразить в такой дизъюнктивной нормальной форме: «Х и Y» или «не-Х и не-Y»; и это значит, что Х и Y должны или выступать оба вместе, или оба вместе не выступать, если только равносильно высказывание, что Х равносильно Y. В первой нормальной форме мы преобразовывали высказывание так, чтобы получить из него соединение ряда совпадающих высказываний, здесь же – совпадение ряда соединений. Таким образом, это только новая комбинация при помощи все тех же самых «и» и «или». По-видимому, пристрастие к этим процессам разделения и совпадения, или соединения и разъединения вытекает из арифметизма самой этой логической системы. Логистики хотят свести все логические процессы на разъединение и совпадение элементов. Если это так, то попытку эту заранее надо считать совершенно недостаточной для логистики. Соединение и разъединение, взятые как таковые, суть процессы не специально мышления, но бытия. И поскольку логика есть наука не прямо о бытии, но об отражении бытия в мышлении, постольку соединение и разделение ничего еще не говорят сами по себе о логических процессах. Получается любопытный курьез: логистика как раз не хотела говорить о бытии, но хотела остаться только в пределах операций с «высказываниями», «классами» и «функциями»; но тем самым, что она отказалась от анализа понятий, суждений и умозаключений как таковых и свела все к арифметике и алгебре, она этим самым именно онтологизировала сама себя, так как число гораздо ближе именно к бытию, чем к понятию, и соединение, и разделение, к которым логистики хотят свести мышление, есть именно бытийные, а не специально мыслительные процессы. Впрочем, даже если согласиться понимать соединение и разъединение как принципы логические, а не просто бытийные, то, все равно этими принципами невозможно исчерпать картину мышления как формы живого движения. Эти принципы давали бы все же весьма механистическую картину; и то, напр<имер>, что мышление есть развитие, совершенно не затрагивалось бы такими принципами.

10. В этой работе нет возможности проследить шаг за шагом все построение Гильберта–Аккермана. Это было бы равносильно написанию новых «Основных черт теоретической логики» и при том гораздо больше по объему. Однако уже и приведенного материала более чем достаточно для иллюстрации данной нами выше характеристики математической логики, и особенно для ее догматизма, дающего возможность выставлять ответственнейшие тезисы без всякого доказательства, а также и для понимания отсутствия в ней логического анализа вводимых ею категорий и замены этого логического анализа арифметическими связями, выделяющими только одну сторону мышления и при том далеко не самую существенную.

Можно ли, напр<имер>, более догматично изложить «аксиомы исчисления высказываний», чем они изложены в § 10 анализируемой книги? Без всяких доказательств, без всяких пояснений, даже без вразумительной – не логической, а хотя бы только словесной – формулировки введены здесь следующие четыре аксиомы, которые мы передадим простыми словами (а не специально вводимыми знаками).

1) Высказывание Х истинно тогда, когда истинно высказывание «Х или Х». Поскольку мы уже знаем, что высказывание «Х или Y» истинно тогда, когда истинно, по крайней мере, одно из этих двух высказываний, и поскольку сейчас мы говорим не об «Х или Y», но об «Х или Х», то совершенно ясно, что высказывание Х оказывается истинным в случае истинности высказывания «Х или Х». Но простое словесное переиначивание давно установленного тезиса, может быть, и имеет большое математическое значение, но логика нуждается в осмысленном раскрытии самого этого тезиса.

Отсюда возникает вопрос, почему же нужно считать истинным Х, если истинно «Х или Х»? Высказывание «Х или Х», как мы знаем, есть просто отождествление Х-а с самим собой. Но тождество Х с самим собою есть не что иное, как его определенность и оформленность, потому что Х, о котором еще неизвестно, что он есть именно Х, предстает перед нами в виде чего-то неузнанного, неопределенного и бесформенного; и когда мы в этом Х узнали именно его самого, мы его четко отделили от всего прочего и дали ему определенное место в своем мышлении. В таком случае под «истинностью» Х у Гильберта пришлось бы понимать просто определенность этого Х в мышлении, т.е. соответствие этого высказывания Х не какому-нибудь объективному бытию, но ему же самому, как оно есть в мысли. По крайней мере, на стр. 41 Гильберт противопоставляет свою логику Аристотелевской в том смысле, что последняя видит истинность в соответствии с реальным предметом. В чем истинность по его собственному учению, он тут не говорит, а указывает только отрицательно, что математическая истинность иная. Так не заключается ли она в том, что понятие здесь соответствует не бытию, но самому себе, и не об этом ли говорит первая Гильбертовская аксиома? Может быть, да; может быть, нет. Если – да, то логика Гильберта в своем формализме настолько же далеко идет вперед в сравнении с кантианством, насколько кантианство формалистичнее всякого реализма и материализма. Тут даже априорные формы человеческого субъекта оказываются слишком бытийственными и материальными; и под «истинностью» тут понимается нечто настолько широкое, что истинной является решительно всякая мысль, лишь бы она была определенной и соответствовала сама себе. Это даже не формализм, а просто фикционализм.

Остальные три «аксиомы исчисления высказываний» мы обсуждать не будем, поскольку возможные здесь наши догадки ясно вытекают из только что сказанного, и ограничимся только их приведением.

2) Если Х истинно, а Y – какое-нибудь другое высказывание, то истинно также и высказывание «Х или Y».

3) Произведение истинных высказываний (т.е. соединение их через «или») коммутативно.

4) Высказывание «если Х, то Y» останется тоже истинным, если мы и Х и Y «помножим» на какое-нибудь Z (т.е. присоединим его при помощи «или»).

Почему взяты эти аксиомы, а не другие? Почему их четыре, а не пять и не шесть? Как они между собою связаны? Какую логическую категорию выражает каждая из этих аксиом? Что значит это «или» в смысле логической связи? Напрасно искать ответа на эти вопросы в труде Гильберта–Аккермана. Как-де хотите, так и думайте. Разве можно себе представить больший и худший догматизм и большее пренебрежение логикой как специальной наукой о мышлении?

В довершение всего в том же параграфе еще мы находим учение о том, как делать выводы из этих аксиом. Оказывается, правил этих всего два – правило подстановки и схема заключения. Первое правило гласит, что любое высказывание мы можем заменить без ущерба для дела, при условии только, что эта подстановка будет произведена везде, где только выступает данное высказывание. Но уже было сказано, что подстановка – процесс бытийный или внешне-словесный, но никак не логический. Святою простотой веет и от «схемы заключения», гласящей, что из двух формул «А» и «если А, то В» мы получаем новую формулу «В». Перед этой мудростью можно только развести руками. Мы-то, несчастные, бьемся в логике над тем, что такое это «получаем», и каковы функции, основания и типы этого «получения». Тут же все решено сразу, на двух или трех строках!

Не собираясь посвящать наши заметки специально Гильберту, мы можем на этом и остановиться. Но мы на материалах Гильберта–Аккермана, кажется, тоже доказали, что логистика не есть логика, а только очень сырой материал для логики. Возможно, что тут залегает даже очень большая мудрость и глубина, как ее много и в самой математике. Однако, вскрыть эту мудрость и глубину – это значит произвести огромную логическую работу. У Гильберта она отсутствует.

Все же, в заключение, на одно несомненно сильное место логистики мы укажем, имея, впрочем, в виду не столько математическую логику, сколько логическую математику.

§ 5. Сильное место логистики

Разумеется, зачеркивать целиком эту методологию не приходится. Не говоря уже о значении ее для математики (об этом пусть судят математики), и для логики эта – теперь уже почти вековая – работа логистиков отнюдь не прошла даром. Надо только уметь нащупать ее сильное место.

1. Это сильное место не есть ее внешняя сторона, как это раньше выдвигали многие. То, что ясный язык заменяется в логистике громоздким аппаратом сложных обозначений, это – только ее более или менее удобная техническая сторона, а не ее принципиальное завоевание. Уже в самой-то математике кое-где слишком заметно традиционное злоупотребление буквенной символикой, которую математики нагромождают где надо и где не надо и без которой часто можно было бы вполне обойтись, заменивши ее ясным человеческим словом. В логистике же это совсем доходит до уродства. Особенно в этом отношении старались прежние логистики, выдумывавшие такие вычурные обозначения и такие каракули, что печатать их можно было только в специальных типографиях, специально заказывая небывалый шрифт. Это, конечно, пустяки; и хорошо, что нынешняя логистика, кажется, отходит от этого. Научности от этих каракулей не прибавляется; трудность их чтения несравненно большая, чем трудность чтения обыкновенного словесного текста; сближение же логики и математики не может получиться от столь внешних и поверхностных, от столь наивных методов. Итак, сила логистики не в этом.

Сильная сторона логистики, далее, заключается и не в том, что математика здесь трактуется в качестве ветви логики. Это не сильная, а слабая сторона логистики, ибо математика ни с какой стороны не является ветвью логики. Это две совершенно разные, совершенно не зависящие одна от другой, совершенно самостоятельные дисциплины. Можно и нужно переводить их одна на другую.35 Но этот перевод как раз и показывает, что тут мы имеем дело с совершенно разными дисциплинами, и ни одна из них не является ветвью другой. Логистика тут ровно ничего не доказала. Если приступать к построению логики и тут же с первых слов трактовать о переместительном или распределительном законе, то не удивительно, что математика оказывается частью такой логики. Но такая логика как раз не есть то, что обычно называется логикой как специальной дисциплиной. Это или совмещение логики с математикой или почти стопроцентная математика, а не логика как самостоятельная дисциплина.

Наконец, сильное место логистики также не заключается в том, что она решает задачу логического осознания материала математики. Имея такое узкое понимание логики и не употребляя всего того категориального аппарата, который находится в распоряжении логики, логистики едва ли в состоянии дать полное осознание математического предмета и дать подобающее ему логическое обоснование. Что же касается логически последовательного изложения самой математики (каковое мы находим в современной аксиоматике), то это едва ли относится к самой логике. Скорее это есть просто сама же математика, но изложенная не как попало, но с соблюдением точных исходных пунктов и с точным учетом всего того, что данный исходный пункт определяет собою в конкретном материале математики. Логическая последовательность той или иной науки еще не превращает эту науку в логику, ибо всякая наука должна быть логически последовательной, но никакая отдельная наука от одного этого еще не делается логикой. То, что мы согласились бы называть логикой, должно охватывать не одну какую-нибудь науку, но все науки вообще, и даже не только все науки, но и всякое до-научное и вне-научное мышление. Не существует никакой чистой логики вне этой общечеловеческой научной и вне-научной практики. Но никакая отдельная область человеческой практики не может исключать все другие; и если логика хочет пользоваться только одними математическими методами, то это нисколько не есть ее достижение, но ее провал, хотя пользоваться математическими методами наряду со всеми другими она и может, и должна.

2. Чтобы формулировать подлинно сильное место логистического метода, надо вспомнить то, что мы выше говорили о логистической теории натурального ряда чисел. Мы констатировали, что логистика здесь не то, чтобы ошибалась в буквальном смысле слова. За вычетом всех невязок, в постулатах Пеано мы все же находим некоторое определение натурального ряда. А именно, он определен здесь как прогрессия. Правда, это определение недостаточно. Уже школьные учебники логики скажут, что это определение «несоразмерно», т.е. в данном случае слишком широкое. В абсолютном смысле это не ошибка, а только недостаточность. И вот если вообще не гоняться за логической квалификацией математического предмета во всей его полноте, а ограничиться только его абстрактной структурой, только его скелетом, то такая теория натурального ряда чисел, как у Пеано, получает весьма заметное значение, и тут, несомненно, сильная сторона логистики. Дать что-либо большее, чем скелет числовых предметов, она не может в силу своих исходных позиций, которые впервые и делают ее логистикой. Раз она исключает интуицию, то, конечно, остается только скелет предмета. Не будем здесь чересчур требовательны: для фиксации скелета тоже нужна некая вполне определенная наглядность этого скелета. Но согласимся, что скелет есть только система связей, лишенная всякого наглядного элемента. При допущении такой условности можно предоставить логистике то поле исследования, на которое она претендует, и – уже не ждать, что математический предмет будет исследован ею полностью. Он не исследуется ею полностью, но зато она осознает в нем некоторого рода стержень, некий логический скелет, на котором держится конкретный организм математического предмета. И если этот скелет строится тут правильно, то и за него можно быть благодарным логистическому методу.

3. К этому надо прибавить еще другое обстоятельство. Исходя из математики и пользуясь по преимуществу математическими методами, логистика вытаскивает на свет такие понятия и методы, которые давным-давно практикуются в математике, но которых нет или почти нет в логике. Ведь логика страшно отстала и от науки вообще и от математики в частности. То, что стало уже давно достоянием даже школьной математики, даже трафаретных предметов математического преподавания, вычисления и технического применения, то самое в логике все еще никак не дифференцируется от метафизики, от мистической философии и с великим трудом усваивается как именно логическое.

Так, для многих логиков все еще находятся под запретом такие категории, как «бесконечность», «непрерывность» и пр<очее>. Точно так же с большим трудом усваивается такая категория, как «отношение», и «логика отношений» все еще никак не может найти себе достаточного места в системе логики. А «логика отношений» как раз взлелеяна логистикой, и за постоянное выдвигание «логики отношений» как корректива к объемной логике, конечно, нужно быть благодарным логистической литературе.

Или возьмем такое, напр<имер>, понятие, как понятие структуры. Не приходится скрывать того, что оно многими очень плохо усваивается в логике и что многие все еще видят в нем отголоски старой метафизики, старого идеализма и т.д. Этот досаднейший предрассудок или попросту неосведомленность прекрасно корректируется математическим учением, напр., о порядке и упорядочивании, которое использовано математикой и часто даже выдвигается ею на одно из первых мест. Тип, напр<имер>, это то, в чем тождественны два подобных между собою упорядоченных множества. Но тогда это есть наглядная структура множества, которую, если перенести в логику, то мы и получаем наглядную структуру понятия и вместе с тем весьма оригинальный и вполне специфический тип построения всей логики. Логистика в этом отношении является весьма поучительной, ибо математический предмет в этом случае оказывается настолько ярким, что даже обескровленная логистика не в силах его затушевать и что даже она, пытаясь занять некое место в логике, волей-неволей вносит в нее эти весьма плодотворные и точнейшие понятия, недоступные многим системам логики вследствие их отсталости от современного развития наук.

Точно так же весьма плодотворным являлось бы использование в логике теории функций, потому что вместо того бесформенного киселя, который традиционная логика находит в понятиях, суждениях и умозаключениях, мы получили бы здесь четкие функциональные отношения, которые сразу же превратили бы логику в чрезвычайно живую и жизненную дисциплину. Но о понятии логической функции, – хорошо ли, плохо ли, другой вопрос, – впервые заговорили опять-таки никто иной, как логистики. Это большой завоевание мысли.

4. Наконец, чрезвычайно сильным местом логистики является ее обобщительная тенденция, которая у нас выше критиковалась не столько по ее существу, сколько в силу ее обычных догматически-метафизических интерпретаций и в силу вытекающих отсюда уродливых формулировок. Повторяем еще и еще раз, что научное обобщение, взятое само по себе, чем оно шире и глубже, тем оно конкретнее и ближе к охватываемой ею действительности. В тех случаях, где подобного рода обобщения попадаются в логистике, они прекрасны. Однако зачастую они настолько тщательно изолируются здесь от всякой наглядности, от всякой предметности, от всякой материальности, и они зачастую формулируются в связи с этим настолько безапелляционно, настолько декретивно, настолько догматично, что при всем желании бесконечно обобщать на них никак нельзя заставить себя соглашаться. В конце концов та широчайшая по своим обобщениям логика, которую мы нашли у Гильберта, может быть не только нами приветствуема, но может считаться и огромным достижением в науке. И тем не менее всю работу Гильберта надо переделать с начала до конца.

Мы готовы согласиться, что традиционные элементы логического мышления, т.е. понятие, суждение и умозаключение, все еще недостаточно общи. Мы готовы согласиться даже и на то, что логическое мышление, взятое в наиобщей форме, выражается не в этих элементах, но в некоторого рода «высказываниях», которые не суть ни понятия, ни суждения, ни умозаключения, но нечто гораздо более простое и элементарное, гораздо более общее и эластичное, гораздо более тонкое. Однако, скажите же, пожалуйста, что это такое за мышление в «высказываниях» и чем оно отличается от мышления в понятиях, суждениях и умозаключениях? У Гильберта об этом ни полслова; и получается, что такое большое обобщение, такое широкое и такое желательное, повисает в воздухе; и неизвестно, что с ним делать в логике. То же самое надо сказать и о Гильбертовском «если..., то...». Это есть у него, конечно, очень большое расширение традиционного учения о выводе, настолько большое, что при помощи этой «логической связи» мы можем переходить от ложного высказывания к истинному и от ложного к ложному, и оба таких перехода считать истинными. Это, конечно, есть огромное расширение и обобщение самого принципа вывода, и, как таковое, оно может только приветствоваться. Однако лишенная всяких расчленений, лишенная всяких связей с миром наглядной предметности, формулированная абсолютно декретивно и догматически, такая теория подсекает сама себя и граничит с бессмыслицей.

Таким образом, обобщения, к которым стремится логистика, тоже есть ее сильное место, и без них традиционная логика влачила бы свое жалкое существование со своими мертвыми фигурами и модусами старого силлогизма. Но все эти обобщения логистики требуют радикальной чистки.

5. Этим необходимо ограничиться в кратком критическом обзоре метода логистики, хотя дальнейшие детали как раз и представляли бы для логики большой интерес. Мы видим, что буржуазная логистика есть слишком временное и слишком местное явление, слишком отягченное и суженное целым рядом догматических предпосылок. Если даже и «сводить» математику на логику, то современная буржуазная логистика не только не единственный метод такого сведения, но и не самый совершенный. Лейбниц и Платон, напр<имер>, на свой манер «сводили» математику на логику гораздо более органично для своего идеализма, чем это делает для современного научного сознания формалистически обескровленная логистика. Но математика так богата и неисчерпаема и такой еще неизведанный для логики кладезь премудрости, что даже и логистика не обошлась без того, чтобы не оказать большую пользу для логики и оживить некоторые ее слишком залежавшиеся, слишком застоявшиеся идеи. Это мы и учитываем, как бы логистика ни была достойна критики и осуждения. Что же касается огромного значения логистики для самой математики, для физики и т.д., то тема эта не входит в кругозор настоящей работы, и она должна разрабатываться не столько логиками (компетенция которых была бы здесь слишком ограничена), сколько – соответствующими специалистами.

И все же первая задача советской науки в отношении буржуазной логистики, это – не коленопреклонение, не умиление перед бездной ее премудрости и не раболепство в срисовывании логистических обозначений и формул, но радикальная чистка этой премудрости и чистка прежде всего. Отход от всего наглядного, предметного, реального, жизненного, материального; сведение живого предмета мысли на абстрактнейшие и выхолощенные от всякого содержания формы; признание даже и этих форм за условные, насквозь относительные и принимаемые только в результате произвольного соглашения; некритическое и бессознательное использование наглядной стихии живого мышления как отражения вечно-живого и развивающегося бытия и в то же время сознательный воинствующий релятивизм и ненависть ко всему наглядному; неверие ни в объект, ни в субъект и вооруженный до зубов точнейшими науками предельный номинализм, фикционизм и нигилизм, – разве еще нужны здесь какие-нибудь доказательства, что такая картина современной логистики есть точное отражение того буржуазного века, который прославился сразу и своим духовным развалом и своим империалистическим исступлением? Внутренний нигилизм и внешний империализм – вот от чего надо освободить современную буржуазную логистику.

ПРИМЕЧАНИЯ

Публикуется впервые по материалам из архива А.Ф.Лосева. Сохранился первоначальный вариант статьи в виде авторской рукописи и машинописи под заголовком «Критические заметки по поводу математической логики» (50 стр.), на который имеется развернутый отзыв Э.Кольмана (машинопись с рукописной правкой и подписью) от 15 января 1944 года. Расширенный вариант статьи представлен в двух машинописных экземплярах под несколько измененным названием «Критические заметки о буржуазной математической логике» (86 стр.) вместе с рукописными исправлениями и вставками в первоначальный текст, написанными В.М.Лосевой под диктовку А.Ф.Лосева, – это было обычной практикой, т.к. Лосев после ареста и пребывания в ГУЛАГе в 1930–33 гг. в значительной степени потерял зрение и поэтому пользовался помощью жены, а потом и «секретарей».

Здесь публикуется более поздний вариант статьи, а вместе с ним и основные замечания Э.Кольмана (1892–1979). Оформляя их в виде примечаний к соответствующим местам текста А.Ф.Лосева, мы преследуем при этом следующие цели. Во-первых, на многие пункты критики Э.Кольмана автор давал, как правило, собственные развернутые возражения или же – много реже – соглашался с поправками и так или иначе учитывал их. В итоге, в целом получился своеобразный и весьма энергичный диалог, который мы сегодня можем достаточно подробно проследить. Во-вторых, позиция Э.Кольмана является, что называется, представительной, ибо он как крупный и тонкий знаток затронутой в лосевской статье проблематики, да еще и явно сочувствующий идеям математической логики, вполне может выражать позицию современных ее ценителей (за вычетом, разумеется, специфических идеологических клише, характерных для сталинской эпохи и теперь не воспроизводимых). Этот диалог примерно 60-летней давности предвосхищает многие возражения, которые и теперь найдутся против критики логицизма у сторонников «чистой» математики (и логики), а также позволяет представить, что имелось у А.Ф.Лосева для аргументированного ответа им.

Статья А.Ф.Лосева не датирована, однако ее хронологические границы вполне надежно фиксируются по архивным данным. Ее основное ядро сложилось скорее всего во второй половине 1943 г. (учитываем дату отзыва Э.Кольмана), окончательный же вид текст статьи получил, вероятно, в 1947 г., когда автор мог снова вернуться к данной работе, посчитав ее актуальной в связи с выход в свет русского перевода книги Д.Гильберта и В.Аккермана «Основы теоретической логики». Последнее предположение подтверждают даты газет, в которые завернуты машинописные экземпляры статьи – они относятся к июлю и августу 1947 г. Заметим также, что основной корпус изменений и дополнений, внесенных автором в статью, относится как раз к темам данной книги.

При публикации в основном соблюдена орфография и пунктуация подлинника, подчеркивания в оригинале переданы у нас курсивом, конъектуры помещены в угловых скобках. Унифицировано написание имен и фамилий Евклид (у Лосева – Эвклид), Пеано (поначалу автор употреблял форму «Пэано», затем – не по всему тексту – провел исправление) и Рассел (в оригинале чаще всего Рессел, иногда Рессель, у Э.Кольмана встречается второе написание). По тексту замечаний Э.Кольмана, из которых воспроизводится примерно три четверти, нами опущены отсылки к первоначальному тексту статьи А.Ф.Лосева, в которых указывались №№ страниц и строк.

1 Замечание Э.Кольмана: «Неправильно отождествлять так называемую математическую логику и логистику. Первая, которую вернее следует называть символической логикой или еще правильнее символическим методом в логике, преследует цель аксиоматического изложения логики. Между тем вторая, логистика, пытается выяснить логическую структуру математики, а в своих преувеличениях свести математику к логике, что следовательно не одно и то же».

2 В машинописи и рукописи статьи оставлено место примерно в полстроки, видимо, для названия энциклопедии.

3 Указанные «две линии логистики» А.Ф.Лосев излагает в точности по «Введению» к книге D.Hilbert и W.Ackermann, Grundzuge der theoretischen Logic. Berl. 1928. 19372 , перевод на русский язык – Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.,1947. С.18. Разумеется, перечисление работ самого Гильберта добавлено здесь А.Ф.Лосевым. Названный «Формуляр математики» Пеано выходил с 1894 по 1908 гг. Уточним годы жизни де Моргана: 1806–1871.

4 Замечание Э.Кольмана: «Признавая необходимость «математики логики» и критикуя математическую логику, так сказать, «слева» за недостаточное объединение обеих наук, автор, указывая, что такое объединение должно произойти другим методом (каким?), ставит себя в затруднительное положение».

5 На деле А.Ф.Лосев не находился «в затруднительном положении» (см. выше реплику Э.Кольмана), ибо свои «положительные построения» в области логических основ математики он как раз активно разрабатывал и оформлял в 1930-40-е годы. Эти труды при жизни автора не увидели свет и были опубликованы (причем далеко еще не все) лишь в последние годы; см.: «Логическая теория числа» (Вопросы философии.1994. №11. С.82–134), «О методе бесконечно-малых в логике», «Некоторые элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления бесконечно-малых», «Математика и диалектика» (в кн.: Лосев А.Ф. Хаос и структура. М.,1997. С.609–802), первый том обширного исследования «Диалектические основы математики» (с. 18–608 в кн. «Хаос и структура» и – заключительные главы, – на с. 516–646 в кн. Лосев А.Ф. Личность и Абсолют. М.,1999), «К вопросу о применении теории отражения в логике», «Основной принцип мышления и вытекающие из него логические законы мышления» (Вопросы философии. 1998. №8. С.138–152).

6 Замечание Э.Кольмана: «Нельзя согласиться и с тем, что дедукция «есть только метод изложения уже добытого знания, но никак не метод получения самого знания». Здесь у автора все перепуталось. Верно, что нельзя дедуцировать существование треугольника так же как и существование Кельнского собора. Но верно так же, что если треугольник (и Кельнский собор) существует и если известны определенные геометрические принципы (или архитектурные), то можно дедуцировать, что, например, высоты пересекутся в одной точке (или, что окна – стрельчатые) и для этого нет необходимости иметь зрячие глаза».

7 Замечание Э.Кольмана: «Крайне неудачный пример, ибо здесь все-таки имеет место дедукция именно в смысле умозаключения от общего к частному. Общая посылка здесь такова: смежные углы дают в сумме развернутый угол. Частным случаем является случай внутренних углов треугольника, которые при помощи среднего члена (и при помощи построения!) приводятся к смежным. Конечно, та формализация, которую дает автор, сводя все к безразличным количественным равенствам А = В, В = С, следовательно А = С, маскирует дедукцию. Но ведь это как раз метод несмысловой, порицаемый автором, а тут он сам применил его, аргументируя. Между тем применение принципа «две величины порознь равные третьей равны между собой» – это типичный дедуктивный вывод. Ибо это общий принцип, под который всякий раз подводится частный случай». Следующий ниже по тексту абзац – ответ А.Ф.Лосева на это замечание.

8 Замечание Э.Кольмана: «Все это соображение пункта 1) бьет мимо цели. Даже самые что ни есть заядлые символические логики не отрицают, что можно дать определение того или другого понятия путем взаимного расположения его с другими понятиями. Все дело в том, что таким образом получается бесконечная регрессия или же порочный круг. Чтобы избежать и того и другого, приходится принимать какие-то понятия за исходные, далее не определимые. И в этом нет ничего порочного. Принимая какую-то совокупность исходных, на данном этапе нашего знания неопределимых понятий, мы строим какую-то систему. Затем, применяя эту систему на практике, мы приходим к необходимости видоизменить исходные понятия, ибо выясняется, что первоначальная система была и не полна, что некоторые понятия были излишни и т.п. И с новой научной системой происходит то же самое, ибо наука есть круг кругов».

9 Замечание Э.Кольмана: «Замечание автора против мнимой условности математических аксиом вполне справедливо. Однако дело вовсе не так просто, как оно рисуется автору. Верно, что возможность интерпретации одной из геометрий в терминах другой геометрии доказывает необходимую связь между этими геометриями. Но проблема состоит в том, чтобы объяснить, почему возможна (и когда, ибо, увы, не всегда) подобная интерпретация. Аргументация же автора в пользу его правильного тезиса совершенно не состоятельна ни философски, ни фактически (математически). Автор пишет, что наличие среди логических категорий какой-либо определенной, уже доказывает соответствующую аксиому в геометрии. Но, во-первых, говорить так – это разделять точку зрения реализма, равносильного, как известно, идеалистическому пониманию роли понятий. Во-вторых, никакие квази-диалектические ухищрения (у автора по поводу «отрицательного присутствия» непрерывности; а что если бы речь шла о геометрии без конгруэнтности, как тогда быть, неужто и тогда автор скажет, что «конгруэнтной будет сама конгруэнтность» и ... сумеет пояснить, что это должно означать?) тут не в состоянии опровергнуть упрямые математические факты. Вот, например, существует теорем Дезарга, относящаяся к планиметрии и не включающая никакие метрические отношения. Эта теорема недоказуема планиметрически и неметрически, но доказуема либо при помощи стереометрии, либо при помощи метрической планиметрии. С точки зрения, выдвинутой автором, это совершенно необъяснимо тем более, что неметрические (проективные) свойства более общи, более глубоки, более «геометричны» чем свойства метрические. Да и какие это логические категории, одно наличие которых в нашем мышлении уже обеспечивает аксиому Дезарга? Вывод автора, также сформулированный квази-диалектически, мог получиться лишь благодаря отчужденности хода его мысли от конкретных наук (в данном случае, от математики), благодаря игнорированию того, что аксиомы – это квинтэссенция векового индуктивного, эмпирического знания и что о каком-либо другом (т.е. дедуктивном, о котором в символической логике вообще и идет речь) их доказательстве, кроме доказательства практикой, не может быть и речи». Два следующих ниже по тексту абзаца – ответная реплика А.Ф.Лосева.

10 Замечание Э.Кольмана: «Вся эта страстная тирада пункта 2) (кстати, автор вообще частенько возмущается – хотя бы, скажем, тем, что математики «изощряются в построении разных пространств» – и совершенно напрасно, ибо все это вещи весьма полезные, независимо от тех философских идей, которые с ними связывают те или другие математики) вызывает недоумение. Почему, когда я отвлекаюсь от того, что у меня имеются яблоки (три яблока и два яблока) и заявляю, что всегда 3 + 2 = 2 + 3 это будет допустимая, полезная абстракция, а также, когда я отвлекаюсь от того, что у меня именно 3 и 2 и заявляю, что всегда a + b = b + a, – это опять-таки будет допустимая, полезная абстракция, между тем как отвлечение от того, что у меня именно сложение и рассмотрение еще более абстрактного отношения a * b = b * a, – это уже недопустимо и вредно. Почему? Не потому ли, что это выходит за пределы традиционного круга знаний? Как известно, высокие ступени абстракции не отделяют нас от предмета, а позволяют наоборот глубже познать его во всей его конкретности. Так обстоит дело объективно, независимо от того, чего бы там ни говорили сами логистики. Между тем автор отдает им этот метод лишь потому, что они выдают его за отрыв от конкретного, за «произвольное соглашение» и т.п. Не по словам логистиков, а по делам символического метода в логике надо судить его. Если оказывается, что этот метод дал возможность глубоко вскрыть структуру математических понятий, операций и т.д., если благодаря ему удалось разработать тонкости теории множеств, а следовательно топологии, обобщить понятие интеграла и т.д., если, например, созданное логическое исчисление послужило основой аксиоматики теории вероятностей, если оно применяется в другой интерпретации для расчетов в механике, если современная теория квантовых процессов пользуется одной из логик (в ней не имеет место дистрибутивный закон для основных логических операций; она – примерно – так относится к нашей логике, как неевклидова геометрия к евклидовой геометрии) – разве это не доказывает, что смешно ставить вопрос, «целесообразно ли вообще заниматься таким пустым предметом»?» В дальнейшем тексте (вплоть до пункта 3) А.Ф.Лосев фактически воспроизводит эти мысли Э.Кольмана, соглашаясь с ними.

11 Замечание Э.Кольмана: «Конечно, утверждение, что А включается в В, основано и на том, что «дерево» «включено» в «зелень», и на том, что «человек» «включается» в «смертные существа», и на многих других включениях. Но если это есть петицио принципии, то оно есть в любом познании и это действительно так, в том же смысле как и для логистики. В любом суждении совершается ведь порочный круг, ибо любое суждение происходит при помощи рассудка, являющегося отрицанием наглядности, но вместе с тем источником этого суждения всегда в конце концов является наглядность, а возвращается оно также в результате своем к наглядности. Значит, здесь в самом символическом методе нет ничего специфического. Особенность лишь в высказываниях (гносеологических) логистиков, но это другой вопрос».

12 Замечание Э.Кольмана: «Обращает на себя внимание формулировка автора, согласно которой в диалектической логике категории находятся в процессе свободного развития, не отражая чуждую им действительность. Так обстоит дело в идеалистической логике, но отнюдь не в логике материалистической, где субъективная логика является отражением логики объективной, где логические категории суть снимки категорий материальной действительности. Та же неверная мысль повторена и дальше, где логическое считается «самостоятельно-категориальным».

13 Замечание Э.Кольмана: «Верно, что символический метод, примененный к логике, а также логика, примененная к математике – это не есть «математическая» логика, ибо как бы логика не использовала тот или другой метод, она остается логикой со своими собственными принципами, метод же (математический) играет в ней лишь подчиненную, подсобную роль под контролем этих принципов. Но неверно, будто логика, исследующая логическую структуру математики, служащая для ее логического обоснования, не сеть логика математики, применяемая к физике – логика физики и т.д. Отрицание логики конкретной науки, признание лишь «чистой логики» нельзя согласовать с учением диалектического материализма о конкретности истины».

14 Замечание Э.Кольмана: «Различение, проводимое автором между числом и понятием числа, конечно, верно. Но логистика как раз и занимается (в отличие о математики) не числами, а понятиями чисел, и как раз поэтому она и является «бледной тенью» самой математики. Все это автор сам признал двумя страницами раньше, но позабыл. Там он хулит логистику за то, что она берет только понятия логические, здесь же за то, что она пренебрегает обще-смысловой (логической) качественностью чисел. Может быть это и есть диалектика?»

15 Замечание Э.Кольмана: «Верно, что понятийные связи не суть только связи сложения, умножения, подстановки и т.д. (которые автор неточно называет связями количественными), но верно также, что эти связи крайне важны для связей понятийных, составляют, так сказать, их скелет, и что их изучение содействует вскрытию закономерностей мышления именно понятийного, так же как и обмеривание, взвешивание и т.д. уточняет понятие «пера»». Далее до пункта 4 следует добавление в лосевском тексте как реакция на это замечание.

16 Замечание Э.Кольмана: «Страшно ядовито насчет агностицизма! Но все дело лишь в том, что можно взять любой класс, что безразлично, какой именно. Ведь этот подход – основа основ всей формальной логики и не только логистики, а там автор не считает его агностическим». А.Ф.Лосев в ответ на это замечание ввел следующее далее по тексту предложение в скобках.

17 Точнее, см.: Кутюра Л. Философские принципы математики / Перевод с французского Б.Кореня под ред. П.С.Юшкевича со вступительной статьей Ф.Ф.Линде. СПб., 1913. С.46–47.

18 Замечание Э.Кольмана: «Все это рассуждение прискорбно ошибочно. Когда у меня класс (или множество) «мешок картофеля», то, конечно, в этом понятии есть и понятие числа, но только в том смысле, что оно в нем заложено, что оно в нем латентно. Но никакого явного числа, а тем более определения числа в данном классе нет. Далее, неверно, будто класс есть общее свойство каких-то элементов. Класс не есть свойство, а отношение. Затем: число не получается из множества простым отбрасыванием наглядного содержания (кстати, абстрагирование вообще никогда не состоит в простом отбрасывании чего-то, а <реализуется> при помощи придавания этому «чему-то» переменного значения; но это вопрос особый), а процессом более сложным, в котором (так его описал здесь и автор) основную роль играет: 1) установление взаимно-однозначного соответствия между множествами; 2) введение нового абстрактного множества – представителя всех взаимно-однозначных множеств с данным множеством; оно и есть число». На первую часть возражения А.Ф.Лосев отвечает в следующем далее абзаце.

18а то же через то же (лат.).

19 Замечание Э.Кольмана: «Здесь автор, наконец, смутно понял, что эквивалентность предшествует числу, <она> может быть установлена без его помощи, но тут же поспешил высказать не обоснованное ничем мнение насчет «слепой» эквивалентности. Все рассуждение по поводу количественной раздельности, которая предшествует эквивалентности, опять-таки не свидетельствует о наличии петицио принципии. Ведь возможность различить элементы множества есть лишь необходимое условие для образования числа, для счета, но это не число! Это даже не есть достаточное условие для образования числа. Также и наличие критерия исчерпания элементов множества есть лишь необходимое, но не достаточное условие для образования числа. Нужно еще, чтобы была действительная возможность установить указанное соответствие! Не трудно дать вполне конкретный пример множества, где налицо первые два условия и отсутствует третье, почему и невозможно приписать ему определенную мощность, число».

20 Замечание Э.Кольмана: «Логистика (как и формальная логика вообще) не берется воспроизводить ход образования понятий (ни в фило-, ни в онтогенезе), а лишь анализирует полученный результат, причем имеет право не следовать рабски за исторической последовательностью. Поэтому вопрос, что раньше, «пять пальцев» или «пять вообще» или же они даны вместе, лежит собственно вне логики. Но если логика ставит «пять вообще» в логическом смысле под «пять пальцев» в иерархии абстракций, то она бесспорно права и только об этом идет и речь, когда говорят об образовании чисел из множеств».

21 Замечание Э.Кольмана: «Автор ломится в открытую дверь. Громить устаревшее учение Пеано–Кутюры о натуральном ряде, давным-давно разнесенное Пуанкаре, Расселом и др., нет никакой надобности. Но и здесь автор допускает ряд серьезных погрешностей. Так, все без исключения предлагаемые им определения исходных понятий совершенно не годятся, ибо они предполагают развитое учение о числах (напр<имер>, «определение» нуля), либо столь гегелевски туманны, что для конкретной науки бесполезны (напр<имер>, «определения» последующего). Поэтому критика концепции натурального ряда автора верна лишь постольку, поскольку она имеется у Рассела, – но ведь там она исходит из позиций вовсе не анти-логистических, это просто критика, требующая улучшения техники внутри самой логистики! Рассела нашел, что система Пеано слишком широка, чтобы охватить специфику именно только натурального ряда – вот и все. Но «все что угодно» нельзя все-таки понимать под этой логической структурой, а схвачено все же важное свойство натурального ряда, и это далеко не худо, как признает сам автор. За что же тогда он попрекает логистику в этой связи? За то, что она незаметно использовала наглядное содержание натурального ряда! Нет, она всегда и везде использует наглядное содержание, и нечего принимать на веру обратные высказывания логистиков. И никакого петицио принципии нет в построении формул, а оно есть только в философском выводе логистиков насчет мнимой «произвольности» этих формул». В следующих трех абзацах текста А.Ф.Лосев по-своему учитывает эту критику.

22 Замечание Э.Кольмана: «Верно, что применение символической логики к математике заключается в систематизации чисто математических же материалов, то есть логика сама не в состоянии создать какие-либо новые математические элементы. Но неверно, что исследование совместности, полноты и т.д., например, геометрических аксиом, это мол задача математиков, что здесь логику делать нечего. Чем же тогда заниматься логикам? Исследованием своей собственной науки и только, не так ли? Все это – вредное устремление в «чистую» оторванную от конкретного приложения (хотя бы даже к теоретической же математике – и она слишком вещественна!) абстракцию понятийного мира. Исторические факты говорят, однако, что логике нашлось не только немало дела в исследовании основ математики, но что она в значительной степени развилась из этих потребностей еще у греков, а в ХIХ веке вновь из того же источника получила важнейшие стимулы. Игнорирование определяющего влияния потребностей конкретных наук на развитие логики весьма распространено – оно характерно для идеализма – но ничего не доказывает. Если взять любой элемент традиционной логики, то не трудно показать, что учение это развивалось под влиянием запросов конкретных наук (указываю наугад: так называемые «простые умозаключения» – из потребностей математических наук иметь теорию прямых и обратных теорем и т.д.)». Ниже по тексту следует абзац, добавленный А.Ф.Лосевым с учетом этого замечания.

23 Замечание Э.Кольмана: «Нужно отметить, что термин «исчисление предложений» не передает соответствующий немецкий Aussage- и английский Propositional-. Точнее надо сказать «исчисление высказываний». Но тогда возражение автора теряет силу. Что же касается термина «исчисление», то символическая логика объясняет, что она имеет в виду создание алгоритма, то есть предписания, автоматически дающего выводы из посылок. Но разве пресловутые правила силлогизмов, сведения модусов, да тот же «логический квадрат» не занимаются тем же, но с той разницей, что там это делается кустарно, несовершенно? Вообще надо помнить, что символический метод в логике вовсе не является детищем ХIХ в., а в принципе имеет в истории формальной логики глубокие корни. Не говоря даже о древних предшественниках этих идей, как поздний эпикуреец Филодемий, уже в ХIV в. у Буридана осознано дистрибутивное свойство логических операций

non (a et b) = non a vel non b».

Судя по предложению, добавленному далее в текст, А.Ф.Лосев не согласился с данной критикой.

24 Замечание Э.Кольмана: «Центральное место уделяет суждению и Энгельс. В противовес понятию, представляющему статику мысли, суждение (и умозаключение) – это форма движения мысли».

25 Замечание Э.Кольмана: «Автор с поразительной легкостью отделывается от переместительного, распределительного и т.д. законов. Он заявляет просто: это законы математические, а не логические, до этого нам, чистым логикам, дела нет. Но почему такой, например, закон, как приведенный выше не следует считать логическим законом – уму непостижимо». Далее по тексту А.Ф.Лосева до конца абзаца следует реакция автора на это замечание.

26 А.Ф.Лосев цитирует немецкое издание книги Гильберта и Аккермана в собственном переводе, указывая в скобках номер страницы этого издания.

27 Замечание Э.Кольмана: «Непонятно то непонимание, которое автор боится встретить как раз в этом пункте у читателей Гильберта. Ведь что такое «и», «или» разъяснено весьма элементарно. Что же касается того, в каком смысле Гильберт берет эти отношения, то это, как известно, дело почти что вкуса, ибо в формальной логике встречаются самые различные случаи».

28 По Гильберту–Аккерману, дизъюнкция («или») «связывает теснее», чем конъюнкция («и»), поскольку «или» понимается не как исключающее (лат. aut – aut, «или – или»), а как объединяющее (лат. vel, «или также»).

29 Замечание Э.Кольмана: «Нельзя согласиться с тем, что «и» и «или» являются скорее категориями бытия, чем мышления. Нет, они являются категориями мышления, отражающими отношения бытия». Далее по тексту А.Ф.Лосев делает существенные дополнения (до п.5), более детально развивая свою критику Гильберта.

30 Все четыре высказывания (примеры импликаций) взяты из книги Гильберта и Аккермана .

31 Пример о дожде и урожае в связи с подразделением высказываний на истинные и ложные обсуждается также, со ссылкой на И.Сталина, в комментарии С.А.Яновской к русскому переводу книги Гильберта и Аккермана ( «Основы теоретической логики», Приложение II, с.234–235).

32 Замечание Э.Кольмана: «Опять-таки автор глубоко заблуждается, утверждая, что «Х или Y равносильно Y или Х» не имеет никакого отношения к логике. Мы, конечно, не отождествляем субъективную логику с объективной, а также психологией, но мы не отрываем их друг от друга, не можем рассматривать логику (субъективную) как существующую вне всякой связи с бытием. Чтобы «Х или Y» было равносильно «Y или Х» в мышлении, для этого нужно, чтобы эти две связи были равносильны в бытии. Но всегда ли это так? Мы это постулируем в виде правила логики и тем самым ограничиваем круг действия нашей логики, делая ее непригодной, например, для рассмотрения некоторых квантовых процессов, где принципиально невозможно абстрагироваться от времени, которое ведь имплиците должно было войти в рассмотрение, но нами отбрасывалось». В ответ А.Ф.Лосев расширяет свою аргументацию в данном и следующем абзаце текста.

33 Замечание Э.Кольмана: «Несмотря на предвзятость и отвращение к математико-подобным символам, автор вынужден признать ценность теории сведения одних логических связей к другим. Если Гильберт и не дает полную систему всех возможных соединений (это имеется в соответствующей специальной литературе в изобилии), то это прежде всего потому, что он пишет элементарный учебник».

34 А.Ф.Лосев дает дословный перевод названия книги Гильберта–Аккермана, перевод названия в советском издании 1947 г. менее точен. Отметим попутно, что на контртитуле книги упомянутого перевода неверно указан год немецкого издания – 1946 вместо 1937; третье немецкое издание книги вышло в 1949 г.

35 Замечание Э.Кольмана: «Мы считаем, что автор не имеет ясного, правильного представления о соотношении логики и математики. Он прав, когда протестует против трактовки математики как ветви логики, но ошибается и тогда, когда он допускает возможность перевода одной науки на другую, и когда, наоборот, отрицает их связь. Вообще же автор, скажем, начав за упокой, кончает за здравие. После всей филиппики, он признает то ценным, что действительно является основным для обоснования математики и что дается логикой символов, т.е. выяснение ее логической структуры. А этого не мало. Из-за чего, спрашивается, было тогда автору огород городить? То же запоздалое признание получает символический метод и за «логику отношений» – и на этом спасибо. Что же касается попытки оправдать «эйдос» теорией типов, то это оставим на совести автора».

--------------------------------------------------------------------------------

* Здесь цифра 2 означает не знак сноски, а порядковый номер издания (прим. комментатора).